Частные значения дзета-функции Римана

В математике дзета- функция Римана — это функция в комплексном анализе , которая также важна в теории чисел . Она часто обозначается и названа в честь математика Бернхарда Римана . Когда аргумент — действительное число больше единицы, дзета-функция удовлетворяет уравнению Поэтому она может предоставить сумму различных сходящихся бесконечных рядов , таких как Существуют явные или численно эффективные формулы для при целых аргументах, все из которых имеют действительные значения, включая этот пример. В этой статье перечислены эти формулы вместе с таблицами значений. Она также включает производные и некоторые ряды, составленные из дзета-функции при целых аргументах.${\displaystyle \дзета (с)}$${\displaystyle с}$$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,.}$$${\textstyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+}$${\textstyle {\frac {1}{2^{2}}}+}$${\textstyle {\frac {1}{3^{2}}}+\ldots \,.}$${\displaystyle \дзета (с)}$

То же самое уравнение выше справедливо и для комплексного числа, действительная часть которого больше единицы, что гарантирует сходимость бесконечной суммы. Затем дзета-функцию можно расширить на всю комплексную плоскость с помощью аналитического продолжения , за исключением простого полюса в . Комплексная производная существует в этой более общей области, что делает дзета-функцию мероморфной функцией . Вышеуказанное уравнение больше не применимо для этих расширенных значений , для которых соответствующее суммирование расходилось бы. Например, полная дзета-функция существует при (и, следовательно, там конечна), но соответствующий ряд будет , частичные суммы которых будут расти бесконечно большими.${\displaystyle с}$${\displaystyle с}$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle с}$${\displaystyle s=-1}$${\textstyle 1+2+3+\ldots \,,}$

Значения дзета-функции, перечисленные ниже, включают значения функции при отрицательных четных числах ( s = −2 , −4 и т. д. ), для которых ζ ( s ) = 0 и которые составляют так называемые тривиальные нули . Статья о дзета-функции Римана включает цветной график, иллюстрирующий, как функция изменяется в непрерывной прямоугольной области комплексной плоскости. Успешная характеристика ее нетривиальных нулей в более широкой плоскости важна в теории чисел из-за гипотезы Римана .

При нуле , один имеет$${\displaystyle \zeta (0)={B_{1}^{-}}=-{B_{1}^{+}}=-{\tfrac {1}{2}}\!}$$

В точке 1 находится полюс , поэтому ζ (1) не является конечным, но левый и правый пределы таковы: Поскольку это полюс первого порядка, он имеет комплексный вычет$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{\pm }}\zeta (1+\varepsilon )=\pm \infty }$$$${\displaystyle \lim _ {\varepsilon \to 0} \varepsilon \zeta (1+\varepsilon)=1\,.}$$

Для четных положительных целых чисел существует связь с числами Бернулли :${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$

$${\displaystyle \zeta (n)=(-1)^{{\tfrac {n}{2}}+1}{\frac {(2\pi )^{n}B_{n}}{2(n !)}}\,.}$$

Вычисление известно как Базельская проблема . Значение связано с законом Стефана–Больцмана и приближением Вина в физике. Первые несколько значений задаются как:${\displaystyle \дзета (2)}$${\displaystyle \дзета (4)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[4pt]\zeta (4)&=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\\[4pt]\zeta (6)&=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\\[4pt]\zeta (8)&=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\\[4pt]\zeta (10)&=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\\[4pt]\zeta (12)&=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}\\[4pt]\zeta (14)&=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}\\[4pt]\zeta (16)&=1+{\frac {1}{2^{16}}}+{\frac {1}{3^{16}}}+\cdots ={\frac {3617\pi ^{16}}{325641566250}}\,.\end{aligned}}}$$

Взяв предел , получаем .${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle \zeta (\infty )=1}$

Выбранные значения для четных целых чисел

Ценить	Разложение десятичной дроби	Источник
${\displaystyle \zeta (2)}$	1.644 934 066 848 226 4364 ...	OEIS : A013661
${\displaystyle \zeta (4)}$	1,082 323 233 711 138 1915 ...	OEIS : A013662
${\displaystyle \zeta (6)}$	1,017 343 061 984 449 1397 ...	OEIS : A013664
${\displaystyle \zeta (8)}$	1.004 077 356 197 944 3393 ...	OEIS : A013666
${\displaystyle \zeta (10)}$	1.000 994 575 127 818 0853 ...	OEIS : A013668
${\displaystyle \zeta (12)}$	1.000 246 086 553 308 0482 ...	OEIS : A013670
${\displaystyle \zeta (14)}$	1.000 061 248 135 058 7048 ...	OEIS : A013672
${\displaystyle \zeta (16)}$	1.000 015 282 259 408 6518 ...	OEIS : A013674

Связь между дзета при положительных четных целых числах и числами Бернулли можно записать как

$${\displaystyle A_{n}\zeta (2n)=\pi ^{2n}B_{n}}$$

где и являются целыми числами для всех четных . Они задаются целочисленными последовательностями OEIS : A002432 и OEIS : A046988 , соответственно, в OEIS . Некоторые из этих значений воспроизведены ниже:${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

Если мы допустим, что будет коэффициентом, как указано выше, то мы находим рекурсивно,${\displaystyle \eta _{n}=B_{n}/A_{n}}$${\displaystyle \pi ^{2n}}$$${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{1}&=1/6\\\eta _{n}&=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}\end{aligned}}}$$

Это рекуррентное соотношение может быть выведено из рекуррентного соотношения для чисел Бернулли .

