Последовательность Туэ-Морса

Бесконечная бинарная последовательность, полученная путем повторного дополнения и конкатенации

На этом рисунке показана повторяющаяся и взаимодополняющая структура последовательности Туэ-Морзе.

В математике последовательность Туэ –Морса или Пруэ–Туэ–Морса — это двоичная последовательность (бесконечная последовательность нулей и единиц), которая может быть получена, начиная с 0 и последовательно добавляя булево дополнение к последовательности, полученной к настоящему моменту. ^[1] Иногда ее называют последовательностью справедливой доли из-за ее применения к справедливому делению или последовательности четности . Первые несколько шагов этой процедуры дают строки 0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110 и т. д., которые являются префиксами последовательности Туэ–Морса. Полная последовательность начинается так:

01101001100101101001011001101001.... ^[1]

Последовательность названа в честь Акселя Туэ и Марстона Морзе .

Определение

Существует несколько эквивалентных способов определения последовательности Туэ–Морса.

Прямое определение

Чтобы вычислить n-й элемент t _n , запишите число n в двоичной системе счисления . Если количество единиц в этом двоичном разложении нечетно, то t _n = 1, если четно, то t _n = 0. ^[2] То есть t _n является битом четности для n . Джон Х. Конвей и др . считали числа n , удовлетворяющие t _n = 1, одиозными ( предназначенными для того, чтобы быть похожими на нечетные ) числами, а числа, для которых t _n = 0, злыми (подобными четным ) числами.

Быстрая генерация последовательности

Этот метод приводит к быстрому методу вычисления последовательности Туэ–Морса: начать с $t 0 = 0$ , а затем для каждого n найти бит наивысшего порядка в двоичном представлении n , который отличается от того же бита в представлении $n - 1.$ Если этот бит находится в четном индексе, t _n отличается от $t n - 1$ , а в противном случае он совпадает с $t n - 1$ .

На языке Python :

def  generate_sequence ( seq_length :  int ): """Последовательность Туэ–Морса.""" value = 1 for n in range ( seq_length ): # Примечание: предполагается, что (-1).bit_length() дает 1 x = ( n ^ ( n - 1 )) . bit_length () + 1 if x & 1 == 0 : # Индекс бита четный, поэтому переключить значение value = 1 - value yield value

Полученный алгоритм тратит постоянное время на генерацию каждого элемента последовательности, используя только логарифмическое число бит (постоянное число слов) памяти. ^[3]

Рекуррентное соотношение

Последовательность Туэ–Морса — это последовательность t _{n ,} удовлетворяющая рекуррентному соотношению

{\begin{align}t_{0}&=0,\\t_{2n}&=t_{n},\\t_{2n+1}&=1-t_{n},\end{align}}

для всех неотрицательных целых чисел n . ^[2]

L-система

Последовательность Туэ-Морса представляет собой морфическое слово : ^[4] это результат следующей системы Линденмайера :

Переменные	0, 1
Константы	Никто
Начинать	0
Правила	(0 → 01), (1 → 10)

Характеристика с использованием побитового отрицания

Последовательность Туэ–Морса в приведенной выше форме, как последовательность битов , может быть определена рекурсивно с использованием операции побитового отрицания . Итак, первый элемент равен 0. Затем, как только первые 2 ⁿ элементов были указаны, образуя строку s , следующие 2 ⁿ элементов должны образовать побитовое отрицание s . Теперь мы определили первые 2 ^{n +1} элементов, и мы рекурсируем.

Подробно описываем первые несколько шагов:

Начнем с 0.
Побитовое отрицание 0 равно 1.
Объединяя их, первые 2 элемента равны 01.
Побитовое отрицание 01 равно 10.
Объединяя их, первые 4 элемента составляют 0110.
Побитовое отрицание 0110 равно 1001.
Объединяя их, первые 8 элементов составляют 01101001.
И так далее.

Так

Т0 = ₀ .
Т ₁ = 01.
Т2 = ₀₁₁₀ .
Т ₃ = 01101001.
Т ₄ = 0110100110010110.
Т ₅ = 01101001100101101001011001101001.
Т ₆ = 011010011001011010010110010110011010010110011010010110100110010110.
И так далее.

