Субкомпактный кардинал

В математике субкомпактный кардинал — это определенный вид большого кардинального числа.

Кардинальное число κ является субкомпактным тогда и только тогда, когда для каждого A ⊂ H ( κ ⁺ ) существует нетривиальное элементарное вложение j:( H ( μ ⁺ ), B ) → ( H ( κ ⁺ ), A ) (где H ( κ ⁺ ) — множество всех множеств мощности, наследственно меньшей κ ⁺ ) с критической точкой μ и j ( μ ) = κ .

Аналогично, κ является квазикомпактным кардиналом тогда и только тогда, когда для каждого A ⊂ H ( κ ⁺ ) существует нетривиальное элементарное вложение j :( H ( κ ⁺ ), A ) → ( H ( μ ⁺ ), B ) с критической точкой κ и j ( κ ) = μ .

H ( λ ) состоит из всех множеств, транзитивное замыкание которых имеет мощность меньше λ .

Каждый квазикомпактный кардинал является субкомпактным. Квазикомпактность является усилением субкомпактности, поскольку она проецирует большие кардинальные свойства вверх. Это отношение аналогично отношению расширяемых и суперкомпактных кардиналов . Квазикомпактность можно рассматривать как усиленную или «жирную» версию 1-расширяемости. Существование субкомпактных кардиналов подразумевает существование многих 1-расширяемых кардиналов и, следовательно, многих суперсильных кардиналов . Существование 2 ^κ -суперкомпактного кардинала κ подразумевает существование многих квазикомпактных кардиналов.

Субкомпактные кардиналы примечательны как наименьшие большие кардиналы, подразумевающие провал квадратного принципа . Если κ субкомпактно, то квадратный принцип не выполняется в κ. Канонические внутренние модели на уровне субкомпактных кардиналов удовлетворяют квадратному принципу во всех случаях, кроме субкомпактных кардиналов. (Существование таких моделей пока не доказано, но в любом случае квадратный принцип может быть принудительно применен для более слабых кардиналов.)

Квазикомпактность — одно из самых сильных больших кардинальных свойств, которые могут быть засвидетельствованы текущими внутренними моделями, не использующими длинные расширители. Для текущих внутренних моделей включенные элементарные вложения определяются их влиянием на P ( κ ) (вычисленным на этапе включения вложения), где κ — критическая точка. Это не позволяет им засвидетельствовать даже κ ⁺ сильно компактный кардинальный κ .

Субкомпактные и квазикомпактные кардиналы были определены Рональдом Дженсеном .

Ссылки

«Квадрат в основных моделях» в выпуске журнала Bulletin of Symbolic Logic за сентябрь 2001 г.

Эта статья по теории множеств — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.