Тензор энергии-напряжения

Общая теория относительности
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_ {\mu \nu } = {\kappa }T_ {\mu \nu }}$
Введение История Хронология Тесты Математическая формулировка
Фундаментальные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Феномены проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационное красное смещение Гравитационное замедление времени Гравитационные волны Перетаскивание кадров Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени пространство-время Минковского Мост Эйнштейна-Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон–Папапетру–Диксон Гамильтон–Якоби–Эйнштейн Формализмы АДМ БССН Пост-ньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы–Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( внутри ) Рейсснер–Нордстрём Волны Эйнштейна–Розена Червоточина Гёдель Керр Керр–Ньюман Керр–Ньюман–де Ситтер Каснер Леметр–Толман Тауб–НУТ Милн Робертсон–Уокер Оппенгеймер–Снайдер pp-волна пыль ван Штокума Вейль-Льюис-Папапетру Хартл–Торн
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберт Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Нордстрём Вейль Эддингтон Фридман Милн Цвикки Лемэтр Оппенгеймер Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Халс ван Штокум Тауб Ньюман Яу Торн другие
Физический портал  Категория
в т е

В Викиверситете есть обучающие ресурсы по теме Тензор энергии-импульса гравитационного поля

Тензор энергии-импульса , иногда называемый тензором энергии-импульса или тензором энергии-импульса , является тензорной физической величиной , которая описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени , обобщая тензор напряжений ньютоновской физики . Он является атрибутом материи , излучения и негравитационных силовых полей . Эта плотность и поток энергии и импульса являются источниками гравитационного поля в уравнениях поля Эйнштейна общей теории относительности , так же как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации .

Тензор энергии-импульса подразумевает использование переменных с верхним индексом ( не экспонент; см. обозначение индекса тензора и обозначение суммирования Эйнштейна ). Если используются декартовы координаты в единицах СИ , то компоненты четырехвектора положения x задаются как: [ x ⁰ , x ¹ , x ² , x ³ ] . В традиционных декартовых координатах они вместо этого обычно записываются как [ t , x , y , z ] , где t — время в секундах, а x , y и z — расстояния в метрах .

Тензор энергии-импульса определяется как тензор T ^αβ второго порядка, который дает поток α -й компоненты вектора импульса через поверхность с постоянной координатой x ^β . В теории относительности этот вектор импульса принимается за четырехимпульс . В общей теории относительности тензор энергии-импульса симметричен, ^[a] $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }~.}$$

В некоторых альтернативных теориях, таких как теория Эйнштейна–Картана , тензор энергии-импульса может быть не идеально симметричным из-за ненулевого тензора спина , который геометрически соответствует ненулевому тензору кручения .

Поскольку тензор энергии-импульса имеет порядок 2, его компоненты можно отобразить в виде матрицы 4 × 4: где индексы μ и ν принимают значения 0, 1, 2, 3.$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}\,,}$$

Далее k и ℓ находятся в диапазоне от 1 до 3:

В физике твердого тела и механике жидкости тензор напряжения определяется как пространственные компоненты тензора напряжения-энергии в соответствующей системе отсчета. Другими словами, тензор напряжения-энергии в инженерии отличается от релятивистского тензора напряжения-энергии импульсно-конвективным членом.

Большая часть этой статьи работает с контравариантной формой T ^μν тензора энергии-импульса. Однако часто необходимо работать с ковариантной формой, или смешанной формой, или как смешанная плотность тензора$${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$$$${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },}$$$${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.}$$

В данной статье для метрической сигнатуры используется пространственное соглашение о знаках (−+++).

Тензор энергии-импульса представляет собой сохраняющийся ток Нётер, связанный с пространственно-временными трансляциями .

Дивергенция негравитационного напряжения-энергии равна нулю. Другими словами, негравитационная энергия и импульс сохраняются. Когда гравитация пренебрежимо мала и используется декартова система координат для пространства-времени, это может быть выражено в терминах частных производных как $${\displaystyle \ 0\ =\ T^{\mu \nu }{}_{;\nu }\ \equiv \ \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}~.}$$$${\displaystyle \ 0\ =\ T^{\mu \nu }{}_{,\nu }\ \equiv \ \partial _{\nu }T^{\mu \nu }~.}$$

Интегральная форма нековариантной формулировки имеет вид , где N — любая компактная четырехмерная область пространства-времени; — ее граница, трехмерная гиперповерхность; а — элемент границы, рассматриваемый как внешняя нормаль.$${\displaystyle \ 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\ }$$${\textstyle \ \partial N\ }$${\textstyle \ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\ }$

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент также сохраняется:$${\displaystyle \ 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }~.}$$

