Вторичное исчисление и когомологическая физика

В математике вторичное исчисление — это предложенное расширение классического дифференциального исчисления на многообразиях на «пространство» решений (нелинейного) уравнения в частных производных . Это сложная теория на уровне пространств струй , использующая алгебраические методы.

Вторичное исчисление действует на пространстве решений системы уравнений с частными производными (обычно нелинейных уравнений). Когда число независимых переменных равно нулю (т.е. все уравнения алгебраические ), вторичное исчисление сводится к классическому дифференциальному исчислению .

Все объекты во вторичном исчислении являются когомологическими классами дифференциальных комплексов, растущих на дифферентах . Последние в рамках вторичного исчисления являются аналогом гладких многообразий .

Когомологическая физика родилась с теоремой Гаусса , описывающей электрический заряд, содержащийся внутри данной поверхности, в терминах потока электрического поля через саму поверхность. Поток является интегралом дифференциальной формы и, следовательно, классом когомологий де Рама . Не случайно формулы такого рода, такие как известная формула Стокса , хотя и являются естественной частью классического дифференциального исчисления, вошли в современную математику из физики.

Все конструкции в классическом дифференциальном исчислении имеют аналог во вторичном исчислении. Например, высшие симметрии системы уравнений в частных производных являются аналогом векторных полей на дифференцируемых многообразиях. Оператор Эйлера, который сопоставляет каждой вариационной задаче соответствующее уравнение Эйлера–Лагранжа , является аналогом классического дифференциала, сопоставляющего функции на многообразии ее дифференциал. Оператор Эйлера является вторичным дифференциальным оператором первого порядка, даже если, согласно его выражению в локальных координатах, он выглядит как оператор бесконечного порядка. В более общем смысле аналогом дифференциальных форм во вторичном исчислении являются элементы первого члена так называемой C-спектральной последовательности и т. д.

Простейшие диффиеты — это бесконечные продолжения уравнений с частными производными , которые являются подмногообразиями бесконечных пространств струй . Последние представляют собой бесконечномерные многообразия, которые нельзя изучать с помощью стандартного функционального анализа . Напротив, наиболее естественным языком для изучения этих объектов является дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами . Поэтому последнее следует рассматривать как фундаментальный инструмент вторичного исчисления. С другой стороны, дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами дает возможность развивать алгебраическую геометрию так, как если бы это была дифференциальная геометрия.

Недавние разработки физики элементарных частиц , основанные на квантовых теориях поля и их обобщениях, привели к пониманию глубокой когомологической природы величин, описывающих как классические, так и квантовые поля. Поворотным моментом стало открытие знаменитого преобразования BRST . Например, стало понятно, что наблюдаемые в теории поля — это классы в горизонтальных когомологиях де Рама, которые инвариантны относительно соответствующей калибровочной группы и т. д. Это течение в современной теоретической физике называется когомологической физикой.

Характерно, что вторичное исчисление и когомологическая физика, развивавшиеся в течение двадцати лет независимо друг от друга, пришли к одним и тем же результатам. Их слияние произошло на международной конференции «Вторичное исчисление и когомологическая физика» (Москва, 24–30 августа 1997 г.).

Большое количество современных математических теорий гармонично сходится в рамках вторичного исчисления, например: коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия , гомологическая алгебра и дифференциальная топология , теория групп Ли и алгебр Ли , дифференциальная геометрия и т. д.

• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами  – часть коммутативной алгебрыСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Спектр кольца  – Множество простых идеалов кольца

• И. С. Красильщик, Исчисление над коммутативными алгебрами: краткое руководство пользователя , Acta Appl. Math. 49 (1997) 235–248; ДИПС-01/98
• И.С. Красильщик, А.М. Вербовецкий, Гомологические методы в уравнениях математической физики , Открытое издание и науки, Опава (Чешская Республика), 1998; ДИПС-07/98.
• И.С. Красильщик, А.М. Виноградов (ред.), Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Переводы математических монографий 182, Amer. Math. Soc., 1999.
• Я. Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые , Graduate Texts in Mathematics 220, Springer, 2002, doi :10.1007/978-3-030-45650-4.
• А. М. Виноградов, C-спектральная последовательность, лагранжев формализм и законы сохранения I. Линейная теория , Журнал прикладной математики и анализа 100 (1984) 1—40; Библиотека Института дифференциальных уравнений.
• А. М. Виноградов, C-спектральная последовательность, лагранжев формализм и законы сохранения II. Нелинейная теория , J. Math. Anal. Appl. 100 (1984) 41–129; Библиотека Института Диффети.
• А. М. Виноградов, От симметрий уравнений с частными производными к вторичному («квантованному») исчислению , Журнал геометрической физики 14 (1994) 146–194; Библиотека Института дифференциальных уравнений.
• А. М. Виноградов, Введение во вторичное исчисление , Труды конференции «Вторичное исчисление и физика когомологий» (ред. М. Энно, И. С. Красильщик и А. М. Виноградов), Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1998; DIPS-05/98.
• А. М. Виноградов, Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление , Переводы математических монографий 204, Amer. Math. Soc., 2001.

• Институт Диффити
• Школа Диффити