На языке Python :

def  thue_morse_bits ( n ): """Возвращает целое число, содержащее первые 2**n бит последовательности Туэ-Морса, младший бит - 1-й.""" биты = 0 для i в диапазоне ( n ): биты |= (( 1 << ( 1 << i )) - 1 - биты ) << ( 1 << i ) вернуть биты

Которую затем можно преобразовать в (обратную) строку следующим образом:

n  =  7 print ( f " { thue_morse_bits ( n ) : 0 { 1 << n } b } " )

Бесконечное произведение

Последовательность также может быть определена следующим образом:

\prod _{i=0}^{\infty }\left(1-x^{2^{i}}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{t_{j}}x^{j},

где t _j — j -й элемент, если начать с j = 0.

Характеристики

Последовательность Туэ–Морса содержит много квадратов : экземпляров строки , где обозначает строку , , , или , где для некоторых и является побитовым отрицанием . ^[5] Например, если , то . Квадрат появляется в , начиная с 16-го бита. Поскольку все квадраты в получены повторением одной из этих 4 строк, все они имеют длину или для некоторых . не содержит кубов : экземпляров . Также нет перекрывающихся квадратов : экземпляров или . ^[6]^[7] Критический показатель степени равен 2. ^[8] $XX$ $X$ $А$ ${\overline {A}}$ $А{\overline {А}}А$ ${\overline {A}}A{\overline {A}}$ $A=T_{k}$ $k\geq 0$ ${\overline {A}}$ $А$ $к=0$ $A=T_{0}=0$ $A{\overline {A}}AA{\overline {A}}A=010010$ $Т$ $Т$ $2^{n}$ $3\cdot 2^{n}$ $n\geq 0$ $Т$ $XXX$ $0X0X0$ $1X1X1$ $Т$

Последовательность Туэ-Морса является равномерно рекуррентным словом : для любой конечной строки X в последовательности существует некоторая длина n _X (часто намного больше длины X ), такая что X появляется в каждом блоке длины n _X . ^[9]^[10] Примечательно, что последовательность Туэ-Морса является равномерно рекуррентной, не будучи ни периодической , ни периодической в конечном итоге (т. е. периодической после некоторого начального непериодического сегмента). ^[11]

Последовательность T _{2 n} является палиндромом для любого n . Кроме того, пусть q _n будет словом, полученным путем подсчета единиц между последовательными нулями в T _{2 n} . Например, q ₁ = 2 и q ₂ = 2102012. Поскольку T _n не содержит перекрывающихся квадратов , слова q _n являются палиндромными бесквадратными словами .

Морфизм Туэ–Морса μ определяется на алфавите {0,1} с помощью отображения подстановки μ (0) = 01, μ (1) = 10: каждый 0 в последовательности заменяется на 01, а каждая 1 на 10. ^[12] Если T — последовательность Туэ–Морса, то μ ( T ) также является T . Таким образом, T — неподвижная точка μ . Морфизм μ — это продолжаемый морфизм на свободном моноиде {0,1} ^∗ с T в качестве неподвижной точки: T по существу является единственной неподвижной точкой μ ; единственной другой неподвижной точкой является побитовое отрицание T , которое является просто последовательностью Туэ–Морса на (1,0) вместо (0,1). Это свойство может быть обобщено до концепции автоматической последовательности .

Производящий ряд T над бинарным полем — это формальный степенной ряд

t(Z)=\sum _{n=0}^{\infty }T(n)Z^{n}\ .

Этот степенной ряд является алгебраическим над полем рациональных функций, удовлетворяющим уравнению ^[13]

Z+(1+Z)^{2}t+(1+Z)^{3}t^{2}=0

В комбинаторной теории игр

Множество злых чисел (чисел с ) образует подпространство неотрицательных целых чисел при ним-сложении ( побитовое исключающее или ). Для игры Кейлса злые ним-значения возникают для немногих (конечного числа) позиций в игре, при этом все остальные позиции имеют одиозные ним-значения. $n$ $t_{n}=0$

Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта

Задачу Пруэ–Тэрри–Эскотта можно определить следующим образом: дано положительное целое число N и неотрицательное целое число k . Разбить множество S = {0, 1, ..., N -1} на два непересекающихся подмножества S0 и S1 _,_{которые} имеют равные суммы степеней вплоть до k, то есть:

\sum _{x\in S_{0}}x^{i}=\sum _{x\in S_{1}}x^{i}

для всех целых чисел i от 1 до k .

