Детский рисунок

В математике детский рисунок — это тип вложения графов, используемый для изучения римановых поверхностей и для предоставления комбинаторных инвариантов для действия абсолютной группы Галуа рациональных чисел . Название этих вложений по-французски означает «детский рисунок»; его множественное число — dessins d'enfant , «детские рисунки», или dessins d'enfants , «детские рисунки».

Детский рисунок — это граф , вершины которого попеременно окрашены в черный и белый цвета, вложенный в ориентированную поверхность , которая во многих случаях является просто плоскостью . Для существования раскраски граф должен быть двудольным . Грани вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием системы вращения — циклического порядка ребер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором ребра будут пересекаться путем, проходящим по часовой стрелке по поверхности в небольшой петле вокруг вершины.

Любой рисунок может предоставить поверхности, в которую он вложен, структуру в виде римановой поверхности. Естественно спросить, какие римановы поверхности возникают таким образом. Ответ дает теорема Белого , которая утверждает, что римановы поверхности, которые могут быть описаны рисунками, — это как раз те, которые могут быть определены как алгебраические кривые над полем алгебраических чисел . Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и тем самым преобразует также и базовые рисунки.

Более подробное рассмотрение этой темы см. в работах Шнепса (1994) или Ландо и Звонкина (2004).

Ранние протоформы детских рисунков появились ещё в 1856 году в икосианском исчислении Уильяма Роуэна Гамильтона ^[1] ; в современных терминах это гамильтоновы пути на икосаэдрическом графе.

Узнаваемые современные детские рисунки и функции Белого использовались Феликсом Клейном . ^[2] Клейн называл эти диаграммы Linienzüge (нем., множественное число от Linienzug «линия-дорожка», также использовалось как термин для многоугольника ); он использовал белый круг для прообраза 0 и «+» для прообраза 1, а не черный круг для 0 и белый круг для 1, как в современной нотации. ^[3] Он использовал эти диаграммы для построения 11-кратного покрытия сферы Римана само по себе с группой монодромии , следуя более ранним построениям 7-кратного покрытия с монодромией, связанной с квартикой Клейна . ^[4] Все они были связаны с его исследованиями геометрии уравнения пятой степени и группы , собранными в его знаменитых Лекциях по икосаэдру 1884/88 гг . Гораздо позже было показано, что три поверхности, построенные таким образом из этих трех групп, тесно связаны посредством явления троичности .${\displaystyle ПСЛ(2,11)}$${\displaystyle ПСЛ(2,7)}$${\displaystyle A_{5}=PSL(2,5)}$

Детские рисунки в их современной форме были вновь открыты более века спустя и названы Александром Гротендиком в 1984 году в его «Эскизе одной программы» . ^[5] Заппони (2003) цитирует Гротендика относительно его открытия действия Галуа в детских рисунках:

Это открытие, которое технически так просто, произвело на меня очень сильное впечатление, и оно представляет собой решающий поворотный момент в ходе моих размышлений, смещение, в частности, моего центра интереса к математике, который внезапно оказался сильно сфокусированным. Я не думаю, что математический факт когда-либо поражал меня так сильно, как этот, и не имел сопоставимого психологического воздействия. Это, безусловно, из-за очень знакомой, нетехнической природы рассматриваемых объектов, совершенно явный пример которой дает любой детский рисунок, нацарапанный на клочке бумаги (по крайней мере, если рисунок сделан без отрыва карандаша). С таким рисунком мы находим связанные тонкие арифметические инварианты, которые полностью переворачиваются с ног на голову, как только мы добавляем еще один штрих.

Часть теории уже была разработана независимо Джонсом и Сингерманом (1978) за некоторое время до Гротендика. Они описывают соответствие между картами на топологических поверхностях, картами на римановых поверхностях и группами с определенными выделенными генераторами, но не рассматривают действие Галуа. Их понятие карты соответствует конкретному случаю детского рисунка. Более поздняя работа Брайанта и Сингермана (1985) распространяет эту трактовку на поверхности с границей.

