Дифференциация

В математике diffiety ( / d ə ˈ f aɪ ə ˌ t iː / ) — геометрический объект, который играет ту же роль в современной теории уравнений с частными производными , что и алгебраические многообразия для алгебраических уравнений , то есть кодирует пространство решений более концептуальным образом. Термин был придуман в 1984 году Александром Михайловичем Виноградовым как портманто от diff erential iety . ^[1]

В алгебраической геометрии основные объекты изучения ( многообразия ) моделируют пространство решений системы алгебраических уравнений (т. е. нулевое множество набора многочленов ) вместе со всеми их «алгебраическими следствиями». Это означает, что применение алгебраических операций к этому множеству (например, сложение этих многочленов друг с другом или умножение их на любые другие многочлены) приведет к тому же самому нулевому множеству. Другими словами, можно фактически рассмотреть нулевое множество алгебраического идеала, порожденного исходным набором многочленов.

При работе с дифференциальными уравнениями, помимо применения алгебраических операций, как указано выше, есть также возможность дифференцировать исходные уравнения, получая новые дифференциальные ограничения. Поэтому дифференциальным аналогом многообразия должно быть пространство решений системы дифференциальных уравнений вместе со всеми их «дифференциальными следствиями». Вместо того, чтобы рассматривать нулевое локус алгебраического идеала, нужно работать с дифференциальным идеалом .

Элементарное diffieties будет, таким образом, состоять из бесконечного продолжения дифференциального уравнения вместе с дополнительной структурой, предоставляемой специальным распределением . Элементарные diffieties играют ту же роль в теории дифференциальных уравнений, что и аффинные алгебраические многообразия в теории алгебраических уравнений. Соответственно, так же, как многообразия или схемы состоят из неприводимых аффинных многообразий или аффинных схем , определяется (неэлементарное) diffieties как объект, который локально выглядит как элементарное diffieties.${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$

Формальное определение дифферентии, опирающееся на геометрический подход к дифференциальным уравнениям и их решениям, требует понятий струй подмногообразий, продолжений и распределения Картана, которые напоминаются ниже.

Пусть будет -мерным гладкой многообразием . Двумерные подмногообразия , касаются с точностью до порядка в точке , если можно локально описать оба подмногообразия как нули функций, определенных в окрестности , производные которых в совпадают с точностью до порядка .${\displaystyle E}$${\displaystyle (м+е)}$${\displaystyle м}$ ${\displaystyle М}$${\displaystyle М'}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle к}$${\displaystyle p\in M\cap M'\subset E}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle к}$ Можно показать, что касательность с точностью до порядка является координатно-инвариантным понятием и отношением эквивалентности. [2] Можно также сказать, что и имеют одинаковую струю -го порядка в , и обозначить их класс эквивалентности через или .${\displaystyle к}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М'}$${\displaystyle к}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [М]_{п}^{к}}$${\displaystyle j_{p}^{k}M}$ Пространство -струй -подмногообразий , обозначаемое как , определяется как множество всех -струй -мерных подмногообразий во всех точках : Поскольку любая заданная струя локально определяется производными вплоть до порядка функций, описывающих вокруг , можно использовать такие функции для построения локальных координат и обеспечения естественной структуры гладкого многообразия. [2]${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$${\displaystyle E}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle м}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle J^{k}(E,m):=\{[M]_{p}^{k}~|~p\in M,~{\text{dim}}(M)=m,M\subset E\ {\text{ submanifold}}\}}$$${\displaystyle [М]_{п}^{к}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle М}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (x^{i},u_{\sigma}^{j})}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

Например, для одного восстанавливает только точки в , а для одного восстанавливает грассманиан -мерных подпространств . В более общем случае все проекции являются расслоениями .${\displaystyle к=1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle к=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle J^{k}(E)\to J^{k-1}E}$