Это имеет решение, если N кратно 2k ^{+ 1} , и определяется по формуле:

S ₀ состоит из целых чисел n в S, для которых t _n = 0,
S ₁ состоит из целых чисел n в S, для которых t _n = 1.

Например, для N = 8 и k = 2,

0 + 3 + 5 + 6 = 1 + 2 + 4 + 7,

0 ² + 3 ² + 5 ² + 6 ² знак равно 1 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² .

Условие, требующее, чтобы N было кратно ^{2k +1,} не является строго необходимым: есть некоторые дополнительные случаи, для которых существует решение. Однако оно гарантирует более сильное свойство: если условие выполняется, то множество k -х степеней любого множества из N чисел в арифметической прогрессии можно разбить на два множества с равными суммами. Это следует непосредственно из разложения, заданного биномиальной теоремой, примененной к двучлену, представляющему n- й элемент арифметической прогрессии.

Для обобщений последовательности Туэ–Морса и проблемы Пруэ–Тэрри–Эскотта для разбиений на более чем две части см. Bolker, Offner, Richman и Zara, «Проблема Пруэ–Тэрри–Эскотта и обобщенные последовательности Туэ–Морса». ^[14]

Фракталы и графика черепах

Используя графику черепахи , можно сгенерировать кривую, если автомат запрограммирован с помощью последовательности. Когда члены последовательности Туэ-Морса используются для выбора состояний программы:

Если t ( n ) = 0, переместиться вперед на одну единицу,
Если t ( n ) = 1, повернуть на угол π/3 радиан (60°)

Полученная кривая сходится к кривой Коха , фрактальной кривой бесконечной длины, содержащей конечную площадь. Это иллюстрирует фрактальную природу последовательности Туэ-Морса. ^[15]

Также можно точно нарисовать кривую, используя следующие инструкции: ^[16]

Если t ( n ) = 0, повернуть на угол π радиан (180°),
Если t ( n ) = 1, переместиться вперед на одну единицу, затем повернуть на угол π/3 радиан.

Справедливая последовательность

В своей книге о проблеме справедливого дележа Стивен Брамс и Алан Тейлор ссылались на последовательность Туэ-Морса, но не определяли ее как таковую. При распределении спорной кучи предметов между двумя сторонами, которые согласны относительно их относительной ценности, Брамс и Тейлор предложили метод, который они назвали сбалансированным чередованием , или поочередным выбором поочередно выбором поочередно... , как способ обойти фаворитизм, присущий тому, что одна сторона выбирает раньше другой. Пример показал, как разводящаяся пара может достичь справедливого соглашения при распределении совместно принадлежащих предметов. Стороны по очереди будут выбирать первыми на разных этапах процесса выбора: Энн выбирает один предмет, затем Бен, затем Бен выбирает один предмет, затем Энн. ^[17]

Лайонел Левин и Кэтрин Э. Стэнж , обсуждая, как справедливо распределить общую еду, например, эфиопский ужин , предложили последовательность Туэ-Морса как способ уменьшить преимущество первого хода. Они предположили, что «было бы интересно количественно оценить интуицию, что порядок Туэ-Морса имеет тенденцию давать справедливый результат». ^[18]

Роберт Ричман обратился к этой проблеме, но он также не идентифицировал последовательность Туэ–Морса как таковую на момент публикации. ^[19] Он представил последовательности Tn как ступенчатые функции на интервале [0,1] и описал их связь с функциями Уолша и Радемахера . Он показал, что n -я производная может быть выражена через Tn . Как следствие, ступенчатая функция, возникающая из _Tn , ортогональна полиномам порядка n − 1. Следствием этого результата является то, что ресурс, значение которого выражается как монотонно убывающая непрерывная функция , наиболее справедливо распределяется с _{использованием} последовательности, которая сходится к Туэ–Морса, когда функция становится более плоской . Пример показал, как налить чашки кофе одинаковой крепости из графина с нелинейным градиентом концентрации , что побудило публиковать причудливую статью в популярной прессе. ^[20]