Комплексные числа вместе с особой точкой, обозначенной как , образуют топологическое пространство , известное как сфера Римана . Любой многочлен , и, в более общем смысле, любая рациональная функция , где и являются многочленами, преобразует сферу Римана, отображая ее на себя. Рассмотрим, например, ^[6] рациональную функцию${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$$${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$$

В большинстве точек сферы Римана это преобразование является локальным гомеоморфизмом : оно отображает небольшой диск с центром в любой точке взаимно-однозначным образом в другой диск. Однако в некоторых критических точках отображение более сложное и отображает диск с центром в точке взаимно -однозначным образом на его образ. Число известно как степень критической точки, а преобразованный образ критической точки известен как критическое значение . Приведенный выше пример, , имеет следующие критические точки и критические значения. (Некоторые точки сферы Римана, которые, хотя сами по себе не являются критическими, отображаются в одно из критических значений, также включены; они обозначены как имеющие степень один.)${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$${\displaystyle f}$

критическая точка x	критическое значение f ( x )	степень
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3+2{\sqrt {3}}\approx 6.464}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 3-2{\sqrt {3}}\approx -0,464}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle \infty}$	${\displaystyle \infty}$	${\displaystyle 3}$

Можно сформировать детский рисунок, поместив черные точки в прообразы 0 (то есть в 1 и 9), белые точки в прообразы 1 (то есть в ), и дуги в прообразы отрезка [ 0, 1]. Этот отрезок имеет четыре прообраза, два вдоль отрезка от 1 до 9 и два, образующие простую замкнутую кривую , которая петляет от 1 к себе, окружая 0; полученный рисунок показан на рисунке.${\displaystyle f}$${\displaystyle 3\pm 2{\sqrt {3}}}$

В другом направлении, из этого рисунка, описанного как комбинаторный объект без указания местоположений критических точек, можно сформировать компактную риманову поверхность и отображение этой поверхности на сферу Римана, эквивалентное отображению, из которого рисунок был изначально построен. Для этого поместите точку с меткой внутри каждой области рисунка (показано красными точками на втором рисунке) и триангулируйте каждую область, соединив эту точку с черными и белыми точками, образующими границу области, соединяясь несколько раз с той же черной или белой точкой, если она появляется несколько раз на границе области. Каждый треугольник в триангуляции имеет три вершины с метками 0 (для черных точек), 1 (для белых точек) или . Для каждого треугольника замените полуплоскость , либо верхнюю полуплоскость на треугольник, который имеет 0, 1 и в порядке против часовой стрелки, либо нижнюю полуплоскость на треугольник, который имеет их в порядке по часовой стрелке, и для каждой смежной пары треугольников склейте соответствующие полуплоскости вместе вдоль части их границ, обозначенных метками вершин. Полученная риманова поверхность может быть отображена на сферу Римана с помощью тождественного отображения внутри каждой полуплоскости. Таким образом, детский рисунок, образованный из , достаточен для описания себя с точностью до биголоморфизма . Однако эта конструкция идентифицирует риманову поверхность только как многообразие со сложной структурой; она не строит вложение этого многообразия как алгебраической кривой в комплексную проективную плоскость , хотя такое вложение всегда существует.${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Та же конструкция применяется в более общем случае, когда — любая риманова поверхность и — функция Белого ; то есть голоморфная функция от до сферы Римана, имеющая только 0, 1 и в качестве критических значений. Пара такого типа известна как пара Белого . Из любой пары Белого можно образовать детский рисунок , нарисованный на поверхности , имеющий свои черные точки в прообразах 0, свои белые точки в прообразах 1 и свои края, расположенные вдоль прообразов отрезка прямой . Наоборот, любой детский рисунок на любой поверхности можно использовать для определения инструкций склеивания для набора полупространств, которые вместе образуют риманову поверхность, гомеоморфную ; отображение каждого полупространства тождеством на сферу Римана создает функцию Белого на , и, следовательно, приводит к паре Белого . Любые две пары Белого , которые приводят к комбинаторно эквивалентным детским рисункам, являются биголоморфными, и теорема Белого подразумевает, что для любой компактной римановой поверхности, определенной над алгебраическими числами , существуют функция Белого и детский рисунок, которые дают комбинаторное описание как , так и .${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(0)}$${\displaystyle f^{-1}(1)}$${\displaystyle f^{-1}([0,1])}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Вершина в рисунке имеет графово-теоретическую степень , число инцидентных ребер, которая равна ее степени как критической точки функции Белого. В приведенном выше примере все белые точки имеют степень два; рисунки со свойством, что каждая белая точка имеет два ребра, называются чистыми , а соответствующие им функции Белого называются чистыми . Когда это происходит, можно описать рисунок более простым вложенным графом, который имеет только черные точки в качестве своих вершин и который имеет ребро для каждой белой точки с конечными точками в двух черных соседях белой точки. Например, рисунок, показанный на рисунке, можно нарисовать проще таким образом как пару черных точек с ребром между ними и самопетлей в одной из точек. Обычно рисуют только черные точки чистого рисунка и оставляют белые точки неотмеченными; можно восстановить полный рисунок, добавив белую точку в середину каждого ребра карты.

