Полиномы Бейтмана

В математике полиномы Бейтмана — это семейство F _n ортогональных полиномов, введенное Бейтманом  (1933). Полиномы Бейтмана–Пастернака — это обобщение, введенное Пастернаком (1939).

Полиномы Бейтмена можно определить соотношением

${\displaystyle F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} (x) = \operatorname {sech} (x)P_ {n}(\tanh (x) ).}$

где P _n — полином Лежандра . В терминах обобщенных гипергеометрических функций они задаются как

${\displaystyle F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).}$

Пастернак (1939) обобщил полиномы Бейтмена до полиномов F^м
_нс

${\displaystyle F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m +1}(x)P_{n}(\tanh(x))}$

Эти обобщенные многочлены также имеют представление в терминах обобщенных гипергеометрических функций, а именно

${\displaystyle F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).}$

Карлиц (1957) показал, что полиномы Q _{n ,} изученные Тушаром (1956), см. Полиномы Тушара , совпадают с полиномами Бейтмена с точностью до замены переменной: точнее

${\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1) }$

Многочлены Бейтмана и Пастернака являются частными случаями симметричных непрерывных многочленов Хана .

Полиномы малых n читаются

${\displaystyle F_{0}(x)=1}$;

${\displaystyle F_{1}(x)=-x}$;

${\displaystyle F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}}$;

${\displaystyle F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}}$;

${\displaystyle F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}}$;

${\displaystyle F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}}$;

Полиномы Бейтмена удовлетворяют соотношению ортогональности ^{[1] [2]}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}$

Фактор появляется в правой части этого уравнения, поскольку полиномы Бейтмана, определенные здесь, должны быть масштабированы с помощью фактора , чтобы они оставались вещественными для мнимого аргумента. Отношение ортогональности проще, когда оно выражается в терминах модифицированного набора полиномов, определенных как , для которого оно становится${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle я^{н}}$${\displaystyle B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}$

Последовательность полиномов Бейтмена удовлетворяет рекуррентному соотношению ^[3]

${\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).}$

Полиномы Бейтмена также имеют производящую функцию

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),}$

который иногда используется для их определения. ^[4]

• Аль-Салам, Надхла А. (1967). «Класс гипергеометрических многочленов». Ann. Mat. Pura Appl . 75 (1): 95–120. doi : 10.1007/BF02416800 .
• Бейтман, Х. (1933), «Некоторые свойства определенного набора полиномов», Tôhoku Mathematical Journal , 37 : 23–38, JFM  59.0364.02
• Карлиц, Леонард (1957), «Некоторые многочлены Тушара, связанные с числами Бернулли», Canadian Journal of Mathematics , 9 : 188–190, doi : 10.4153/CJM-1957-021-9 , ISSN  0008-414X, MR  0085361
• Koelink, HT (1996), «О Якоби и непрерывных многочленах Хана», Труды Американского математического общества , 124 (3): 887–898, arXiv : math/9409230 , doi : 10.1090/S0002-9939-96-03190-5 , ISSN  0002-9939, MR  1307541
• Пастернак, Саймон (1939), «Обобщение многочлена F _n (x)», Лондон, Эдинбург и Дублин Philosophical Magazine and Journal of Science , 28 (187): 209–226, doi :10.1080/14786443908521175, MR  0000698
• Тушар, Жак (1956), «Nombres expentiels et nombres de Bernulli», Canadian Journal of Mathematics , 8 : 305–320, doi : 10.4153/cjm-1956-034-1 , ISSN  0008-414X, MR  0079021