постоянная Апери
Сумма обратных положительных кубов

постоянная Апери
РациональностьИррациональный
Символζ (3)
Представления
Десятичная дробь1.20205 69031 59594 2854...

В математике константа Апери — это сумма обратных величин положительных кубов . То есть она определяется как число

ζ ( 3 ) = ∑ н = 1 ∞ 1 н 3 = лим н → ∞ ( 1 1 3 + 1 2 3 + ⋯ + 1 н 3 ) , {\displaystyle {\begin{align}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right),\end{align}}}

где ζ — дзета-функция Римана . Она имеет приблизительное значение [1]

ζ (3) ≈ 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … (последовательность A002117 в OEIS ).

Названо в честь Роже Апери , который доказал, что это иррациональное число .

Использует

Константа Апери естественным образом возникает в ряде физических задач, в том числе в членах второго и третьего порядка гиромагнитного отношения электрона с использованием квантовой электродинамики . Она также возникает при анализе случайных минимальных остовных деревьев [2] и в сочетании с гамма-функцией при решении некоторых интегралов, включающих показательные функции в частном, которые иногда появляются в физике, например, при оценке двумерного случая модели Дебая и закона Стефана–Больцмана .

Обратная величина ζ (3) (0,8319073725807... (последовательность A088453 в OEIS )) — это вероятность того, что любые три положительных целых числа , выбранных случайным образом, будут взаимно простыми , в том смысле, что по мере того, как N стремится к бесконечности, вероятность того, что три положительных целых числа, меньших N, выбранных равномерно случайным образом, не будут иметь общего простого множителя, приближается к этому значению. (Вероятность для n положительных целых чисел равна 1/ ζ (n) . [3] ) В том же смысле, это вероятность того, что положительное целое число, выбранное случайным образом, не будет делиться нацело на куб целого числа, большего единицы. (Вероятность того, что делимость на n -ю степень не будет равна 1/ ζ (n) . [3] )

Характеристики

Нерешенная задача по математике :
Является ли константа Апери трансцендентной?
(еще нерешенные проблемы по математике)

ζ (3) была названа константой Апери в честь французского математика Роже Апери , который доказал в 1978 году, что это иррациональное число . [4] Этот результат известен как теорема Апери . Первоначальное доказательство было сложным и трудным для понимания, [5] и позже были найдены более простые доказательства. [6]

Упрощенное доказательство иррациональности Беукерса включает аппроксимацию подынтегрального выражения известного тройного интеграла для ζ (3) ,

ζ ( 3 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 − х у з г х г у г з , {\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,}

полиномами Лежандра . В частности, статья ван дер Поортена описывает этот подход, отмечая, что

я 3 := − 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 П н ( х ) П н ( у ) бревно ⁡ ( х у ) 1 − х у г х г у = б н ζ ( 3 ) − а н , {\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},}

где , — полиномы Лежандра , а подпоследовательности — целые числа или почти целые числа . | я | ≤ ζ ( 3 ) ( 1 − 2 ) 4 н {\displaystyle |I|\leq \zeta (3)(1- {\sqrt {2}})^{4n}} П н ( з ) {\displaystyle P_{n}(z)} б н , 2 лкм ⁡ ( 1 , 2 , … , н ) ⋅ а н ∈ З {\displaystyle b_{n},2\operatorname {НОК} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} }

Многие пытались распространить доказательство Апери о том, что ζ (3) иррациональна, на другие значения дзета-функции Римана с нечетными аргументами. Хотя это пока не дало никаких результатов для конкретных чисел, известно, что бесконечно много нечетных дзета-констант ζ (2 n + 1) иррациональны. [7] В частности, по крайней мере одна из ζ (5) , ζ (7) , ζ (9) и ζ (11) должна быть иррациональной. [8]

Трансцендентность константы Апери пока не доказана , но известно, что она является алгебраическим периодом . Это немедленно следует из вида ее тройного интеграла.

Представления серий

Классическая

В дополнение к основному ряду:

ζ ( 3 ) = ∑ к = 1 ∞ 1 к 3 , {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},}

Леонард Эйлер дал представление ряда: [9]

ζ ( 3 ) = π 2 7 ( 1 − 4 ∑ к = 1 ∞ ζ ( 2 к ) 2 2 к ( 2 к + 1 ) ( 2 к + 2 ) ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}

в 1772 году, который впоследствии был переоткрыт несколько раз. [10]

Быстрая сходимость

Начиная с 19 века, ряд математиков находили ряды ускорения сходимости для вычисления десятичных знаков ζ (3) . С 1990-х годов этот поиск был сосредоточен на вычислительно эффективных рядах с быстрыми скоростями сходимости (см. раздел «Известные цифры»).