Таким образом, любое вложение графа в поверхность, в которой каждая грань является диском (то есть топологическая карта), приводит к получению рисунка, рассматривая вершины графа как черные точки рисунка и помещая белые точки в середину каждого вложенного ребра графа. Если карта соответствует функции Белого , ее двойственная карта (рисунок, образованный из прообразов отрезка прямой ) соответствует мультипликативной обратной функции . ^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle [1,\infty]}$ ${\displaystyle 1/f}$

Рисунок, который не является чистым, можно преобразовать в чистый рисунок на той же поверхности, перекрасив все его точки в черный цвет и добавив новые белые точки на каждом из его ребер. Соответствующее преобразование пар Белого заключается в замене функции Белого на чистую функцию Белого . Можно вычислить критические точки непосредственно из этой формулы: , , и . Таким образом, является прообразом под средней точкой отрезка прямой , а ребра рисунка, образованного из , подразделяют ребра рисунка, образованного из .${\displaystyle \бета}$${\ displaystyle \ gamma = 4 \ beta (1- \ beta)}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\чашка \beta ^{-1}(1)}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(\infty)=\beta ^{-1}(\infty)}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)}$${\displaystyle \бета}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \гамма}$ ${\displaystyle \бета}$

При интерпретации чистого рисунка как карты произвольный рисунок представляет собой гиперкарту : то есть рисунок гиперграфа , в котором черные точки представляют вершины, а белые точки представляют гиперребра.

Пять Платоновых тел — правильный тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр — рассматриваемые как двумерные поверхности, обладают тем свойством, что любой флаг (тройка вершины, ребра и грани, которые все встречаются друг с другом) может быть преобразован в любой другой флаг с помощью симметрии поверхности. В более общем смысле, карта, встроенная в поверхность с тем же свойством, что любой флаг может быть преобразован в любой другой флаг с помощью симметрии, называется регулярной картой .

Если регулярная карта используется для генерации чистого рисунка, а полученный рисунок используется для генерации триангулированной римановой поверхности, то ребра треугольников лежат вдоль линий симметрии поверхности, а отражения относительно этих линий порождают группу симметрии, называемую группой треугольников , для которой треугольники образуют фундаментальные области. Например, на рисунке показано множество треугольников, сгенерированных таким образом, начиная с правильного додекаэдра. Когда регулярная карта лежит на поверхности, род которой больше единицы, универсальным покрытием поверхности является гиперболическая плоскость , а группа треугольников в гиперболической плоскости, образованная из поднятой триангуляции, является (кокомпактной) фуксовой группой, представляющей дискретный набор изометрий гиперболической плоскости. В этом случае исходная поверхность является фактором гиперболической плоскости по подгруппе конечного индекса Γ в этой группе.

Наоборот, если задана риманова поверхность, которая является частным от разбиения (разбиения сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости треугольниками с углами , , и , то соответствующий рисунок является графом Кэли, заданным образующими порядка два и порядка три группы, или, что эквивалентно, разбиением той же поверхности -угольниками, встречающимися по три в каждой вершине. Вершины этого разбиения дают черные точки рисунка, центры ребер дают белые точки, а центры граней дают точки над бесконечностью.${\displaystyle (2,3,n)}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi {n}}}$${\displaystyle n}$

Простейшими двудольными графами являются деревья . Любое вложение дерева имеет одну область, и поэтому по формуле Эйлера лежит на сферической поверхности. Соответствующая пара Белого образует преобразование сферы Римана, которое, если поместить полюс в , может быть представлено в виде полинома . Обратно, любой полином с 0 и 1 в качестве его конечных критических значений образует функцию Белого из сферы Римана в себя, имеющую одну бесконечнозначную критическую точку и соответствующую детскому рисунку, который является деревом. Степень полинома равна числу ребер в соответствующем дереве. Такая полиномиальная функция Белого известна как полином Шабата , ^[8] в честь Джорджа Шабата.${\displaystyle \infty}$

