спорадическая группа Маклафлина

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический
Дискретные группы Решетки Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) СЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Маклафлина McL представляет собой спорадическую простую группу порядка

   2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898 128 000

≈ 9 × 10⁸ .

McL — одна из 26 спорадических групп, открытая Джеком Маклафлином (1969) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующей на графе Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершинами. Она фиксирует треугольник 2-2-3 в решетке Лича и, таким образом, является подгруппой групп Конвея , , и . Ее множитель Шура имеет порядок 3, а ее внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL:2 является максимальной подгруппой группы Лайонса .${\displaystyle \mathrm {Co} _{0}}$${\displaystyle \mathrm {Co} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$

McL имеет один класс сопряженности инволюции (элемент порядка 2), централизатор которого является максимальной подгруппой типа 2.A ₈ . Он имеет центр порядка 2; частное по модулю центра изоморфно знакопеременной группе A ₈ .

В группе Конвея Co ₃ McL имеет нормализатор McL:2, который максимален в Co ₃ .

McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Матье M ₂₂ . Внешний автоморфизм меняет местами два класса групп M ₂₂ . Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа Co ₃ .

Удобное представление M ₂₂ находится в матрицах перестановок на последних 22 координатах; оно фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами в начале координат и точками типа 2 x = (−3, 1 ²³ ) и y = (−4,-4,0 ²² ) '. Ребро треугольника x - y = (1, 5, 1 ²² ) имеет тип 3 ; оно фиксируется Co ₃ . Это M ₂₂ является мономом и максимальной подгруппой представления McL.

Wilson (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL хорошо определена. В решетке Лича предположим, что точка v типа 3 зафиксирована экземпляром . Подсчитайте точки w типа 2 , такие, что скалярное произведение v · w = 3 (и, таким образом, v - w имеет тип 2). Он показывает, что их число равно 552 = 2 ³ ⋅3⋅23 и что этот Co ₃ транзитивен на этих w .${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$

|McL| = |Co3|/552 = 898 128 000.

McL — единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионного типа . Она имеет 2 таких представления, одно размерности 3520 и одно размерности 4752.

Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп McL следующим образом:

• U ₄ (3) порядок 3,265,920 индекс 275 – точка стабилизатора его действия на графе Маклафлина
• M ₂₂ порядок 443 520 индекс 2 025 (два класса, объединенные внешним автоморфизмом)
• U ₃ (5) заказ 126 000 индекс 7 128
• 3 ¹⁺⁴ :2.S ₅ заказ 58,320 индекс 15,400
• 3 ⁴ : М ₁₀ заказ 58,320 индекс 15,400
• L ₃ (4):2 ₂ заказ 40,320 индекс 22,275
• 2.A ₈ порядок 40,320 индекс 22,275 – централизатор инволюции
• 2 ⁴ :A ₇ порядок 40,320 индекс 22,275 (два класса, объединенные под внешним автоморфизмом)
• М ₁₁ заказ 7,920 индекс 113,400
• 5 ₊ ¹⁺² :3:8 заказ 3000 индекс 299 376

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. ^[2]

Показаны структуры циклов в представлении перестановки ранга 3, степени 275, McL. ^[3]

Конвей и Нортон предположили в своей статье 1979 года, что чудовищный лунный свет не ограничивается монстром. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея–Томпсона — это и .${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$

• Конвей, Дж. Х .; Кертис, Р. Т.; Нортон, С. П.; Паркер, Р. А.; и Уилсон, Р. А .: « Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп ». Оксфорд, Англия, 1985.
• Финкельштейн, Ларри (1973), «Максимальные подгруппы группы Конвея C ₃ и группы Маклафлина», Журнал алгебры , 25 : 58–89, doi : 10.1016/0021-8693(73)90075-6 , ISSN  0021-8693, MR  0346046
• Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, г-н  1707296
• Маклафлин, Джек (1969), «Простая группа порядка 898 128 000», в Brauer, R .; Sah, Chih-han (ред.), Theory of Finite Groups (симпозиум, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, 1968) , Benjamin, Нью-Йорк, стр. 109–111, MR  0242941
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, ЗБЛ  1203.20012

• MathWorld: группа Маклафлина
• Атлас представлений конечных групп: группа Маклафлина