Хиральный узел
В математической области теории узлов хиральный узел — это узел , который не эквивалентен своему зеркальному отображению (когда он идентичен, но перевернут). Ориентированный узел, который эквивалентен своему зеркальному отображению, — это амфикейральный узел , также называемый ахиральным узлом . Хиральность узла — это инвариант узла . Хиральность узла может быть далее классифицирована в зависимости от того, является ли он обратимым или нет .
Существует всего пять типов симметрии узлов, определяемых хиральностью и обратимостью: полностью хиральный, обратимый, положительно амфихейральный необратимый, отрицательно амфихейральный необратимый и полностью амфихейральный обратимый. [1]
Фон
Возможная хиральность некоторых узлов подозревалась с 1847 года, когда Иоганн Листинг утверждал, что трилистник является хиральным, [2] и это было доказано Максом Деном в 1914 году. PG Tait нашел все амфихейральные узлы до 10 пересечений и предположил, что все амфихейральные узлы имеют четное число пересечений . Мэри Гертруда Хаземан нашла все 12-пересекающиеся и многие 14-пересекающиеся амфихейральные узлы в конце 1910-х годов. [3] [4] Но контрпример к гипотезе Tait, 15-пересекающийся амфихейральный узел, был найден Джимом Хосте, Морвен Тислтуэйт и Джеффом Уиксом в 1998 году. [5] Однако гипотеза Tait была доказана верной для простых , чередующихся узлов . [6]
| Количество переходов | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | последовательность OEIS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Хиральные узлы | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 | Н/Д |
| Обратимые узлы | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 | А051769 |
| Полностью хиральные узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 | А051766 |
| Амфихейральные узлы | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | 1 | 1539 | А052401 |
| Положительные амфихейральные необратимые узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 65 | А051767 |
| Отрицательные амфихейральные необратимые узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | 1 | 1361 | А051768 |
| Полностью амфихейральные узлы | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 | 0 | 113 | А052400 |
- Оба возможных трилистника .
- Левосторонний узел-трилистник.
- Правосторонний узел-трилистник.
Простейшим хиральным узлом является узел трилистник , который, как показал Макс Ден , является хиральным . Все нетривиальные торические узлы являются хиральными. Многочлен Александера не может отличить узел от его зеркального отображения, но многочлен Джонса может в некоторых случаях; если V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), то узел является хиральным, однако обратное неверно. Многочлен HOMFLY еще лучше обнаруживает хиральность, но не известно ни одного инварианта полиномиального узла , который мог бы полностью обнаружить хиральность. [7]
Обратимый узел
Хиральный узел, который может быть плавно деформирован в себя с противоположной ориентацией, классифицируется как обратимый узел. [8] Примерами служат узел-трилистник.
Полностью хиральный узел
Если узел не эквивалентен своему обратному или зеркальному отображению, то это полностью хиральный узел, например, узел 9 32. [8]
Амфихейральный узел
Амфихейральный узел - это узел, который имеет ориентацию -обратный само- гомеоморфизм 3-сферы , α, фиксирующий узел по принципу множества. Все амфихейральные альтернирующие узлы имеют четное число пересечений . Первый амфихейральный узел с нечетным числом пересечений - это 15-пересекающийся узел, открытый Хосте и др. [6]
Полностью амфихейральный
Если узел изотопен как своему обратному, так и своему зеркальному отображению, он полностью амфихейрален. Простейший узел с этим свойством — узел восьмерка .
Положительный амфихейральный
Если самогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, то говорят, что он положительно амфихейрален. Это эквивалентно тому, что узел изотопен своему зеркалу. Никакие узлы с числом пересечений меньше двенадцати не являются положительно амфихейрален и необратимы. [8]
Отрицательный амфихейральный
Если самогомеоморфизм α меняет ориентацию узла на противоположную, то говорят, что он является отрицательным амфикейральным. Это эквивалентно тому, что узел изотопен обратному своему зеркальному отображению. Необратимый узел с этим свойством, имеющий наименьшее количество пересечений, — это узел 8 17 . [8]
Ссылки
- ^ Хост, Джим; Тистлтуэйт, Морвен; Уикс, Джефф (1998), «Первые 1,701,936 узлов» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi :10.1007/BF03025227, MR 1646740, S2CID 18027155, архивировано из оригинала (PDF) 2013-12-15.
- ^ Przytycki, Józef H. (1998). "Классические корни теории узлов". Хаос, солитоны и фракталы . 9 (4/5): 531–45. Bibcode : 1998CSF.....9..531P. doi : 10.1016/S0960-0779(97)00107-0.
- ^ Хаземан, Мэри Гертруда (1918). «XI.—Об узлах, с переписью Амфихейралов с двенадцатью перекрестками». Trans. R. Soc. Edinb . 52 (1): 235–55. doi :10.1017/S0080456800012102. S2CID 123957148.
- ^ Хаземан, Мэри Гертруда (1920). "XXIII.—Амфикейральные узлы". Trans. R. Soc. Edinb . 52 (3): 597–602. doi :10.1017/S0080456800004476. S2CID 124014620.
- ^ Хост, Джим; Тистлтуэйт, Морвен; Уикс, Джефф (1998). «Первые 1,701,936 узлов». Math. Intell . 20 (4): 33–48. doi :10.1007/BF03025227. S2CID 18027155.
- ^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Амфихиральный узел». Математический мир .Доступно: 5 мая 2013 г.
- ^ Рамадеви, П.; Говиндараджан, ТР; Каул, РК (1994). «Киральность узлов 9 42 и 10 71 и теория Черна-Саймонса»". Mod. Phys. Lett. A . 9 (34): 3205–18. arXiv : hep-th/9401095 . Bibcode :1994MPLA....9.3205R. doi :10.1142/S0217732394003026. S2CID 119143024.
- ^ abcd «Трехмерные инварианты», Атлас узлов .
