Адельная алгебраическая группа

В абстрактной алгебре адельная алгебраическая группа — это полутопологическая группа, определяемая алгебраической группой G над числовым полем K и кольцом аделей A = A ( K ) поля K . Она состоит из точек G , имеющих значения в A ; определение соответствующей топологии является простым только в случае, если G является линейной алгебраической группой . В случае, когда G является абелевым многообразием , это представляет техническое препятствие, хотя известно, что эта концепция потенциально полезна в связи с числами Тамагавы. Адельные алгебраические группы широко используются в теории чисел , особенно для теории автоморфных представлений и арифметики квадратичных форм.

В случае, если G — линейная алгебраическая группа, она является аффинным алгебраическим многообразием в аффинном N -пространстве. Топология на адельной алгебраической группе берется как топология подпространства в A ^N , декартово произведение N копий кольца аделей. В этом случае — топологическая группа.${\displaystyle G(A)}$${\displaystyle G(A)}$

Исторически идели ( / ɪ ˈ d ɛ l z / ) были введены Шевалле  (1936) под названием «élément idéal», что на французском означает «идеальный элемент», который Шевалле (1940) затем сократил до «idèle» по предложению Хассе. (В этих работах он также дал иделям нехаусдорфову топологию .) Это было сделано для того, чтобы сформулировать теорию полей классов для бесконечных расширений в терминах топологических групп. Вайль (1938) определил (но не дал названия) кольцо аделей в случае поля функций и указал, что группа Шевалле Idealelemente была группой обратимых элементов этого кольца. Тейт (1950) определил кольцо аделей как ограниченное прямое произведение, хотя он назвал его элементы «векторами оценки», а не аделями.

Шевалле (1951) определил кольцо аделей в случае поля функций под названием «переделы»; современный термин adèle означает «аддитивные идели» и может также быть французским женским именем. Термин adèle стал использоваться вскоре после этого (Jaffard 1953) и, возможно, был введен Андре Вейлем . Общая конструкция адельных алгебраических групп Оно (1957) следовала теории алгебраических групп, основанной Арманом Борелем и Хариш-Чандрой .

Важный пример, группа иделей (группа идеальных элементов) I ( K ), является случаем . Здесь множество иделей состоит из обратимых аделей; но топология на группе иделей не является их топологией как подмножества аделей. Вместо этого, учитывая, что лежит в двумерном аффинном пространстве как « гипербола », определяемая параметрически с помощью${\displaystyle G=GL_{1}}$${\displaystyle GL_{1}}$

${\displaystyle \{(t,t^{-1})\},}$

топология, правильно назначенная группе иделей, — это та, которая индуцируется включением в A ² ; если сложить ее с проекцией, то получится, что идели несут более тонкую топологию, чем топология подпространства из  A .

Внутри A ^N произведение K ^N лежит как дискретная подгруппа . Это означает, что G ( K ) также является дискретной подгруппой G ( A ). В случае группы иделей факторгруппа

${\displaystyle I(K)/K^{\times }\,}$

является группой классов иделей . Она тесно связана с (хотя и больше) группой классов идеалов . Группа классов иделей сама по себе не является компактной; идели должны быть сначала заменены иделями нормы 1, а затем образ тех, которые находятся в группе классов иделей, является компактной группой ; доказательство этого по существу эквивалентно конечности числа классов.

Изучение когомологий Галуа групп классов иделей является центральным вопросом в теории полей классов . Характеры группы классов иделей, которые теперь обычно называются характерами Гекке или характерами Грёссена, дают начало самому базовому классу L-функций .

Для более общего G число Тамагавы определяется (или косвенно вычисляется) как мера

Г ( А )/ Г ( К ).

Наблюдение Цунео Тамагавы состояло в том, что, начиная с инвариантной дифференциальной формы ω на G , определенной над K , задействованная мера была хорошо определена : в то время как ω можно было заменить на c ω с c — ненулевым элементом K , формула произведения для оценок в K отражается независимостью от c меры частного для меры произведения, построенной из ω на каждом эффективном множителе. Вычисление чисел Тамагавы для полупростых групп содержит важные части классической теории квадратичных форм .

• Кольцо Адель

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2016 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

• Шевалле, Клод (1936), «Обобщение теории корпусов классов для расширений бесконечности», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 15 : 359–371, JFM  62.1153.02
• Шевалле, Клод (1940), «Теория корпусов классов», Анналы математики , вторая серия, 41 (2): 394–418, doi : 10.2307/1969013, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969013, MR  0002357
• Шевалли, Клод (1951), Введение в теорию алгебраических функций одной переменной , Математические обзоры, № VI, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0042164
• Жаффар, Поль (1953), Anneaux d'Adelles (d'après Iwasawa), Семинар Бурбаки, Математический секретариат, Париж, MR  0157859
• Оно, Такаши (1957), «Sur une proprieté arithmétique des groupes algébriques commutatifs», Bulletin de la Société Mathématique de France , 85 : 307–323, doi : 10.24033/bsmf.1491 , ISSN  0037-9484, MR  00943 62
• Тейт, Джон Т. (1950), «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке», Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Брайтон, 1965) , Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 305–347, ISBN 978-0-9502734-2-6, МР  0217026
• Вейль, Андре (1938), «Zur алгебраическая теория дер алгебраических функций», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 179 : 129–133, doi : 10.1515/crll.1938.179.129, ISSN  0075-4102, S2CID  116472982

• Рапинчук, А.С. (2001) [1994], "Число Тамагавы", Энциклопедия математики , Издательство EMS