Когда гравитация не пренебрежимо мала или при использовании произвольных систем координат, расхождение напряжения-энергии все еще исчезает. Но в этом случае используется определение расхождения без координат , которое включает ковариантную производную , где — символ Кристоффеля , который является полем гравитационной силы .$${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$$${\textstyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

Следовательно, если — любое векторное поле Киллинга , то закон сохранения, связанный с симметрией, порождаемой векторным полем Киллинга, может быть выражен как${\textstyle \xi ^{\mu }}$$${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$$

Интегральная форма этого есть$${\displaystyle 0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$$

В специальной теории относительности тензор энергии-импульса содержит информацию о плотностях энергии и импульса данной системы, в дополнение к плотностям потока импульса и энергии. ^[4]

Учитывая плотность Лагранжа , которая является функцией набора полей и их производных, но явно не какой-либо из пространственно-временных координат, мы можем построить канонический тензор энергии-импульса, рассматривая полную производную по одной из обобщенных координат системы. Итак, с нашим условием${\textstyle {\mathcal {L}}}$${\textstyle \phi _{\alpha }}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\nu }}}=0}$$

Используя цепное правило, мы имеем$${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dx^{\nu }}}=d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial x^{\nu }}}}$$

Написано в удобной стенографии,$${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$$

Затем мы можем использовать уравнение Эйлера–Лагранжа:$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}}$$

А затем используем тот факт, что частные производные коммутируют, так что теперь мы имеем$${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$$

Мы можем распознать правую часть как правило произведения. Запись его как производной произведения функций говорит нам, что$${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]}$$

Теперь, в плоском пространстве, можно написать . Сделав это и переместив это на другую сторону уравнения, мы получаем, что${\textstyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }[\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}]}$$${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)=0}$$

И при перегруппировке условий,$${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right]=0}$$

Это означает, что дивергенция тензора в скобках равна 0. Действительно, таким образом мы определяем тензор энергии-импульса:$${\displaystyle T_{\nu }^{\mu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}$$

По конструкции он имеет свойство, что$${\displaystyle \partial _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0}$$

Обратите внимание, что это свойство бездивергентности этого тензора эквивалентно четырем уравнениям непрерывности . То есть поля имеют по крайней мере четыре набора величин, которые подчиняются уравнению непрерывности. В качестве примера можно увидеть, что — плотность энергии системы и что таким образом можно получить плотность гамильтониана из тензора энергии-импульса.${\textstyle T_{0}^{0}}$

Действительно, поскольку это так, то, заметив, что , мы тогда имеем${\textstyle \partial _{\mu }T_{0}^{\mu }=0}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0}$$

Тогда мы можем заключить, что члены представляют плотность потока энергии системы.${\textstyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }}$

Обратите внимание, что след тензора энергии-напряжения определяется как , поэтому${\textstyle T_{\mu }^{\mu }}$$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$$

С ,${\textstyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$$

В общей теории относительности симметричный тензор энергии-импульса действует как источник кривизны пространства-времени и является плотностью тока, связанной с калибровочными преобразованиями гравитации, которые являются общими криволинейными преобразованиями координат . (Если есть кручение , то тензор больше не является симметричным. Это соответствует случаю с ненулевым тензором спина в теории гравитации Эйнштейна–Картана .)

В общей теории относительности частные производные, используемые в специальной теории относительности, заменяются ковариантными производными . Это означает, что уравнение непрерывности больше не подразумевает, что негравитационная энергия и импульс, выраженные тензором, абсолютно сохраняются, т. е. гравитационное поле может выполнять работу над материей и наоборот. В классическом пределе ньютоновской гравитации это имеет простую интерпретацию: кинетическая энергия обменивается с гравитационной потенциальной энергией , которая не включена в тензор, и импульс передается через поле другим телам. В общей теории относительности псевдотензор Ландау–Лифшица является уникальным способом определения плотности энергии и импульса гравитационного поля. Любой такой псевдотензор энергии-импульса можно заставить локально исчезнуть с помощью преобразования координат.

В искривленном пространстве-времени пространственноподобный интеграл теперь зависит от пространственноподобного среза, в общем случае. Фактически нет способа определить глобальный вектор энергии-импульса в общем искривленном пространстве-времени.

