Цилиндр

Цилиндр
Круглый прямой цилиндр высотой h и диаметром d = 2r
Тип	Гладкая поверхность Алгебраическая поверхность
Эйлеров символ.	2
Группа симметрии	О(2)×О(1)
Площадь поверхности	2πr(r + h)
Объем	πr 2 ч

Цилиндр (от древнегреческого κύλινδρος ( kúlindros )  'ролик, валик') ^[1] традиционно был трёхмерным телом , одной из самых основных криволинейных геометрических фигур . В элементарной геометрии он рассматривается как призма с кругом в основании.

Цилиндр также может быть определен как бесконечная криволинейная поверхность в различных современных разделах геометрии и топологии . Сдвиг в основном значении — твердое тело против поверхности (как в твердом шаре против сферической поверхности) — создал некоторую двусмысленность в терминологии. Эти два понятия можно различить, ссылаясь на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности . В литературе неприукрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или к еще более специализированному объекту — прямому круговому цилиндру .

Определения и результаты в этом разделе взяты из текста « Плоская и стереометрическая геометрия» 1913 года Джорджа А. Вентворта и Дэвида Юджина Смита (Wentworth & Smith 1913).

Цилиндрическая поверхность — это поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. Любая прямая в этом семействе параллельных прямых называется элементом цилиндрической поверхности. С точки зрения кинематики , если задана плоская кривая, называемая директрисой , цилиндрическая поверхность — это поверхность, вычерченная линией, называемой образующей , не в плоскости директрисы, движущейся параллельно самой себе и всегда проходящей через директрису. Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.

Тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями , называется (твердым) цилиндром . Отрезки прямых, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются элементом цилиндра . Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется основанием цилиндра . Два основания цилиндра являются конгруэнтными фигурами. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, цилиндр является прямым цилиндром , в противном случае он называется косым цилиндром . Если основания являются дисками (областями, граница которых является окружностью ), цилиндр называется круговым цилиндром . В некоторых элементарных трактовках цилиндр всегда означает круговой цилиндр. ^[2]

Высота цилиндра — это перпендикулярное расстояние между его основаниями.

Цилиндр, полученный вращением отрезка вокруг фиксированной линии, параллельной ему, является цилиндром вращения . Цилиндр вращения — это прямой круговой цилиндр. Высота цилиндра вращения — это длина образующего отрезка. Линия, вокруг которой вращается отрезок, называется осью цилиндра и проходит через центры двух оснований.

Термин «цилиндр» часто относится к сплошному цилиндру с круглыми концами, перпендикулярными оси, то есть прямому круговому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется открытым цилиндром . Формулы для площади поверхности и объема прямого кругового цилиндра известны с глубокой древности.

Прямой круговой цилиндр можно также рассматривать как тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в методе интегрирования («метод диска») для получения объемов тел вращения. ^[3]

Высокий и тонкий игольчатый цилиндр имеет высоту, значительно превышающую его диаметр, тогда как короткий и широкий дисковый цилиндр имеет диаметр, значительно превышающий его высоту.

Цилиндрическое сечение — это пересечение поверхности цилиндра с плоскостью . Они, как правило, являются кривыми и являются особыми типами плоских сечений . Цилиндрическое сечение плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, является параллелограммом . ^[4] Такое цилиндрическое сечение прямого цилиндра является прямоугольником . [ ^4]

Цилиндрическое сечение, в котором секущая плоскость пересекает и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется прямым сечением . ^[5] Если прямое сечение цилиндра является окружностью, то цилиндр является круговым цилиндром. В более общем случае, если прямое сечение цилиндра является коническим сечением (парабола, эллипс, гипербола), то сплошной цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.

Для прямого кругового цилиндра существует несколько способов, которыми плоскости могут пересекать цилиндр. Во-первых, плоскости, пересекающие основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она пересекает цилиндр в одном элементе. Правые сечения представляют собой окружности, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипсу . ^[6] Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок прямой, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, то ее цилиндрическое сечение представляет собой прямоугольник, в противном случае стороны цилиндрического сечения являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, то она содержит все основание, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.