Джошуа Купер и Аарон Датл показали, почему порядок Туэ–Морса обеспечивает справедливый результат для дискретных событий. ^[21] Они рассмотрели самый справедливый способ инсценировать дуэль Галуа , в которой каждый из стрелков имеет одинаково плохие навыки стрельбы. Купер и Датл постулировали, что каждый дуэлянт потребует шанс выстрелить, как только априорная вероятность победы другого превысит его собственную. Они доказали, что по мере того, как вероятность попадания дуэлянтов приближается к нулю, последовательность стрельбы сходится к последовательности Туэ–Морса. Тем самым они продемонстрировали, что порядок Туэ–Морса обеспечивает справедливый результат не только для последовательностей Tn длины 2 ⁿ , но и для последовательностей любой длины.

Таким образом, математика поддерживает использование последовательности Туэ-Морса вместо чередования ходов, когда целью является справедливость, но более ранние ходы монотонно отличаются от более поздних по некоторому значимому качеству, независимо от того, изменяется ли это качество непрерывно ^[19] или дискретно. ^[21]

Спортивные соревнования образуют важный класс проблем справедливой последовательности, поскольку строгое чередование часто дает несправедливое преимущество одной команде. Игнасио Паласиос-Уэрта предложил изменить последовательный порядок на Туэ-Морса, чтобы улучшить ex post справедливость различных турнирных соревнований, таких как последовательность ударов в серии пенальти в футболе. ^[22] Он провел ряд полевых экспериментов с профессиональными игроками и обнаружил, что команда, бьющая первой, выиграла 60% игр, используя ABAB (или T ₁ ), 54% — используя ABBA (или T ₂ ), и 51% — используя полную систему Туэ-Морса (или T _n ). В результате ABBA проходит обширные испытания в ФИФА (чемпионаты Европы и мира) и английской федерации профессионального футбола ( кубок EFL ). ^[23] Также было обнаружено, что схема подачи ABBA улучшает справедливость тай-брейков в теннисе . ^[24] В соревновательной гребле T 2 _{является} единственной схемой расположения гребцов по левому и правому борту , которая устраняет поперечные силы (и, следовательно, боковое покачивание) на четырехместной гоночной лодке без рулевого, в то время как T ₃ является одной из четырех схем , позволяющих избежать покачивания на восьмиместной лодке. ^[25]

Справедливость особенно важна в драфтах игроков . Многие профессиональные спортивные лиги пытаются достичь конкурентного паритета , предоставляя более ранние выборы в каждом раунде более слабым командам. Напротив, в лигах фэнтези-футбола нет изначально существующего дисбаланса, который нужно исправить, поэтому они часто используют драфт «змеи» (вперед, назад и т. д.; или T ₁ ). ^[26] Ян Аллан утверждал, что «разворот в третьем раунде» (вперед, назад, назад, вперед и т. д.; или T ₂ ) был бы еще более справедливым. ^[27] Ричман предположил, что самый справедливый способ для «капитана А» и «капитана Б» выбрать стороны для игры в баскетбол отражает T ₃ : у капитана А есть первый, четвертый, шестой и седьмой выборы, в то время как у капитана Б есть второй, третий, пятый и восьмой выборы. ^[19]

Коллизии хэшей

Начальные $2k бит$ последовательности Туэ-Морса отображаются в 0 широким классом полиномиальных хэш-функций по модулю степени двойки , что может привести к коллизиям хэшей . ^[28]

Дзета-функция Римана

Определенные линейные комбинации рядов Дирихле, коэффициенты которых являются членами последовательности Туэ–Морса, приводят к тождествам, включающим дзета-функцию Римана (Tóth, 2022 ^[29] ). Например:

{\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2) ={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}

где - член последовательности Туэ-Морса. Фактически, для всех с действительной частью, большей , мы имеем $(t_{n})_{n\geq 0}$ $n^{\rm {th}}$ $с$ $1$

(2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\дзета (с).