Следующее представление ряда было найдено А.А. Марковым в 1890 году [11] , переоткрыто Хьортнесом в 1953 году [12] и переоткрыто еще раз и широко разрекламировано Апери в 1979 году: [4]

ζ ( 3 ) = 5 2 ∑ к = 1 ∞ ( − 1 ) к − 1 к ! 2 ( 2 к ) ! к 3 . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{ 2}}{(2k)!k^{3}}}.}

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 1,43 новых правильных десятичных знака на член: [13]

ζ ( 3 ) = 1 4 ∑ к = 1 ∞ ( − 1 ) к − 1 ( к − 1 ) ! 3 ( 56 к 2 − 32 к + 5 ) ( 2 к − 1 ) 2 ( 3 к ) ! . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1) )!^{3}(56к^{2}-32к+5)}{(2к-1)^{2}(3к)!}}.}

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,01 новых правильных десятичных знака на член: [14]

ζ ( 3 ) = 1 64 ∑ к = 0 ∞ ( − 1 ) к к ! 10 ( 205 к 2 + 250 к + 77 ) ( 2 к + 1 ) ! 5 . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10} (205к^{2}+250к+77)}{(2к+1)!^{5}}}.}

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 5,04 новых правильных десятичных знаков на член: [15]

ζ ( 3 ) = 1 24 ∑ к = 0 ∞ ( − 1 ) к ( 2 к + 1 ) ! 3 ( 2 к ) ! 3 к ! 3 ( 126392 к 5 + 412708 к 4 + 531578 к 3 + 336367 к 2 + 104000 к + 12463 ) ( 3 к + 2 ) ! ( 4 к + 3 ) ! 3 . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.}

Он был использован для вычисления константы Апери с несколькими миллионами правильных десятичных знаков. [16]

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,92 новых правильных десятичных знака на член: [17]

ζ ( 3 ) = 1 2 ∑ к = 0 ∞ ( − 1 ) к ( 2 к ) ! 3 ( к + 1 ) ! 6 ( 40885 к 5 + 124346 к 4 + 150160 к 3 + 89888 к 2 + 26629 к + 3116 ) ( к + 1 ) 2 ( 3 к + 3 ) ! 4 . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.}

Цифра за цифрой

В 1998 году Бродхерст предложил представление ряда, которое позволяет вычислять произвольные двоичные цифры и, таким образом, получать константу за почти линейное время и логарифмическое пространство . [18]

Последовательность Туэ-Морса

Следующее представление было найдено Тотом в 2022 году: [19]

∑ n ≥ 1 9 t n − 1 + 7 t n n 3 = 8 ζ ( 3 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}

где — член последовательности Туэ-Морса . Фактически, это частный случай следующей формулы (справедливой для всех с действительной частью, большей ): ( t n ) n ≥ 0 {\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}} n t h {\displaystyle n^{\rm {th}}} s {\displaystyle s} 1 {\displaystyle 1}

( 2 s + 1 ) ∑ n ≥ 1 t n − 1 n s + ( 2 s − 1 ) ∑ n ≥ 1 t n n s = 2 s ζ ( s ) . {\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}

Другие

Следующее представление ряда было найдено Рамануджаном : [20]

ζ ( 3 ) = 7 180 π 3 − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k − 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.}

Следующее представление серии было найдено Саймоном Плуффом в 1998 году: [21]

ζ ( 3 ) = 14 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sinh ⁡ ( π k ) − 11 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k − 1 ) − 7 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k + 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}

Шривастава (2000) собрал много рядов, которые сходятся к постоянной Апери.

Интегральные представления

Существует множество интегральных представлений для постоянной Апери. Некоторые из них простые, другие — более сложные.

