теория Аракелова
Математическая теория

В математике теория Аракелова ( или геометрия Аракелова ) — это подход к диофантовой геометрии , названный в честь Сурена Аракелова . Он используется для изучения диофантовых уравнений в высших размерностях.

Фон

Основная мотивация геометрии Аракелова заключается в том, что существует соответствие между простыми идеалами и конечными местами , но также существует место на бесконечности , заданное архимедовой оценкой , которая не имеет соответствующего простого идеала. Геометрия Аракелова дает технику компактификации в полное пространство , которое имеет простое число, лежащее на бесконечности. Оригинальная конструкция Аракелова изучает одну такую ​​теорию, где определение дивизоров является конструктором для схемы относительной размерности 1 над такой, что она продолжается до римановой поверхности для каждой оценки на бесконечности. Кроме того, он снабжает эти римановы поверхности эрмитовыми метриками на голоморфных векторных расслоениях над X ( C ), комплексными точками . Эта дополнительная эрмитова структура применяется в качестве замены неспособности схемы Spec( Z ) быть полным многообразием . п ∈ Спецификация ( З ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )} в п : В ∗ → Р {\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} } в ∞ {\displaystyle v_{\infty}} Спецификация ( З ) {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )} Спецификация ( З ) ¯ {\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}} Х {\displaystyle {\mathfrak {X}}} Спецификация ( О К ) {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} Х ∞ = Х ( С ) {\displaystyle X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )} Х {\displaystyle X}

Обратите внимание, что существуют и другие методы построения полного расширения пространства , которое является основой геометрии F 1 . Спецификация ( З ) {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}

Первоначальное определение делителей

Пусть будет полем, его кольцом целых чисел и кривой рода над с невырожденной моделью , называемой арифметической поверхностью . Также пусть будет включением полей (которое должно представлять место на бесконечности). Также пусть будет ассоциированной римановой поверхностью от замены базы до . Используя эти данные, можно определить c-дивизор как формальную линейную комбинацию , где — неприводимое замкнутое подмножество коразмерности 1, , и , а сумма представляет собой сумму по каждому действительному вложению и по одному вложению для каждой пары комплексных вложений . Множество c-дивизоров образует группу . К {\displaystyle К} О К {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} Х {\displaystyle X} г {\displaystyle г} К {\displaystyle К} Х → Спецификация ( О К ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} ∞ : К → С {\displaystyle \infty :K\to \mathbb {C} } Х ∞ {\displaystyle X_{\infty}} С {\displaystyle \mathbb {C} } Д = ∑ я к я С я + ∑ ∞ λ ∞ Х ∞ {\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }} С я {\displaystyle C_{i}} Х {\displaystyle {\mathfrak {X}}} к я ∈ З {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} } λ ∞ ∈ Р {\displaystyle \lambda _{\infty }\in \mathbb {R} } ∑ ∞ {\displaystyle \sum _ {\infty }} К → Р {\displaystyle K\to \mathbb {R} } К → С {\displaystyle K\to \mathbb {C} } Див с ( Х ) {\displaystyle {\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})}

Результаты

Аракелов  (1974, 1975) определил теорию пересечений на арифметических поверхностях, присоединенных к гладким проективным кривым над числовыми полями, с целью доказательства некоторых результатов, известных в случае полей функций, в случае числовых полей. Герд Фалтингс  (1984) расширил работу Аракелова, установив такие результаты, как теорема Римана-Роха, формула Нётер , теорема Ходжа об индексе и неотрицательность самопересечения дуализирующего пучка в этом контексте.

Теория Аракелова была использована Полом Войтой (1991) для нового доказательства гипотезы Морделла , а также Гердом Фалтингсом  (1991) в его доказательстве обобщения гипотезы Морделла, предложенного Сержем Лангом .