В случае прямого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, представляющим собой эллипс, эксцентриситет e цилиндрического сечения и большая полуось a цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра r и угла α между секущей плоскостью и осью цилиндра следующим образом:$${\displaystyle {\begin{align}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{align}}}$$

Если основание круглого цилиндра имеет радиус r , а цилиндр имеет высоту h , то его объем определяется по формуле$${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр прямым цилиндром. ^[7]

Эту формулу можно установить, используя принцип Кавальери .

В более общем виде, по тому же принципу, объем любого цилиндра является произведением площади основания на высоту. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большую полуось a , малую полуось b и высоту h , имеет объем V = Ah , где A — площадь эллипса основания (= π ab ). Этот результат для прямых эллиптических цилиндров также может быть получен путем интегрирования, где ось цилиндра принимается за положительную ось x , а A ( x ) = A — площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом:$${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

Используя цилиндрические координаты , объем прямого кругового цилиндра можно вычислить путем интегрирования$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

Площадь поверхности прямого кругового цилиндра, ориентированного так, что его ось вертикальна, имеет радиус r и высоту h и состоит из трех частей:

• площадь верхнего основания: π r ²
• площадь нижнего основания: π r ²
• площадь стороны: 2π rh

Площадь верхнего и нижнего оснований одинакова и называется площадью основания , B. Площадь стороны называется боковой площадью , L.

Открытый цилиндр не включает в себя ни верхний, ни нижний элементы и, следовательно, имеет площадь поверхности (боковую площадь)$${\displaystyle L=2\pi rh}$$

Площадь поверхности сплошного прямого кругового цилиндра складывается из суммы всех трех компонентов: верха, низа и боковины. Площадь его поверхности равна, следовательно, где d = 2 r — диаметр круглой верхушки или низа.$${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$

Для заданного объема, прямой круговой цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2 r . Эквивалентно, для заданной площади поверхности, прямой круговой цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2 r , то есть цилиндр плотно вписывается в куб с длиной стороны = высоте ( = диаметру окружности основания). ^[8]

Боковая площадь L кругового цилиндра, который не обязательно должен быть прямым цилиндром, в более общем виде определяется как, где e — длина элемента, а p — периметр правой части цилиндра. ^[9] Это дает предыдущую формулу для боковой площади, когда цилиндр является прямым круговым цилиндром.$${\displaystyle L=e\times p,}$$

Прямой круговой полый цилиндр (или цилиндрическая оболочка ) представляет собой трехмерную область, ограниченную двумя прямыми круговыми цилиндрами, имеющими одну и ту же ось и два параллельных кольцевых основания, перпендикулярных общей оси цилиндров, как показано на диаграмме.

Пусть высота будет h , внутренний радиус r и внешний радиус R. Объем определяется по формуле Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2π  × средний радиус × высота ×  толщина. [ ^10]$${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$$  

Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется по формуле: Цилиндрические оболочки используются в общем методе интегрирования для нахождения объемов тел вращения. ^[11]$${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$

В трактате с таким названием, написанном около  225 г. до н. э. , Архимед получил результат, которым он больше всего гордился, а именно, получил формулы для объема и площади поверхности сферы , используя соотношение между сферой и описанным вокруг нее прямым круговым цилиндром той же высоты и диаметра . Сфера имеет объем, равный двум третям объема описанного цилиндра, и площадь поверхности, равную двум третям объема цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра были уже известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем сферы радиусом r равен ⁠4/3⁠ π r ³ = ⁠2/3⁠ (2 π r ³ ) . Площадь поверхности этой сферы равна 4 π r ² = ⁠2/3⁠ (6 π r ² ) . Скульптурная сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.