Простые формулы

Следующая формула следует непосредственно из интегрального определения дзета-функции:

ζ ( 3 ) = 1 2 ∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}

Более сложные формулы

Другие формулы включают [22]

ζ ( 3 ) = π ∫ 0 ∞ cos ⁡ ( 2 arctan ⁡ x ) ( x 2 + 1 ) ( cosh ⁡ 1 2 π x ) 2 d x {\displaystyle \zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx}

и [23]

ζ ( 3 ) = − 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 log ⁡ ( x y ) 1 − x y d x d y = − ∫ 0 1 ∫ 0 1 log ⁡ ( 1 − x y ) x y d x d y . {\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.}

Также, [24]

ζ ( 3 ) = 8 π 2 7 ∫ 0 1 x ( x 4 − 4 x 2 + 1 ) log ⁡ log ⁡ 1 x ( 1 + x 2 ) 4 d x = 8 π 2 7 ∫ 1 ∞ x ( x 4 − 4 x 2 + 1 ) log ⁡ log ⁡ x ( 1 + x 2 ) 4 d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{aligned}}}

Связь с производными гамма -функции [25]

ζ ( 3 ) = − 1 2 ( Γ ‴ ( 1 ) + γ 3 + 1 2 π 2 γ ) = − 1 2 ψ ( 2 ) ( 1 ) {\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)}

также очень полезно для вывода различных интегральных представлений с помощью известных интегральных формул для гамма- и полигамма-функций . [26]

Продолженная дробь

Константа Апери связана со следующей непрерывной дробью : [27]

6 ζ ( 3 ) = 5 − 1 117 − 64 535 − 729 1436 − 4096 3105 − 15625 … {\displaystyle {\frac {6}{\zeta (3)}}=5-{\cfrac {1}{117-{\cfrac {64}{535-{\cfrac {729}{1436-{\cfrac {4096}{3105-{\cfrac {15625}{\dots }}}}}}}}}}}

с и . a n = 34 n 3 + 51 n 2 + 27 n + 5 {\displaystyle a_{n}=34n^{3}+51n^{2}+27n+5} b n = − n 6 {\displaystyle b_{n}=-n^{6}}

Ее простая цепная дробь определяется по формуле: [28]

ζ ( 3 ) = 1 + 1 4 + 1 1 + 1 18 + 1 1 + 1 1 + 1 … {\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\dots }}}}}}}}}}}}}

Известные цифры

Число известных цифр постоянной Апери ζ (3) значительно возросло за последние десятилетия и в настоящее время составляет более2 × 10 12. Это связано как с ростом производительности компьютеров, так и с усовершенствованием алгоритмов.

Число известных десятичных знаков постоянной Апери ζ (3)
ДатаДесятичные цифрыРасчет выполнен
173516Леонард Эйлер
Неизвестный16Адриен-Мари Лежандр
188732Томас Джоаннес Стилтьес
1996520 000Грег Дж. Фи и Саймон Плафф
19971 000 000Бруно Хайбле и Томас Папаниколау
Май 1997 г.10 536 006Патрик Демишель
Февраль 1998 г.14 000 074Себастьян Веденивски
Март 1998 г.32 000 213Себастьян Веденивски
Июль 1998 г.64 000 091Себастьян Веденивски
Декабрь 1998 г.128 000 026Себастьян Веденивски [1]
Сентябрь 2001 г.200 001 000Сигэру Кондо и Ксавье Гурдон