Пьер Делинь  (1987) разработал более общую структуру для определения пересечения пар, определенных на арифметической поверхности над спектром кольца целых чисел Аракелова. Шоу-У Чжан  (1992) разработал теорию положительных линейных расслоений и доказал теорему типа Накаи–Мойшезона для арифметических поверхностей. Дальнейшие разработки в теории положительных линейных расслоений Чжаном (1993, 1995a, 1995b) и Люсьеном Шпиро , Эммануэлем Ульмо и Чжаном (1997) достигли кульминации в доказательстве гипотезы Богомолова Ульмо (1998) и Чжаном (1998). [1]

Теория Аракелова была обобщена Анри Жилле и Кристофом Суле на более высокие размерности. То есть, Жилле и Суле определили сопряжение пересечений на арифметическом многообразии. Одним из основных результатов Жилле и Суле является арифметическая теорема Римана–Роха Жилле и Суле (1992), расширение теоремы Гротендика–Римана–Роха на арифметические многообразия. Для этого определяются арифметические группы Чжоу CH p ( X ) арифметического многообразия X и определяются классы Черна для эрмитовых векторных расслоений над X, принимающих значения в арифметических группах Чжоу. Затем арифметическая теорема Римана–Роха описывает, как класс Черна ведет себя при прямом продвижении векторных расслоений при собственном отображении арифметических многообразий. Полное доказательство этой теоремы было опубликовано совсем недавно Жилле, Рёсслером и Суле.

Теория пересечений Аракелова для арифметических поверхностей была развита Жаном-Бенуа Бостом (1999). Теория Боста основана на использовании функций Грина , которые с точностью до логарифмических особенностей принадлежат пространству Соболева . В этом контексте Бост получает арифметическую теорему Ходжа об индексе и использует ее для получения теорем Лефшеца для арифметических поверхностей. Л 1 2 {\displaystyle L_{1}^{2}}

Арифметические группы Чоу

Арифметический цикл коразмерности p — это пара ( Z ,  g ), где Z  ∈  Z p ( X ) — это p -цикл на X , а g — это ток Грина для Z , многомерное обобщение функции Грина. Арифметическая группа Чжоу коразмерности p — это фактор этой группы по подгруппе, порожденной некоторыми «тривиальными» циклами. [2] С ЧАС ^ п ( Х ) {\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}

Арифметическая теорема Римана–Роха

Обычная теорема Гротендика–Римана–Роха описывает, как характер Черна ch ведет себя при проталкивании пучков, и утверждает, что ch( f * ( E ))= f * (ch(E)Td X / Y ), где f — собственный морфизм из X в Y , а E — векторное расслоение над f . Арифметическая теорема Римана–Роха похожа, за исключением того, что класс Тодда умножается на определенный степенной ряд . Арифметическая теорема Римана–Роха утверждает, что где с час ^ ( ф ∗ ( [ Э ] ) ) = ф ∗ ( с час ^ ( Э ) Т г ^ Р ( Т Х / И ) ) {\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\ mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}

  • X и Y — регулярные проективные арифметические схемы.
  • f — гладкое собственное отображение из X в Y
  • E — арифметическое векторное расслоение над X.
  • с час ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}} — арифметический символ Черна.
  • T X/Y — относительное касательное расслоение
  • Т г ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}} это арифметический класс Тодда
  • Т г ^ Р ( Э ) {\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)} является Т г ^ ( Э ) ( 1 − ϵ ( Р ( Э ) ) ) {\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}
  • R ( X ) — аддитивный характеристический класс, связанный с формальным степенным рядом ∑ м > 0 м  странный Х м м ! [ 2 ζ ′ ( − м ) + ζ ( − м ) ( 1 1 + 1 2 + ⋯ + 1 м ) ] . {\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Leong, YK (июль–декабрь 2018 г.). «Shou-Wu Zhang: Number Theory and Arithmetic Algebraic Geometry» (PDF) . Imprints . No. 32. The Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore. pp.  32–36 . Получено 5 мая 2019 г. .
  2. ^ Манин и Панчишкин (2008) стр.400–401