В общей теории относительности тензор энергии-импульса изучается в контексте уравнений поля Эйнштейна, которые часто записываются как где — тензор Риччи , — скаляр Риччи ( тензорная контракция тензора Риччи), — метрический тензор , Λ — космологическая постоянная (пренебрежимо малая в масштабах галактики или меньше), — гравитационная постоянная Эйнштейна .$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$${\textstyle R_{\mu \nu }}$${\textstyle R}$${\textstyle g_{\mu \nu }\,}$${\textstyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$

В специальной теории относительности энергия-импульс невзаимодействующей частицы с массой покоя m и траекторией равна: где — вектор скорости (который не следует путать с четырехскоростью , поскольку в нем отсутствует a ) , — ​​дельта-функция Дирака , — энергия частицы.${\textstyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))}$$${\textstyle v^{\alpha }}$${\textstyle \gamma }$$${\displaystyle v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$$${\textstyle \delta }$${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

На языке классической физики тензор энергии-импульса будет записан следующим образом: (релятивистская масса, импульс, двоичное произведение импульса и скорости) .$${\displaystyle \left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)}$$

Для идеальной жидкости, находящейся в термодинамическом равновесии , тензор энергии-напряжения принимает особенно простую форму$${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$$

где — плотность массы-энергии ( килограммов на кубический метр), — гидростатическое давление ( паскалей ), — 4-скорость жидкости , а — матрица, обратная метрическому тензору . Таким образом, след задается как${\textstyle \rho }$${\textstyle p}$${\textstyle u^{\alpha }}$${\textstyle g^{\alpha \beta }}$$${\displaystyle T_{\,\alpha }^{\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.}$$

Четырехскоростной удовлетворяет​$${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$$

В инерциальной системе отсчета, сопутствующей жидкости, более известной как собственная система отсчета жидкости , четырехскорость равна $${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$$

матрица, обратная метрическому тензору, просто$${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,}$$

а тензор энергии-напряжения представляет собой диагональную матрицу$${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$$

Тензор энергии-импульса Гильберта электромагнитного поля без источника равен$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$$

где - тензор электромагнитного поля .${\textstyle F_{\mu \nu }}$

Тензор энергии-импульса для комплексного скалярного поля , удовлетворяющего уравнению Клейна–Гордона, имеет вид , а когда метрика плоская (Минковский в декартовых координатах), его компоненты имеют вид:${\textstyle \phi }$$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$$

Существует ряд неэквивалентных определений ^[5] негравитационного напряжения-энергии:

Тензор энергии-импульса Гильберта определяется как функциональная производная , где — негравитационная часть действия , — негравитационная часть плотности лагранжиана , и использовалось уравнение Эйлера–Лагранжа . Оно симметрично и калибровочно-инвариантно. Для получения дополнительной информации см. действие Эйнштейна–Гильберта .$${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },}$$${\textstyle S_{\mathrm {matter} }}$${\textstyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$

Теорема Нётер подразумевает, что существует сохраняющийся ток, связанный с трансляциями в пространстве и времени; подробности см. в разделе выше о тензоре энергии-импульса в специальной теории относительности. Это называется каноническим тензором энергии-импульса. Как правило, это не симметрично, и если у нас есть некоторая калибровочная теория, она может не быть калибровочно-инвариантной, поскольку зависящие от пространства калибровочные преобразования не коммутируют с пространственными трансляциями.

В общей теории относительности переносы происходят относительно системы координат и, как таковые, не преобразуются ковариантно. См. раздел ниже о псевдотензоре гравитационного напряжения–энергии.

При наличии спина или другого внутреннего углового момента канонический тензор напряжения-энергии Нётера не может быть симметричным. Тензор напряжения-энергии Белинфанте-Розенфельда строится из канонического тензора напряжения-энергии и спинового тока таким образом, чтобы быть симметричным и при этом сохраняться. В общей теории относительности этот модифицированный тензор согласуется с тензором напряжения-энергии Гильберта.

По принципу эквивалентности гравитационное напряжение-энергия всегда будет локально обращаться в нуль в любой выбранной точке в некоторой выбранной системе отсчета, поэтому гравитационное напряжение-энергия не может быть выражено как ненулевой тензор; вместо этого мы должны использовать псевдотензор .

В общей теории относительности существует множество возможных различных определений псевдотензора гравитационного напряжения-энергии-импульса. К ним относятся псевдотензор Эйнштейна и псевдотензор Ландау–Лифшица . Псевдотензор Ландау–Лифшица может быть сведен к нулю в любом событии в пространстве-времени путем выбора подходящей системы координат.

• Wyss, Walter (14 июля 2005 г.). "Тензор энергии-импульса в классической теории поля" (PDF) . Universal Journal of Physics and Applications . Old and New Concepts of Physics [предыдущее название журнала] . II (3–4): 295–310. ISSN  2331-6543. ... классической теории поля и, в частности, роли, которую член дивергенции играет в лагранжиане ...

• Лекция, Стефан Ванер
• Учебник Caltech по теории относительности — Простое обсуждение связи между тензором энергии-импульса общей теории относительности и метрикой