Лемма покрытия

В основах математики лемма покрытия используется для доказательства того, что несуществование некоторых больших кардиналов приводит к существованию канонической внутренней модели , называемой моделью ядра , которая в некотором смысле является максимальной и приближает структуру вселенной фон Неймана V. Лемма покрытия утверждает, что при некотором конкретном предположении антибольшого кардинала модель ядра существует и является максимальной в смысле, который зависит от выбранного большого кардинала. Первый такой результат был доказан Рональдом Йенсеном для конструктивной вселенной, предполагающей, что 0 ^# не существует, что теперь известно как теорема покрытия Йенсена .

Например, если для измеримого кардинала не существует внутренней модели , то основная модель Додда–Йенсена, K ^DJ, является основной моделью и удовлетворяет свойству покрытия , то есть для каждого несчетного множества x ординалов существует y , такой что y  ⊃  x , y имеет ту же мощность, что и x , и y  ∈  K ^DJ . (Если 0 ^# не существует, то K ^DJ  =  L. )

Если базовая модель K существует (и не имеет кардиналов Вудина), то

1. Если K не имеет ω ₁ -кардиналов Эрдёша, то для конкретной счетной (в K) и определимой в K последовательности функций от ординалов к ординалам каждое множество ординалов, замкнутое относительно этих функций, является объединением счетного числа множеств в K. Если L=K, то это просто примитивно-рекурсивные функции.
2. Если K не имеет измеримых кардиналов, то для любого несчетного множества x ординалов существует y  ∈ K, такой что x ⊂ y и |x| = |y|.
3. Если K имеет только один измеримый кардинал κ, то для любого несчетного множества x ординалов существует y ∈ K[C] такой, что x ⊂ y и |x| = |y|. Здесь C либо пусто, либо генерично по Прикри над K (то есть имеет тип порядка ω и конфинально по κ) и единственно, за исключением конечного начального сегмента.
4. Если K не имеет недостижимого предела измеримых кардиналов и собственного класса измеримых кардиналов, то существует максимальное и единственное (за исключением конечного множества ординалов) множество C (называемое системой неразличимых) для K такое, что для каждой последовательности S в K меры одно множество, состоящее из одного множества для каждого измеримого кардинала, C минус ∪S конечно. Обратите внимание, что каждое κ \ C либо конечно, либо генерично по Прикри для K в κ, за исключением членов C ниже измеримого кардинала ниже κ. Для каждого несчетного множества x ординалов существует y ∈ K[C] такое, что x ⊂ y и |x| = |y|.
5. Для любого несчетного множества x ординалов существует множество C неразличимых для тотальных расширителей на K, такое что существует y ∈ K[C] и x ⊂ y и |x| = |y|.
6. K вычисляет последователей сингулярных и слабо компактных кардиналов правильно ( свойство слабого покрытия ). Более того, если |κ| > ω ₁ , то конфинальность((κ ⁺ ) ^K ) ≥ |κ|.

Для основных моделей без перекрывающихся полных расширителей системы неразличимых хорошо изучены. Хотя (если K имеет недостижимый предел измеримых кардиналов), система может зависеть от множества, которое должно быть покрыто, она хорошо определена и уникальна в более слабом смысле. Одним из применений покрытия является подсчет количества (последовательностей) неразличимых, что дает оптимальные нижние границы для различных нарушений гипотезы сингулярных кардиналов . Например, если K не имеет перекрывающихся полных расширителей, а κ является сингулярным сильным пределом, и 2 ^κ  = κ ⁺⁺ , то κ имеет порядок Митчелла по крайней мере κ ⁺⁺ в K. И наоборот, нарушение гипотезы сингулярной кардинальности может быть получено (в общем расширении) из κ с o(κ) ​​= κ ⁺⁺ .

Для основных моделей с перекрывающимися общими расширителями (то есть с кардинально сильным вплоть до измеримого) системы неразличимых плохо изучены, а приложения (такие как слабое покрытие) имеют тенденцию избегать, а не анализировать неразличимые.

Если K существует, то каждый регулярный кардинал Йонссона является кардиналом Рамсея в K. Каждый сингулярный кардинал, который является регулярным в K, измерим в K.

Кроме того, если базовая модель K(X) существует выше множества X ординалов, то она обладает рассмотренными выше свойствами покрытия выше X.

• Митчелл, Уильям (2010), «Лемма о покрытии», Справочник по теории множеств , Springer, стр.  1497–1594 , doi :10.1007/978-1-4020-5764-9_19, ISBN 978-1-4020-4843-2