Теорема Римана–Роха для поверхностей

В математике теорема Римана–Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности . Классическая форма была впервые дана Кастельнуово  (1896, 1897), после того как предварительные версии были найдены Максом Нётером  (1886) и Энриквесом  (1894). Теоретико- пучковая версия принадлежит Хирцебруху.

Одна из форм теоремы Римана–Роха гласит, что если D — дивизор на неособой проективной поверхности, то

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,}$

где χ — голоморфная эйлерова характеристика , точка . — число пересечения , а K — канонический дивизор. Константа χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика тривиального расслоения, равная 1 +  p _a , где p _a — арифметический род поверхности. Для сравнения, теорема Римана–Роха для кривой утверждает, что χ( D ) = χ(0) + deg( D ).

Формула Нётер утверждает, что

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}}$

где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика, c ₁ ² = ( K . K ) — число Черна и число самопересечения канонического класса K , а e  =  c ₂ — топологическая эйлерова характеристика. Его можно использовать для замены члена χ(0) в теореме Римана–Роха топологическими членами; это дает теорему Хирцебруха–Римана–Роха для поверхностей.

Для поверхностей теорема Хирцебруха–Римана–Роха по сути является теоремой Римана–Роха для поверхностей, объединенной с формулой Нётер. Чтобы увидеть это, вспомним, что для каждого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O( D ) такой, что линейная система D является более или менее пространством сечений L . Для поверхностей класс Тодда равен , а характер Черна пучка L равен просто , поэтому теорема Хирцебруха–Римана–Роха утверждает, что${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$

${\displaystyle {\begin{align}\хи (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{align}}}$

К счастью, это можно записать в более ясной форме следующим образом. Сначала подставим D  = 0, и увидим, что

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$     (Формула Нётер)

Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Черна исчезает. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечения в группе Пикара , и мы получаем более классическую версию Римана-Роха для поверхностей:

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(DD-DK)}$

При желании можно использовать двойственность Серра , чтобы выразить h ² (O( D )) как h ⁰ (O( K  −  D )), но в отличие от случая кривых, в общем случае не существует простого способа записать член h ¹ (O( D )) в форме, не включающей когомологии пучков (хотя на практике он часто исчезает).

Самые ранние формы теоремы Римана–Роха для поверхностей часто формулировались как неравенство, а не как равенство, поскольку не было прямого геометрического описания первых групп когомологий. Типичный пример приводит Зариски (1995, стр. 78), который утверждает, что

${\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}$

где

• r — размерность полной линейной системы | D | дивизора D (поэтому r  =  h ⁰ (O( D )) −1)
• n — виртуальная степень D , заданная числом самопересечения ( D . D )
• π — виртуальный род D , равный 1 + (DD + KD)/ 2
• p _a — арифметический род χ(O _F ) − 1 поверхности
• i — индекс специальности D , равный dim H ⁰ (O( K  −  D )) ( что по двойственности Серра равно dim H ² (O(D))).

Разница между двумя сторонами этого неравенства была названа сверхизбыточностью s дивизора D. Сравнение этого неравенства с теоретико-пучковой версией теоремы Римана–Роха показывает, что сверхизбыточность D определяется как s  = dim H ¹ (O( D )). Дивизор D был назван регулярным , если i  =  s  = 0 (или, другими словами, если все высшие группы когомологий O( D ) равны нулю), и сверхизбыточным, если  s  > 0.

• Топологические методы в алгебраической геометрии Фридриха Хирцебруха ISBN  3-540-58663-6
• Зариски, Оскар (1995), Алгебраические поверхности , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, г-н  1336146
• Смит, Рой. "О классическом обобщении Римана-Роха и Хирцебруха" (PDF) . Кафедра математики Научно-исследовательского и образовательного центра имени Бойда Университета Джорджии .