История

Последовательность Туэ–Морса была впервые изучена Эженом Пруэ [fr] в 1851 году, ^[30], который применил ее к теории чисел . Однако Пруэ не упоминал последовательность явно; это было оставлено Акселю Туэ в 1906 году, который использовал ее для обоснования изучения комбинаторики слов . Последовательность привлекла всеобщее внимание только благодаря работе Марстона Морса в 1921 году, когда он применил ее к дифференциальной геометрии . Последовательность была открыта независимо много раз, не всегда профессиональными математиками-исследователями; например, Макс Эйве , шахматный гроссмейстер и учитель математики , открыл ее в 1929 году в приложении к шахматам : используя ее свойство отсутствия кубов (см. выше), он показал, как обойти правило троекратного повторения , направленное на предотвращение бесконечно затянутых игр, объявив повторение ходов ничьей. В то время для срабатывания правила требовались последовательные идентичные состояния доски; Позднее правило было изменено таким образом, что одна и та же позиция на доске повторялась три раза в любой точке, поскольку последовательность показывает, что последовательный критерий можно обойти бесконечно.

Смотрите также

Примечания

^ ab Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A010060 (последовательность Туэ-Морса)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ ab Allouche & Shallit (2003, стр. 15)
^ Арндт (2011).
^ Лотер (2011, стр. 11)
^ Брлек (1989).
^ Лотер (2011, стр. 113)
^ Пифей Фогг (2002, стр. 103)
^ Кригер (2006).
^ Лотер (2011, стр. 30)
^ Берте и Риго (2010).
^ Лотер (2011, стр. 31)
^ Берстель и др. (2009, стр. 70)
^ Берстель и др. (2009, стр. 80)
^ Болкер и др. (2016).
^ Ма и Холденер (2005).
^ Абель, Закари (23 января 2012 г.). «Навигация черепах с помощью азбуки Туэ-Морзе». Треугольные вещи .
^ Брамс и Тейлор (1999).
^ Левин и Стэнге (2012).
^ abc Ричман (2001)
^ Абрахамс (2010).
^ ab Купер и Датл (2013)
^ Паласиос-Уэрта (2012).
^ Паласиос-Уэрта (2014).
^ Коэн-Зада, Крумер и Шапир (2018).
^ Барроу (2010).
^ "Fantasy Draft Types". NFL.com . Архивировано из оригинала 12 октября 2018 года.
^ Аллан, Ян (16 июля 2014 г.). «Third-Round Reversal Drafts». Fantasy Index . Получено 1 сентября 2020 г. .
^ Пахоцкий, Якуб; Радошевский, Якуб (2013). «Где использовать и как не использовать полиномиальное хеширование строк» (PDF) . Олимпиады по информатике . 7 : 90–100 .
^ Tóth, László (2022). "Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса". Целые числа . 22 (статья 98). arXiv : 2211.13570 .
^ Вездесущая последовательность Пруэ-Туэ-Морзе Жана-Поля Аллуша и Джеффри Шаллита
^ Фредриксен, Гарольд (1992). «Коды Грея и последовательность Туэ-Морса-Хедлунда». Журнал комбинаторной математики и комбинаторных вычислений (JCMCC) . 11. Военно-морская аспирантура, кафедра математики, Монтерей, Калифорния, США: 3–11 .
^ Эриксон, Джон (2018-10-30). "Об асимптотическом относительном изменении для последовательностей перестановок" . Получено 2021-01-31 .[1]