Ссылки

  • Аракелов, Сурен Ж. (1974), "Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности", Матем. Известия СССР , 8 (6): 1167– 1180, doi :10.1070/IM1974v008n06ABEH002141, Zbl  0355.14002
  • Аракелов, Сурен Дж. (1975), «Теория пересечений на арифметической поверхности», Труды Международного конгресса математиков в Ванкувере , т. 1, Американское математическое общество, стр.  405–408 , Zbl  0351.14003
  • Бост, Жан-Бенуа (1999), «Теория потенциала и теоремы Лефшеца для арифметических поверхностей» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312 , doi :10.1016/s0012-9593(99)80015-9, ISSN  0012-9593, Збл  0931.14014
  • Делинь, П. (1987), «Определитель когомологий», Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Arcata, Калифорния, 1985) [ Определитель когомологий ], Contemporary Mathematics, т. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр.  93–177 , doi :10.1090/conm/067/902592, MR  0902592
  • Фалтингс, Герд (1984), «Исчисление на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , вторая серия, 119 (2): 387– 424, doi :10.2307/2007043, JSTOR  2007043
  • Фалтингс, Герд (1991), «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , вторая серия, 133 (3): 549– 576, doi :10.2307/2944319, JSTOR  2944319
  • Фалтингс, Герд (1992), Лекции по арифметической теореме Римана–Роха , Annals of Mathematics Studies, т. 127, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, doi : 10.1515/9781400882472, ISBN 0-691-08771-7, г-н  1158661
  • Жилле, Анри ; Суле, Кристоф (1992), «Арифметическая теорема Римана – Роха», Inventiones Mathematicae , 110 : 473–543 , doi : 10.1007/BF01231343
  • Кавагути, Шу; Мориваки, Ацуши; Ямаки, Казухико (2002), «Введение в геометрию Аракелова», Алгебраическая геометрия в Восточной Азии (Киото, 2001) , River Edge, NJ: World Sci. Publ., стр.  1–74 , doi :10.1142/9789812705105_0001, ISBN 978-981-238-265-8, МР  2030448
  • Ланг, Серж (1988), Введение в теорию Аракелова , Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-1031-3, ISBN 0-387-96793-1, MR  0969124, Zbl  0667.14001
  • Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
  • Соуле, Кристоф (2001) [1994], "Теория Аракелова", Энциклопедия математики , EMS Press
  • Soulé, C. ; в сотрудничестве с D. Abramovich, J.-F. Burnol и J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 33, Cambridge: Cambridge University Press, стр. viii+177, doi :10.1017/CBO9780511623950, ISBN 0-521-41669-8, МР  1208731
  • Шпиро, Люсьен ; Ульмо, Эммануэль ; Чжан, Шоу-Ву (1997), «Равное распределение мелких точек», Inventiones Mathematicae , 127 (2): 337–347 , Бибкод : 1997InMat.127..337S, doi : 10.1007/s002220050123, S2CID  119668209.
  • Ульмо, Эммануэль (1998), «Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes», Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179 , arXiv : alg-geom/9606017 , doi : 10.2307/120987, Zbl  0934.14013
  • Войта, Пол (1991), «Теорема Зигеля в компактном случае», Annals of Mathematics , 133 (3), Annals of Mathematics, т. 133, № 3: 509–548 , doi :10.2307/2944318, JSTOR  2944318
  • Чжан, Шоу-У (1992), «Положительные линейные расслоения на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , 136 (3): 569– 587, doi :10.2307/2946601.
  • Чжан, Шоу-У (1993), «Допустимое спаривание на кривой», Inventiones Mathematicae , 112 (1): 421– 432, Bibcode : 1993InMat.112..171Z, doi : 10.1007/BF01232429, S2CID  120229374.
  • Чжан, Шоу-У (1995a), «Малые точки и адельные метрики», Журнал алгебраической геометрии , 8 (1): 281– 300.
  • Чжан, Шоу-У (1995b), «Положительные линейные расслоения на арифметических многообразиях», Журнал Американского математического общества , 136 (3): 187– 221, doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1254133-7.
  • Чжан, Шоу-У (1996), «Высоты и редукции полустабильных многообразий», Compositio Mathematica , 104 (1): 77– 105.
  • Чжан, Шоу-У (1998), «Равномерное распределение малых точек на абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , 147 (1): 159– 165, doi :10.2307/120986, JSTOR  120986.
  • Оригинальная статья
  • Архив препринтов геометрии Аракелова
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Теория_Аракелова&oldid=1242706576"