Февраль 2002 г.600 001 000Сигэру Кондо и Ксавье Гурдон
Февраль 2003 г.1 000 000 000Патрик Демишель и Ксавье Гурдон [29]
Апрель 2006 г.10 000 000 000Сигэру Кондо и Стив Пальяруло
21 января 2009 г.15 510 000 000Александр Дж. Йи и Рэймонд Чан [30]
15 февраля 2009 г.31 026 000 000Александр Дж. Йи и Рэймонд Чан [30]
17 сентября 2010 г.100 000 001 000Александр Дж. Йи [31]
23 сентября 2013 г.200 000 001 000Роберт Дж. Сетти [31]
7 августа 2015 г.250 000 000 000Рон Уоткинс [31]
21 декабря 2015 г.400 000 000 000Дипанджан Наг [32]
13 августа 2017 г.500 000 000 000Рон Уоткинс [31]
26 мая 2019 г.1 000 000 000 000Ян Катресс [33]
26 июля 2020 г.1 200 000 000 100Сынмин Ким [33] [34]
22 декабря 2023 г.2 020 569 031 595Эндрю Сан [33]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab Веденевски (2001).
  2. ^ Фриз (1985).
  3. ^ ab Mollin (2009).
  4. ^ ab Apéry (1979).
  5. ^ Ван дер Поортен (1979).
  6. ^ Бойкерс (1979); Зудилин (2002).
  7. ^ Ривоал (2000).
  8. ^ Зудилин (2001).
  9. ↑ Эйлер (1773).
  10. ^ Шривастава (2000), стр. 571 (1.11).
  11. ^ Марков (1890).
  12. ^ Хьортнес (1953).
  13. ^ Амдеберхан (1996).
  14. ^ Амдеберхан и Зейлбергер (1997).
  15. ^ Веденевски (1998); Веденевски (2001). В своем сообщении Саймону Плуффу Себастьян Веденевски утверждает, что он вывел эту формулу из Amdeberhan & Zeilberger (1997). Год открытия (1998) указан в Таблице рекордов Саймона Плуффа (8 апреля 2001 г.).
  16. ^ Веденивский (1998); Веденивский (2001).
  17. ^ Мохаммед (2005).
  18. ^ Бродхерст (1998).
  19. ^ Tóth, László (2022), «Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса» (PDF) , Integers , 22 (статья 98), arXiv : 2211.13570
  20. ^ Берндт (1989, глава 14, формулы 25.1 и 25.3).
  21. ^ Плуфф (1998).
  22. ^ Йенсен (1895).
  23. ^ Бёкерс (1979).
  24. ^ Благушин (2014).
  25. ^ Хабер, Говард Э. (зима 2010 г.), «Логарифмическая производная гамма-функции» (PDF) , лекции по физике 116A , Калифорнийский университет, Санта-Крус
  26. ^ Евграфов и др. (1969), упражнение 30.10.1.
  27. ^ Weisstein, Eric W., «Константа Апери», mathworld.wolfram.com , получено 21 сентября 2024 г.
  28. ^ Weisstein, Eric W., "Apéry's Constant Continuous Fraction", mathworld.wolfram.com , получено 21 сентября 2024 г.
  29. ^ Гурдон и Себах (2003).
  30. ^ Аб Йи (2009).
  31. ^ abcd Йи (2017).
  32. ^ Наг (2015).
  33. ^ abc Йи, Александр, Рекорды, установленные y-cruncher , получено 1 апреля 2024 г..
  34. ^ Постоянный мировой рекорд Апери, Сынмин Ким, 28 июля 2020 г. , получено 28 июля 2020 г..