Например, возьмем в качестве монома , имеющего только одну конечную критическую точку и критическое значение, оба равны нулю . Хотя 1 не является критическим значением для , его все равно можно интерпретировать как функцию Белого от сферы Римана к себе, поскольку все его критические значения лежат в множестве . Соответствующий детский рисунок представляет собой звезду, имеющую одну центральную черную вершину, соединенную с белыми листьями ( полный двудольный граф ).${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=x^{d}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$${\displaystyle д}$ ${\displaystyle K_{1,d}}$

В более общем смысле, полином, имеющий два критических значения , может быть назван полиномом Шабата. Такой полином может быть нормализован в функцию Белого с его критическими значениями 0 и 1 по формуле, но может быть удобнее оставить его в ненормализованном виде. ^[9]${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$$${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$$${\displaystyle p}$

Важное семейство примеров многочленов Шабата дается многочленами Чебышева первого рода, , которые имеют −1 и 1 в качестве критических значений. Соответствующие рисунки принимают форму графов путей , чередующихся между черными и белыми вершинами, с ребрами на пути. Из-за связи между многочленами Шабата и многочленами Чебышева, многочлены Шабата сами иногда называются обобщенными многочленами Чебышева. ^{[9] [10]}${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle n}$

Различные деревья, как правило, соответствуют различным многочленам Шабата, как и различные вложения или раскраски одного и того же дерева. С точностью до нормализации и линейных преобразований его аргумента многочлен Шабата однозначно определяется раскраской вложенного дерева, но не всегда просто найти многочлен Шабата, который имеет заданное вложенное дерево в качестве своего детского рисунка.

Полином может быть преобразован в полином Шабата путем выбора ^[11] Два выбора приводят к двум функциям Белого и . Эти функции, хотя и тесно связаны друг с другом, не эквивалентны, поскольку они описываются двумя неизоморфными деревьями, показанными на рисунке.$${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$$$${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

Однако, поскольку эти многочлены определены над полем алгебраических чисел , они могут быть преобразованы действием абсолютной группы Галуа рациональных чисел. Элемент из , который преобразуется в , преобразуется в и наоборот, и, таким образом, можно также сказать, что он преобразует каждое из двух деревьев, показанных на рисунке, в другое дерево. В более общем смысле, из-за того, что критические значения любой функции Белого являются чистыми рациональными числами 0, 1 и , эти критические значения не изменяются действием Галуа, поэтому это действие переводит пары Белого в другие пары Белого. Можно определить действие на любой детский рисунок соответствующим действием на пары Белого; это действие, например, переставляет два дерева, показанных на рисунке.${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\sqrt {21}}}$${\displaystyle -{\sqrt {21}}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \Gamma }$

Благодаря теореме Белого действие на детские рисунки является точным (то есть каждые два элемента из определяют различные перестановки на множестве детских рисунков), ^[12], поэтому изучение детских рисунков может многое рассказать нам о себе. В этом свете очень интересно понять, какие рисунки могут быть преобразованы друг в друга действием , а какие нет. Например, можно заметить, что два показанных дерева имеют одинаковые последовательности степеней для своих черных узлов и белых узлов: оба имеют черный узел со степенью три, два черных узла со степенью два, два белых узла со степенью два и три белых узла со степенью один. Это равенство не является совпадением: всякий раз, когда преобразует один рисунок в другой, оба будут иметь одну и ту же последовательность степеней. Последовательность степеней является одним известным инвариантом действия Галуа, но не единственным инвариантом.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

Стабилизатор рисунка — это подгруппа из , состоящая из групповых элементов, которые оставляют рисунок неизменным. Из-за соответствия Галуа между подгруппами и полями алгебраических чисел стабилизатор соответствует полю, полю модулей рисунка . Орбита рисунка — это множество всех других рисунков, в которые он может быть преобразован; из-за инварианта степени орбиты обязательно конечны, а стабилизаторы имеют конечный индекс . Аналогично можно определить стабилизатор орбиты (подгруппу, которая фиксирует все элементы орбиты) и соответствующее поле модулей орбиты, другой инвариант рисунка. Стабилизатор орбиты — это максимальная нормальная подгруппа из , содержащаяся в стабилизаторе рисунка, а поле модулей орбиты соответствует наименьшему нормальному расширению , содержащему поле модулей рисунка. Например, для двух сопряженных рисунков, рассматриваемых в этом разделе, поле модулей орбиты равно . Две функции Белого и этого примера определены над полем модулей, но существуют рисунки, для которых поле определения функции Белого должно быть больше поля модулей. ^[13]${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$