Ссылки

Абрахамс, Марк (12 июля 2010 г.). «Как налить идеальную чашку кофе». The Guardian .
Арндт, Йорг (2011). "1.16.4 Последовательность Туэ–Морса" (PDF) . Matters Computational: Ideas, Algorithms, Source Code . Springer. стр. 44.
Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-82332-6. Збл 1086.11015.
Барроу, Джон Д. (2010). «Гребля и задача с одинаковой суммой имеют свои моменты». American Journal of Physics . 78 (7): 728– 732. arXiv : 0911.3551 . Bibcode : 2010AmJPh..78..728B. doi : 10.1119/1.3318808. S2CID 119207447.
Berstel, Jean; Lauve, Aaron; Reutenauer, Christophe; Saliola, Franco V. (2009). Комбинаторика слов. Слова Кристоффеля и повторения в словах. Серия монографий CRM. Том 27. Провиденс, Род-Айленд, США: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4480-9. Збл 1161.68043.
Берте, Валери ; Риго, Мишель, ред. (2010). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 135. Кембридж: Cambridge University Press . стр. 7. ISBN 978-0-521-51597-9. Збл 1197.68006.
Болкер, Итан; Оффнер, Карл; Ричман, Роберт; Зара, Каталин (2016). «Проблема Пруэ–Тэрри–Эскотта и обобщенные последовательности Туэ–Морса». Журнал комбинаторики . 7 (1): 117– 133. arXiv : 1304.6756 . doi : 10.4310/JOC.2016.v7.n1.a5. S2CID 118040795.}
Брамс, Стивен Дж.; Тейлор, Алан Д. (1999). Беспроигрышное решение: гарантия справедливой доли для всех . WW Norton & Co., Inc. стр. 36–44. ISBN 978-0-393-04729-5.
Брлек, Сречко (1989). «Перечисление факторов в слове Туэ-Морса». Дискретная прикладная математика . 24 ( 1– 3): 83– 96. doi :10.1016/0166-218x(92)90274-e.
Коэн-Зада, Дэнни; Крумер, Алекс; Шапир, Оффер Моше (2018). «Тестирование эффекта порядка подачи в теннисном тай-брейке». Журнал экономического поведения и организации . 146 : 106–115 . doi :10.1016/j.jebo.2017.12.012. S2CID 89610106.
Купер, Джошуа; Датл, Аарон (2013). «Жадные игры Галуа» (PDF) . American Mathematical Monthly . 120 (5): 441– 451. arXiv : 1110.1137 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.05.441. S2CID 1291901.
Krieger, Dalia (2006). "О критических показателях в неподвижных точках нестирающих морфизмов". В Ibarra, Oscar H.; Dang, Zhe (ред.). Developments in Language Theory: Proceedings 10th International Conference, DLT 2006, Santa Barbara, California, USA, June 26-29, 2006. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4036. Springer-Verlag . pp. 280–291 . ISBN 978-3-540-35428-4. Збл 1227.68074.
Левин, Лайонел; Стэндж, Кэтрин Э. (2012). «Как извлечь максимальную пользу из совместной трапезы: сначала запланируйте последний кусочек» (PDF) . American Mathematical Monthly . 119 (7): 550–565 . arXiv : 1104.0961 . doi :10.4169/amer.math.monthly.119.07.550. S2CID 14537479.
Лотер, М. (2011). Алгебраическая комбинаторика слов . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 90. С предисловием Жана Берстеля и Доминика Перрена (Переиздание издания 2002 года в твердом переплете). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-18071-9. Збл 1221.68183.
Ma, Jun; Holdener, Judy (2005). «Когда Туэ-Морзе встречает Коха» (PDF) . Fractals . 13 (3): 191– 206. doi :10.1142/S0218348X05002908. MR 2166279.
Паласиос-Уэрта, Игнасио (2012). «Турниры, справедливость и последовательность Пруэ–Туэ–Морса» (PDF) . Economic Inquiry . 50 (3): 848– 849. doi :10.1111/j.1465-7295.2011.00435.x. S2CID 54036493.
Паласиос-Уэрта, Игнасио (2014). Beautiful Game Theory . Princeton University Press. ISBN 978-0691144023.
Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1794. Berlin, Germany: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0. Збл 1014.11015.
Ричман, Роберт (2001). «Рекурсивные двоичные последовательности разностей» (PDF) . Сложные системы . 13 (4): 381– 392.

Дальнейшее чтение

Бюжо, Ян (2012). Распределение по модулю один и диофантовы приближения . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 193. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-11169-0. Збл 1260.11001.
Лотер, М. (2005). Прикладная комбинаторика к словам . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 105. Коллективная работа Жана Берстеля, Доминика Перрена, Максима Крошмора, Эрика Лапорта, Мехрияра Мори, Нади Пизанти, Мари-Франс Саго, Жезины Рейнерт , Софи Шбат , Михаэля Уотермана, Филиппа Жаке, Войцеха Шпанковского , Доминика Пулалона, Жиля Шеффера, Роман Колпаков, Григорий Кучеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84802-2. Збл 1133.68067.