Ссылки

  • Амдеберхан, Теодрос (1996), "Все более и более быстрые сходящиеся ряды для ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} ", El. J. Combinat. , 3 (1).
  • Амдеберхан, Теодрос; Зейлбергер, Дорон (1997), "Ускорение гипергеометрических рядов с помощью метода WZ", El. J. Combinat. , 4 (2), arXiv : math/9804121 , Bibcode : 1998math......4121A.
  • Апери, Роджер (1979), «Иррациональность де ζ 2 {\displaystyle \zeta 2} et ζ 3 {\displaystyle \zeta 3}», Asterisque , 61 : 11–13.
  • Берндт, Брюс С. (1989), Записные книжки Рамануджана, Часть II , Springer.
  • Бёкерс, Ф. (1979), «Заметка об иррациональности и », Bull. London Math. Soc. , 11 (3): 268–272, doi :10.1112/blms/11.3.268 ζ ( 2 ) {\displaystyle \zeta (2)} ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} .
  • Blagouchine, Iaroslav V. (2014), «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты», The Ramanujan Journal , 35 (1): 21–110, doi :10.1007/s11139-013-9528-5, S2CID  120943474.
  • Бродхерст, DJ (1998), Полилогарифмические лестницы, гипергеометрические ряды и десятимиллионные цифры чисел и ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} ζ ( 5 ) {\displaystyle \zeta (5)} , arXiv : math.CA/9803067.
  • Эйлер, Леонард (1773), «Exercitationes Analyticale» (PDF) , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни), 17 : 173–204 , получено 18 мая 2008 г..
  • Евграфов М.А.; Бежанов К.А.; Сидоров Ю.В.; Федорюк, М.В.; Шабунин М.И. (1969), Сборник задач теории аналитических функций , Москва: Наука..
  • Фризе, AM (1985), «О значении задачи случайного минимального остовного дерева», Дискретная прикладная математика , 10 (1): 47–56, doi : 10.1016/0166-218X(85)90058-7 , MR  0770868.
  • Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2003), Константа Апери: ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} .
  • Хьортнаес, М.М. (август 1953 г.), Overføring av rekken til et bestemt Integral, в Proc. 12-й Скандинавский математический конгресс ∑ k = 1 ∞ ( 1 k 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)} , Лунд, Швеция: Скандинавское математическое общество, стр. 211–213..
  • Йенсен, Йохан Людвиг Уильям Вальдемар (1895), «Примечание номер 245. Deuxième réponse. Remarques родственники по ответам MM. Franel et Kluyver», L'Intermédiaire des Mathématiciens , II : 346–347.
  • Марков А. А. (1890), "Мемуар о трансформации серий peu convergentes в серии très convergentes", Mém. Де л'Акад. Имп. наук. Де Санкт-Петербург , т. 1, с. XXXVII, № 9: 18с..
  • Мохаммед, Мохамуд (2005), «Бесконечные семейства ускоренных рядов для некоторых классических констант методом Маркова-ВЗ», Дискретная математика и теоретическая информатика , 7 : 11–24, doi : 10.46298/dmtcs.342.
  • Моллин, Ричард А. (2009), Расширенная теория чисел с приложениями, Дискретная математика и ее приложения, CRC Press, стр. 220, ISBN 9781420083293.
  • Плуфф, Саймон (1998), Идентичности, вдохновленные «Записными книжками Рамануджана II», архивировано из оригинала 14 декабря 2002 г..
  • Ривоаль, Танги (2000), «La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiersimpairs», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 331 (4): 267–270, arXiv : math/0008051 , Bibcode : 2000CRASM.331..267R, номер doi : 10.1016/S0764-4442(00)01624-4, S2CID  119678120.
  • Шривастава, Х. М. (декабрь 2000 г.), «Некоторые семейства представлений быстро сходящихся рядов для дзета-функций» (PDF) , Taiwanese Journal of Mathematics , 4 (4): 569–599, doi : 10.11650/twjm/1500407293 , OCLC  36978119 , получено 22 августа 2015 г..
  • ван дер Поортен, Альфред (1979), «Доказательство, которое Эйлер пропустил ... Доказательство Апери иррациональности ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} » (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi :10.1007/BF03028234, S2CID  121589323, архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-06.
  • Веденевски, Себастьян (2001), Саймон Плуфф (ред.), Значение Zeta(3) для 1 000 000 мест, Проект Гутенберг(Сообщение Саймону Плуффу, со всеми десятичными знаками, но более короткий текст, отредактированный Саймоном Плуффом).
  • Веденевски, Себастьян (13 декабря 1998 г.), Значение Дзеты (3) до 1 000 000 знаков(Сообщение Саймону Плуффу с оригинальным текстом, но с некоторыми знаками после запятой).
  • Йи, Александр Дж. (2009), Большие вычисления.
  • Йи, Александр Дж. (2017), Zeta(3) - Константа Апери
  • Наг, Дипанджан (2015), Вычислил постоянную Апери с точностью до 400 000 000 000 цифр, Мировой рекорд
  • Зудилин, Вадим (2001), «Одно из чисел , , , является иррациональным», Russ. Math. Surv. , 56 (4): 774–776, Bibcode :2001RuMaS..56..774Z, doi :10.1070/RM2001v056n04ABEH000427, S2CID  250734661 ζ ( 5 ) {\displaystyle \zeta (5)} ζ ( 7 ) {\displaystyle \zeta (7)} ζ ( 9 ) {\displaystyle \zeta (9)} ζ ( 11 ) {\displaystyle \zeta (11)} .
  • Зудилин, Вадим (2002), Элементарное доказательство теоремы Апери , arXiv : math/0202159 , Bibcode :2002math......2159Z.

Дальнейшее чтение

  • Рамасвами, В. (1934), «Заметки о -функции Римана », J. London Math. Soc. , 9 (3): 165–169, doi :10.1112/jlms/s1-9.3.165 ζ {\displaystyle \zeta } .
  • Нахин, Пол Дж. (2021), В погоне за дзета-3: самая загадочная нерешённая математическая задача в мире , Принстон: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22759-7, OCLC  1260168397
  • Вайсштейн, Эрик В. , «Константа Апери», MathWorld{{cite web}}: CS1 maint: overridden setting (link)
  • Плуфф, Симон, Зета(3) или постоянная Апери до 2000 знаков, архивировано из оригинала 2008-02-05 , извлечено 2005-07-29
  • Сетти, Роберт Дж. (2015), Константа Апери - Дзета(3) - 200 миллиардов цифр, архивировано из оригинала 2013-10-08.

В данной статье использованы материалы из постоянной Апери на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Apéry%27s_constant&oldid=1256791766"