Как частный случай, когда имеет структуру расслоенного многообразия над -мерным многообразием , можно рассматривать подмногообразия , заданные графиками локальных сечений . Тогда понятие струи подмногообразий сводится к стандартному понятию струи сечений, а расслоение струй оказывается открытым и плотным подмножеством . ^[3]${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\пи)}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

Продолжение -струи подмногообразия есть${\displaystyle к}$${\displaystyle M\subseteq E}$

$${\displaystyle j^{k}(M):M\rightarrow J^{k}(E,m),\quad p\mapsto [M]_{p}^{k}}$$

Отображение является гладким вложением , а его образ , называемый продолжением подмногообразия , является подмногообразием , диффеоморфным .${\displaystyle j^{k}(М)}$${\displaystyle M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))}$${\displaystyle М}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle М}$

Пространство вида , где — любое подмногообразие, продолжение которого содержит точку , называется -плоскостью (или плоскостью струи, или плоскостью Картана) в . Распределение Картана на пространстве струи — это распределение, определяемое соотношением , где — размах всех -плоскостей в . ^[4]${\displaystyle T_{\theta}(M^{k})}$${\displaystyle М}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq T(J^{k}(E,m))}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}:J^{k}(E,m)\rightarrow TJ^{k}(E,m),\qquad \theta \mapsto {\mathcal {C}}_{\theta }\subset T_{\theta }(J^{k}(E,m))}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\theta }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$

Дифференциальное уравнение порядка на многообразии является подмногообразием ; решение определяется как -мерное подмногообразие такое, что . Когда является расслоенным многообразием над , восстанавливается понятие уравнений с частными производными на струйных расслоениях и их решениях, которые предоставляют способ безкоординатного описания аналогичных понятий математического анализа . В то время как струйных расслоений достаточно для работы со многими уравнениями, возникающими в геометрии, струйные пространства подмногообразий обеспечивают большую общность, используемую для решения нескольких уравнений в частных производных, наложенных на подмногообразия данного многообразия, таких как лагранжевы подмногообразия и минимальные поверхности .${\displaystyle к}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$${\displaystyle м}$${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S^{k}\subseteq {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

Как и в случае струйного пучка, распределение Картана важно в алгебро-геометрическом подходе к дифференциальным уравнениям, поскольку оно позволяет кодировать решения в чисто геометрических терминах. Действительно, подмногообразие является решением тогда и только тогда, когда оно является интегральным многообразием для , т.е. для всех .${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }}$${\displaystyle \theta \in S}$

Можно также взглянуть на распределение Картана уравнения в частных производных более объективно, определив: В этом смысле пара кодирует информацию о решениях дифференциального уравнения .${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}):=\{{\mathcal {C}} _ ​​{\theta }\cap T_ {\theta }({\mathcal {E}} )~|~\theta \in {\mathcal {E}}\}}$$${\displaystyle ({\mathcal {E}},{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

При наличии дифференциального уравнения порядка его -е продолжение определяется как где и рассматриваются как вложенные подмногообразия , так что их пересечение хорошо определено. Однако такое пересечение не обязательно является многообразием снова, следовательно, может не быть уравнением порядка . Поэтому обычно требуется быть "достаточно хорошим", чтобы по крайней мере его первое продолжение действительно было подмногообразием .${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E}},m)\cap J^{k+l}(E,m)\subseteq J^{k+l}(E,m)}$$${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$${\displaystyle k+l}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle J^{k+1}(E,m)}$

Ниже мы будем предполагать, что PDE формально интегрируемо , т.е. все продолжения являются гладкими многообразиями, а все проекции являются гладкими сюръективными субмерсиями. Заметим, что подходящая версия теоремы Картана–Кураниши о продолжении гарантирует, что при незначительных предположениях регулярности достаточно проверки гладкости конечного числа продолжений. Тогда обратный предел последовательности расширяет определение продолжения на случай, когда стремится к бесконечности, а пространство имеет структуру проконечномерного многообразия. ^[5]${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}\to {\mathcal {E}}^{k-1}}$${\displaystyle \{{\mathcal {E}}^{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$

