Лицо (геометрия)

В геометрии тела грань — это плоская поверхность ( плоская область ), которая образует часть границы твердого тела; ^[1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, называется многогранником . Грань может быть конечной, как многоугольник или круг, или бесконечной, как полуплоскость или плоскость. ^[2]

В более технических трактовках геометрии многогранников и многогранников более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом числе измерений). ^[3]

В элементарной геометрии грань — это многоугольник ^{[примечание 1]} на границе многогранника . [ ^{3] [4]} Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и плитку евклидовой плоскости .

Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения 2-мерных особенностей 4-политопа . В этом смысле 4-мерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет две из 8 кубических ячеек.

Обычные примеры символа Шлефли

Многогранник	Звездчатый многогранник	Эвклидова мозаика	Гиперболическая мозаика	4-многогранник
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
Куб имеет 3 квадратных грани на вершину.	Малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграммных граней на вершину.	Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет 4 квадратных грани на вершину.	Квадратная мозаика порядка 5 имеет 5 квадратных граней на вершину.	Тессеракт имеет 3 квадратных грани на каждом ребре.

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.

${\displaystyle V-E+F=2,}$

где V — число вершин , E — число ребер , а F — число граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, число граней на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом вершин. Например, куб имеет 12 ребер и 8 вершин, и, следовательно, 6 граней.

В многомерной геометрии грани многогранника являются характеристиками всех измерений. ^{[3] [5] [6]} Грань размерности k называется k -гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-гранями. В теории множеств множество граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество, где пустому множеству для согласованности задается «размерность» −1. Для любого n -политопа ( n -мерного многогранника), −1 ≤ k ≤ n .

Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), его (отрезки) ребра (1-грани), его (точки) вершины (0-грани) и пустое множество.

В некоторых областях математики, таких как полиэдральная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально, грань многогранника P — это пересечение P с любым замкнутым полупространством , граница которого не пересекается с внутренностью P. ^[7] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество. [ ^{5] [6]}

В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости смягчено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало сам многогранник и пустое множество.

n -мерный симплекс (отрезок прямой ( n = 1 ), треугольник ( n = 2 ), тетраэдр ( n = 3 ) и т. д.), определяемый n + 1 вершиной, имеет грань для каждого подмножества вершин, от пустого множества до множества всех вершин. В частности, всего имеется 2 ^{n + 1} граней. Число из них, которые являются k -гранями, для k ∈ {−1, 0, ..., n } , является биномиальным коэффициентом . ${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$

Существуют специальные названия для k -граней в зависимости от значения k и, в некоторых случаях, от того, насколько близко k к размерности n многогранника.

Вершина — общепринятое название 0-гранника.

Эдж — общепринятое название для одногранника.

Использование слова face в контексте, где для k -face подразумевается конкретное k , но явно не указано, обычно является двусторонним.

Ячейка — это многогранный элемент ( 3-грань ) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики, или выше. Ячейки — это грани для 4-мерных многогранников и 3-сот.

Примеры:

Обычные примеры символа Шлефли

4-многогранники		3-соты
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
Тессеракт имеет 3 кубические ячейки (3 грани) на каждом ребре.	120-ячейка имеет 3 додекаэдрические ячейки (3 грани) на ребро.	Кубические соты заполняют евклидово трехмерное пространство кубами, по 4 ячейки (3 грани) на ребро.	Додекаэдрические соты четвертого порядка заполняют трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки (3 грани) на ребро.

В многомерной геометрии грани (также называемые гипергранями ) ^[8] n -политопа являются ( n − 1 )-гранями (гранями размерности на единицу меньше, чем сам политоп). ^[9] Политоп ограничен своими гранями.

Например:

• Грани отрезка прямой — это его 0-грани или вершины .
• Грани многоугольника — это его одномерные грани или ребра .
• Грани многогранника или плоской мозаики являются его 2-мя гранями .
• Грани 4D-политопа или 3-соты — это его 3-грани или ячейки.
• Грани 5D-политопа или 4-соты являются его 4-мя гранями .

В родственной терминологии ( n − 2 ) -грани n-го многогранника называются гребнями (также подгранями ). ^[10] Гребень рассматривается как граница между ровно двумя гранями многогранника или сот.

Например:

• Гребни двумерного многоугольника или одномерной мозаики являются его 0-гранями или вершинами .
• Гребни трехмерного многогранника или плоской мозаики являются его одномерными гранями или ребрами .
• Гребни 4D-политопа или 3-соты являются его 2-гранями или просто гранями .
• Гребни 5D-политопа или 4-соты являются его 3-мя гранями или ячейками .

( n − 3 ) -грани n- политопа называются пиками . Пик содержит ось вращения граней и гребней в правильном политопе или сотах.

Например:

• Вершины трехмерного многогранника или плоской мозаики являются его 0-гранями или вершинами .
• Вершины 4D-политопа или 3-соты являются его 1-гранями или ребрами .
• Вершины 5D-политопа или 4-соты являются его 2-гранями или просто гранями .

Пусть , где — векторное пространство .${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle V}$

Грань или экстремальный набор — это набор, такой что и и подразумевает, что . ^[11] То есть, если точка лежит строго между некоторыми точками , то .${\displaystyle C}$${\displaystyle F\subseteq C}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle 0<\theta <1}$${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\in F}$${\displaystyle x,y\in F}$${\displaystyle p\in F}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x,y\in F}$

Крайняя точка — это точка, такая что является гранью . ^[11] То есть, если лежит между некоторыми точками , то .${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x=y=p}$

Открытая грань — это подмножество точек, где линейный функционал достигает своего минимума на . Таким образом, если — линейный функционал на и , то — открытая грань .${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha =\inf\{fc\ \colon c\in C\}>-\infty }$${\displaystyle \{c\in C\ \colon fc=\alpha \}}$${\displaystyle C}$

Открытая точка — это точка , которая является открытой гранью . То есть для всех .${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle fp>fc}$${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$

Некоторые авторы не включают и/или в число (открытых) граней. Некоторые авторы требуют, чтобы и/или были выпуклыми (иначе граница диска является гранью диска, а также любым подмножеством границы) или замкнутыми. Некоторые авторы требуют, чтобы функционал был непрерывным в заданной векторной топологии .${\displaystyle C}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$

Объединение крайних множеств некоторого множества является крайним множеством .${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Открытая грань является гранью. Открытая грань является выпуклой, если является выпуклой.${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Если является гранью , то является гранью тогда и только тогда, когда является гранью .${\displaystyle F}$${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle E\subseteq F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C}$

• Решетка лицевая

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.

• Вайсштейн, Эрик В. "Лицо". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Грань». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Сторона". MathWorld .