Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

В математике дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами является частью коммутативной алгебры , основанной на наблюдении, что большинство понятий, известных из классического дифференциального исчисления, могут быть сформулированы в чисто алгебраических терминах. Примерами этого являются:

1. Вся топологическая информация гладкого многообразия закодирована в алгебраических свойствах его - алгебры гладких функций, как в теореме Банаха-Стоуна .${\displaystyle М}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A=C^{\infty }(M),}$
2. Векторные расслоения над соответствуют проективным конечно порожденным модулям над посредством функтора , который сопоставляет векторному расслоению его модуль сечений.${\displaystyle M}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. Векторные поля на естественным образом отождествляются с выводами алгебры .${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$
4. В более общем случае линейный дифференциальный оператор порядка k, отправляющий секции векторного расслоения в секции другого расслоения , рассматривается как -линейное отображение между связанными модулями, такое, что для любых элементов :${\displaystyle E\rightarrow M}$${\displaystyle F\rightarrow M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Delta :\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in A}$

$${\displaystyle \left[f_{k}\left[f_{k-1}\left[\cdots \left[f_{0},\Delta \right]\cdots \right]\right]\right]=0}$$где скобка определяется как коммутатор${\displaystyle [f,\Delta ]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$$${\displaystyle [f,\Delta ](s)=\Delta (f\cdot s)-f\cdot \Delta (s).}$$

Обозначая множество линейных дифференциальных операторов ^th- го порядка из -модуля в -модуль с помощью , мы получаем би-функтор со значениями в категории -модулей . Другие естественные понятия исчисления, такие как струйные пространства , дифференциальные формы затем получаются как представляющие объекты функторов и связанных с ними функторов.${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathrm {Diff} _{k}(P,Q)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {Diff} _{k}}$

С этой точки зрения исчисление фактически можно понимать как теорию этих функторов и представляющих их объектов.

Заменив действительные числа любым коммутативным кольцом , а алгебру любой коммутативной алгеброй, вышесказанное сохраняет смысл, поэтому дифференциальное исчисление может быть разработано для произвольных коммутативных алгебр. Многие из этих концепций широко используются в алгебраической геометрии , дифференциальной геометрии и вторичном исчислении . Более того, теория естественным образом обобщается на случай градуированной коммутативной алгебры , что позволяет создать естественную основу исчисления на супермногообразиях , градуированных многообразиях и связанных с ними концепциях, таких как интеграл Березина .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

• Вторичное исчисление и когомологическая физика
• Дифференциальная алгебра  – Алгебраическое исследование дифференциальных уравнений
• Спектр кольца  – Множество простых идеалов кольца

• Я. Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые , Graduate Texts in Mathematics 220 , Springer, 2002.
• Nestruev, Jet (10 сентября 2020 г.). Гладкие многообразия и наблюдаемые . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC  1195920718.
• И.С. Красильщик, «Лекции о линейных дифференциальных операторах над коммутативными алгебрами». Электронная версия ДИПС-01/99.
• И.С. Красильщик, А.М. Виноградов (ред.) «Алгебраические аспекты дифференциального исчисления», Acta Appl. Math. 49 (1997), Эпизоды: ДИПС-01/96, ДИПС-02/96, ДИПС-03/96, ДИПС-04/96, ДИПС-05/96, ДИПС-06/96, ДИПС-07/96, ДИПС-08/96.
• И.С. Красильщик, А.М. Вербовецкий, «Гомологические методы в уравнениях математической физики», Открытое издание и науки, Опава (Чешская Республика), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2.
• Г. Сарданашвили, Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец , Lambert Academic Publishing, 2012; Eprint arXiv:0910.1515 [math-ph] 137 страниц.
• А. М. Виноградов, «Логическая алгебра для теории линейных дифференциальных операторов», ДАН СССР , 295 (5) (1972) 1025-1028; английский перевод в советских математических докл. 13 (4) (1972), 1058-1062.
• Виноградов, AM (2001). Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление . Американское математическое общество. ISBN 9780821897997.
• А. М. Виноградов, «Некоторые новые гомологические системы, связанные с дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами», Успехи Матем. Наук, 1979, 34 (6), 145-150; английский перевод в Russian Math. Surveys , 34 (6) (1979), 250-255.