Элементарное diffiety — это пара , где — дифференциальное уравнение -го порядка на некотором многообразии, его бесконечное продолжение и его распределение Картана. Обратите внимание, что, в отличие от конечного случая, можно показать, что распределение Картана является -мерным и инволютивным . Однако из-за бесконечной размерности окружающего многообразия теорема Фробениуса не выполняется, поэтому не интегрируема${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$

Дифференциация — это тройка , состоящая из${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$

• (обычно бесконечномерное) многообразие${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• алгебра ее гладких функций${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$
• конечномерное распределение ,${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$

такой, что локально имеет вид , где — элементарная дифферентность и обозначает алгебру гладких функций на . Здесь локально означает подходящую локализацию относительно топологии Зарисского , соответствующей алгебре .${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$

Размерность называется размерностью дифференциата и обозначается с заглавной буквой D (чтобы отличить ее от размерности как многообразия).${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$${\displaystyle \mathrm {Dim} ({\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Морфизм между двумя разностями и состоит из гладкого отображения, прямой образ которого сохраняет распределение Картана, т.е. такое, что для каждой точки , имеем .${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$${\displaystyle ({\mathcal {O}}',{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}'),{\mathcal {C}}({\mathcal {O'}}))}$${\displaystyle \Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'}$${\displaystyle \theta \in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle d_{\theta }\Phi ({\mathcal {C}}_{\theta })\subseteq {\mathcal {C}}_{\Phi (\theta )}}$

Дифференциации вместе с их морфизмами определяют категорию дифференциальных уравнений . ^[3]

Спектральная последовательность Виноградова (${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ или, для краткости, последовательность Виноградова ) — это спектральная последовательность , связанная с дифференциалом, которая может быть использована для исследования определенных свойств формального пространства решений дифференциального уравнения путем использования его распределения Картана . ^[6]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Учитывая дифферент , рассмотрим алгебру дифференциальных форм над${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}}):=\sum _{i\geq 0}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$

и соответствующий комплекс де Рама :

${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{1}({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{2}({\mathcal {O}})\longrightarrow \cdots }$

Его группы когомологий содержат некоторую структурную информацию о PDE; однако, из-за леммы Пуанкаре , все они исчезают локально. Чтобы извлечь гораздо больше и даже локально информации, нужно принять во внимание распределение Картана и ввести более сложную последовательность. Для этого пусть ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {O}}):={\text{ker}}({\text{d}}_{i})/{\text{im}}({\text{d}}_{i-1})}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})=\sum _{i\geq 0}{\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ({\mathcal {O}})}$

быть подмодулем дифференциальных форм, ограничение на распределение по которому исчезает, т.е.${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{p}({\mathcal {O}}):=\{w\in \Omega ^{p}({\mathcal {O}})\mid w(X_{1},\cdots ,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},\ldots ,X_{p}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})\}.}$

Обратите внимание, что на самом деле это дифференциальный идеал , поскольку он устойчив относительно дифференциала де Рама, т.е. .${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\text{d}}({\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}}))\subset {\mathcal {C}}\Omega ^{i+1}({\mathcal {O}})}$

Теперь пусть будет его -й степенью, т.е. линейное подпространство , порожденное . Тогда получается фильтрация${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega }$${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mathcal {C}}\Omega }$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{2}\Omega ({\mathcal {O}})\supset \cdots }$

и поскольку все идеалы устойчивы, эта фильтрация полностью определяет следующую спектральную последовательность :${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q}).}$

Фильтрация выше конечна в каждой степени, т.е. для каждого${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle \Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{k+1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})=0,}$

так что спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама дифферентности. Поэтому можно анализировать члены спектральной последовательности порядок за порядком, чтобы восстановить информацию об исходном PDE. Например: ^[7]${\displaystyle H({\mathcal {O}})}$

• ${\displaystyle E_{1}^{0,n}}$соответствует функционалам действия , ограниченным PDE . В частности, для соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}}$${\displaystyle {\text{d}}_{1}^{0,n}{\mathcal {L}}=0}$
• ${\displaystyle E_{1}^{0,n-1}}$соответствует законам сохранения для решений .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• ${\displaystyle E_{2}}$интерпретируется как характеристические классы бордизмов решений .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Многие термины более высокого порядка пока не имеют толкования.