В некоторых областях геометрии и топологии термин «цилиндр» относится к тому, что называется цилиндрической поверхностью . Цилиндр определяется как поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. ^[12] Такие цилиндры иногда называют обобщенными цилиндрами . Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит уникальная прямая, которая содержится в цилиндре. ^[13] Таким образом, это определение можно перефразировать, сказав, что цилиндр — это любая линейчатая поверхность, натянутая на однопараметрическое семейство параллельных прямых.

Цилиндр, имеющий правое сечение, которое является эллипсом , параболой или гиперболой, называется эллиптическим цилиндром , параболическим цилиндром и гиперболическим цилиндром соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности . ^[14]

Когда главные оси квадрики совмещены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается с коэффициентами, являющимися действительными числами , и не все из A , B и C равны 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, то квадрика вырождена. Если одна переменная отсутствует, мы можем предположить с помощью соответствующего поворота осей , что переменная z не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать как ^[15] где$${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$$$${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$$$${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$$

Если AB > 0, то это уравнение эллиптического цилиндра . ^[15] Дальнейшее упрощение может быть получено путем переноса осей и скалярного умножения. Если имеет тот же знак, что и коэффициенты A и B , то уравнение эллиптического цилиндра можно переписать в декартовых координатах как: Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обычного кругового цилиндра ( a = b ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды , но это название неоднозначно, так как оно также может относиться к коноиду Плюккера .${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

Если имеет знак, отличный от коэффициентов, то мы получаем воображаемые эллиптические цилиндры : на которых нет действительных точек. ( дает единственную действительную точку.)${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$${\displaystyle \rho =0}$

Если A и B имеют разные знаки и , то мы получаем гиперболические цилиндры , уравнения которых можно переписать как:${\displaystyle \rho \neq 0}$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

Наконец, если AB = 0, предположим, без потери общности , что B = 0 и A = 1, чтобы получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как: ^[16]$${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого лежит на плоскости в бесконечности . Если конус является квадратным конусом, плоскость в бесконечности (которая проходит через вершину) может пересекать конус по двум действительным линиям, по одной действительной линии (фактически совпадающей паре прямых) или только по вершине. Эти случаи приводят к гиперболическому, параболическому или эллиптическому цилиндру соответственно. ^[17]

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденных коник , которые могут включать цилиндрические коники.

Сплошной круговой цилиндр можно рассматривать как предельный случай n -угольной призмы, где n стремится к бесконечности . Связь очень сильная, и многие старые тексты рассматривают призмы и цилиндры одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм путем использования вписанных и описанных призм, а затем позволяют числу сторон призмы увеличиваться без ограничений. ^[18] Одной из причин раннего акцента (а иногда и исключительного рассмотрения) круговых цилиндров является то, что круглое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которой этот метод работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к исчислению или более сложной математике). Терминология, касающаяся призм и цилиндров, идентична. Так, например, поскольку усеченная призма является призмой, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, сплошной цилиндр, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, будет называться усеченным цилиндром .

С точки зрения многогранника цилиндр также можно рассматривать как дуал биконуса как бесконечностороннюю бипирамиду .

Семейство однородных n- угольных призм в т е
Имя призмы	Дигональная призма	(Треугольная) Треугольная призма	(Тетрагональная) Квадратная призма	Пятиугольная призма	Шестиугольная призма	Семиугольная призма	Восьмиугольная призма	Девятиугольная призма	Десятиугольная призма	Одиннадцатиугольная призма	Двенадцатиугольная призма	...	Апейрогональная призма
Изображение многогранника												...
Сферическое мозаичное изображение												Изображение мозаики плоскости
Конфигурация вершины.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Диаграмма Коксетера												...

• Список фигур
• Тело Штейнмеца , пересечение двух или трех перпендикулярных цилиндров

На Викискладе есть медиафайлы по теме Цилиндр (геометрия).

Найдите значение слова «цилиндр» в Викисловаре, бесплатном словаре.

В Wikisource есть текст статьи « Цилиндр » из Британской энциклопедии 1911 года .

• Вайсштейн, Эрик В. «Цилиндр». Математический мир .
• Площадь поверхности цилиндра в MATHguide
• Объем цилиндра в MATHguide