Внешние ссылки

«Последовательность Туэ-Морса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Туэ-Морса». Математический мир .
Аллуш, Ж.-П.; Шаллит, Дж.О. Повсеместная последовательность Пруэ-Туэ-Морзе. (содержит множество приложений и немного истории)
Последовательность Туэ-Морса над (1,2) (последовательность A001285 в OEIS )
Последовательность OEIS A000069 (Одиозные числа: числа с нечетным количеством единиц в их двоичном разложении)
Последовательность OEIS A001969 (Злые числа: числа с четным количеством единиц в их двоичном разложении)
Уменьшение влияния дрейфа смещения постоянного тока в аналоговых IP с использованием последовательности Туэ-Морзе. Техническое применение последовательности Туэ-Морзе
MusiNum — Музыка в числах. Бесплатное программное обеспечение для создания самоподобной музыки на основе последовательности Туэ–Морзе и связанных числовых последовательностей.
Паркер, Мэтт . «Самая справедливая последовательность обмена» (видео) . standupmaths . Получено 20 января 2016 г.

[A010060-1] Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A010060 (последовательность Туэ-Морса)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[AS15-2] Allouche & Shallit (2003, стр. 15)

[FOOTNOTEArndt2011-3] Арндт (2011).

[4] Лотер (2011, стр. 11)

[FOOTNOTEBrlek1989-5] Брлек (1989).

[ACOW113-6] Лотер (2011, стр. 113)

[PF103-7] Пифей Фогг (2002, стр. 103)

[FOOTNOTEKrieger2006-8] Кригер (2006).

[ACOW30-9] Лотер (2011, стр. 30)

[FOOTNOTEBerthéRigo2010-10] Берте и Риго (2010).

[ACOW31-11] Лотер (2011, стр. 31)

[BLRS70-12] Берстель и др. (2009, стр. 70)

[BLRS80-13] Берстель и др. (2009, стр. 80)

[FOOTNOTEBolkerOffnerRichmanZara2016-14] Болкер и др. (2016).

[FOOTNOTEMaHoldener2005-15] Ма и Холденер (2005).

[16] Абель, Закари (23 января 2012 г.). «Навигация черепах с помощью азбуки Туэ-Морзе». Треугольные вещи .

[FOOTNOTEBramsTaylor1999-17] Брамс и Тейлор (1999).

[FOOTNOTELevineStange2012-18] Левин и Стэнге (2012).

[richman-19] Ричман (2001)

[FOOTNOTEAbrahams2010-20] Абрахамс (2010).

[cooper-21] Купер и Датл (2013)

[FOOTNOTEPalacios-Huerta2012-22] Паласиос-Уэрта (2012).

[FOOTNOTEPalacios-Huerta2014-23] Паласиос-Уэрта (2014).

[FOOTNOTECohen-ZadaKrumerShapir2018-24] Коэн-Зада, Крумер и Шапир (2018).

[FOOTNOTEBarrow2010-25] Барроу (2010).

[26] "Fantasy Draft Types". NFL.com . Архивировано из оригинала 12 октября 2018 года.

[27] Аллан, Ян (16 июля 2014 г.). «Third-Round Reversal Drafts». Fantasy Index . Получено 1 сентября 2020 г. .

[28] Пахоцкий, Якуб; Радошевский, Якуб (2013). «Где использовать и как не использовать полиномиальное хеширование строк» (PDF) . Олимпиады по информатике . 7 : 90–100 .

[29] Tóth, László (2022). "Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса". Целые числа . 22 (статья 98). arXiv : 2211.13570 .

[30] Вездесущая последовательность Пруэ-Туэ-Морзе Жана-Поля Аллуша и Джеффри Шаллита

[Fredricksen_1992-31] Фредриксен, Гарольд (1992). «Коды Грея и последовательность Туэ-Морса-Хедлунда». Журнал комбинаторной математики и комбинаторных вычислений (JCMCC) . 11. Военно-морская аспирантура, кафедра математики, Монтерей, Калифорния, США: 3–11 .

[Erickson_2018-32] Эриксон, Джон (2018-10-30). "Об асимптотическом относительном изменении для последовательностей перестановок" . Получено 2021-01-31 .[1]