Как частный случай, начиная с расслоенного многообразия и его струйного расслоения вместо струйного пространства , вместо -спектральной последовательности получается немного менее общий вариационный бикомплекс . Точнее, любой бикомплекс определяет две спектральные последовательности: одна из двух спектральных последовательностей, определяемых вариационным бикомплексом, есть как раз -спектральная последовательность Виноградова. Однако вариационный бикомплекс был разработан независимо от последовательности Виноградова. ^{[8] [9]}${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle J^{k}(\pi )}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Подобно членам спектральной последовательности, многим членам вариационного бикомплекса можно дать физическую интерпретацию в классической теории поля : например, можно получить классы когомологий, соответствующие функционалам действия, сохраняющимся токам, калибровочным зарядам и т. д. ^[10]

Виноградов разработал теорию, известную как вторичное исчисление , для формализации в когомологических терминах идеи дифференциального исчисления на пространстве решений данной системы уравнений в частных производных (т.е. пространстве интегральных многообразий данной сложности). ^{[11] [12] [13] [3]}

Другими словами, вторичное исчисление обеспечивает замену функций, векторных полей, дифференциальных форм, дифференциальных операторов и т. д. на (в общем) очень сингулярном пространстве, где эти объекты не могут быть определены обычным (гладким) способом на пространстве решения. Более того, пространство этих новых объектов естественным образом наделено теми же алгебраическими структурами пространства исходных объектов. ^[14]

Точнее, рассмотрим горизонтальный комплекс Де Рама диффиета, который можно рассматривать как полистный комплекс Де Рама инволютивного распределения или, что эквивалентно, комплекс алгеброида Ли алгеброида Ли . Тогда комплекс естественным образом становится коммутативной DG-алгеброй вместе с подходящим дифференциалом . Затем, возможно, тензорно с нормальным расслоением , его когомологии используются для определения следующих «вторичных объектов»:${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}):=\Gamma (\wedge ^{\bullet }{\mathcal {C(O)}}^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\overline {d}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}:=T{\mathcal {O}}/{\mathcal {C(O)}}\to {\mathcal {O}}}$

• вторичные функции являются элементами когомологий , которые, естественно, являются коммутативной DG-алгеброй (на самом деле это первая страница -спектральной последовательности, обсуждавшейся выше);${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}),{\overline {d}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• вторичные векторные поля являются элементами когомологий , которая естественным образом является алгеброй Ли; более того, она образует градуированную алгебру Ли-Райнхарта вместе с ;${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},{\mathcal {V}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {V}}),{\overline {d}})}$${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$
• вторичные дифференциальные -формы${\displaystyle p}$ являются элементами когомологий , которые, естественно, являются коммутативной DG-алгеброй.${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},\wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes \wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*}),{\overline {d}})}$

Вторичное исчисление также может быть связано с ковариантным фазовым пространством , то есть пространством решений уравнений Эйлера-Лагранжа, связанным с лагранжевой теорией поля . ^[15]

• Вторичное исчисление и когомологическая физика
• Уравнения с частными производными на струйных пучках
• Дифференциальный идеал
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Другим способом обобщения идей алгебраической геометрии является дифференциальная алгебраическая геометрия .

• Институт Диффети (заморожен с 2010 года)
• Институт Леви-Чивита (преемник вышеуказанного сайта)
• Геометрия дифференциальных уравнений
• Дифференциальная геометрия и уравнения в частных производных