Также есть еще один повтор:

$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)\quad {\text{ for }}\quad n>1}$$что можно доказать, используя это${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-1-\cot ^{2}(x)}$

Значения дзета-функции при неотрицательных четных целых числах имеют производящую функцию : Так как Формула также показывает, что для ,$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\zeta (2n)x^{2n}=-{\frac {\pi x}{2}}\cot(\pi x)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}x^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{4}+{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{6}+\cdots }$$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\zeta (2n)=1}$$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \infty }$$${\displaystyle \left|B_{2n}\right|\sim {\frac {(2n)!\,2}{\;~(2\pi )^{2n}\,}}}$$

Сумма гармонического ряда бесконечна.$${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty \!}$$

Значение ζ (3) также известно как постоянная Апери и играет роль в гиромагнитном отношении электрона. Значение ζ (3) также появляется в законе Планка . Эти и дополнительные значения:

Выбранные значения для нечетных целых чисел

Ценить	Разложение десятичной дроби	Источник
${\displaystyle \zeta (3)}$	1.202 056 903 159 594 2853 ...	ОЭИС : A02117
${\displaystyle \zeta (5)}$	1,036 927 755 143 369 9263 ...	OEIS : A013663
${\displaystyle \zeta (7)}$	1,008 349 277 381 922 8268 ...	OEIS : A013665
${\displaystyle \zeta (9)}$	1.002 008 392 826 082 2144 ...	OEIS : A013667
${\displaystyle \zeta (11)}$	1.000 494 188 604 119 4645 ...	OEIS : A013669
${\displaystyle \zeta (13)}$	1.000 122 713 347 578 4891 ...	OEIS : A013671
${\displaystyle \zeta (15)}$	1.000 030 588 236 307 0204 ...	OEIS : A013673

Известно, что ζ (3) иррационально ( теорема Апери ) и что бесконечно много чисел ζ (2 n  + 1) : n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$ , являются иррациональными. ^[1] Имеются также результаты об иррациональности значений дзета-функции Римана в элементах некоторых подмножеств положительных нечетных целых чисел; например, по крайней мере одно из ζ (5), ζ (7), ζ (9) или ζ (11) иррационально. ^[2]

Положительные нечетные целые числа дзета-функции появляются в физике, в частности, в корреляционных функциях антиферромагнитной спиновой цепочки XXX . ^[3]

Большинство из следующих ниже тождеств предоставлены Саймоном Плуффом . Они примечательны тем, что сходятся довольно быстро, давая почти три цифры точности на итерацию, и, таким образом, полезны для высокоточных вычислений.

Плуффе без доказательств заявил следующие тождества. ^[4] Доказательства были позже предоставлены другими авторами. ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (5)&={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\\\zeta (5)&=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}\!}$$

Обратите внимание, что сумма представлена ​​в виде ряда Ламберта .

Определяя величины

$${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}$$

ряд отношений можно задать в виде

$${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)}$$

где A _n , B _n , C _n и D _n — положительные целые числа. Плуфф дает таблицу значений:

Эти целочисленные константы могут быть выражены в виде сумм по числам Бернулли, как указано в (Vepstas, 2006) ниже.

Быстрый алгоритм вычисления дзета-функции Римана для любого целочисленного аргумента дан Е.А. Карацубой. ^{[6] [7] [8]}

В общем случае для отрицательных целых чисел (а также нуля) имеем

$${\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$

Так называемые «тривиальные нули» встречаются в отрицательных четных целых числах:

$${\displaystyle \zeta (-2n)=0}$$( Обобщение Рамануджана )

Первые несколько значений для отрицательных нечетных целых чисел:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (-1)&=-{\frac {1}{12}}\\[4pt]\zeta (-3)&={\frac {1}{120}}\\[4pt]\zeta (-5)&=-{\frac {1}{252}}\\[4pt]\zeta (-7)&={\frac {1}{240}}\\[4pt]\zeta (-9)&=-{\frac {1}{132}}\\[4pt]\zeta (-11)&={\frac {691}{32760}}\\[4pt]\zeta (-13)&=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}}$$

Однако, как и числа Бернулли , они не остаются малыми для все более отрицательных нечетных значений. Подробности о первом значении см. в 1 + 2 + 3 + 4 + · · · .

Таким образом, ζ ( m ) можно использовать в качестве определения всех (включая числа с индексом 0 и 1) чисел Бернулли.

Производная дзета-функции при отрицательных четных целых числах определяется выражением

$${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1)\,.}$$

Первые несколько значений которых

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(-2)&=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-4)&={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-6)&=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-8)&={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9)\,.\end{aligned}}}$$

У одного также есть

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-1)&={\frac {1}{12}}-\ln A\\[4pt]\zeta ^{\prime }(2)&={\frac {1}{6}}\pi ^{2}(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{aligned}}}$$

где A — константа Глейшера–Кинкелина . Первое из этих тождеств подразумевает, что регуляризованное произведение обратных величин положительных целых чисел равно , таким образом, забавное «уравнение» . ^[9]${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle \infty !={\sqrt {2\pi }}}$

Из логарифмической производной функционального уравнения,

$${\displaystyle 2{\frac {\zeta '(1/2)}{\zeta (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi \cos(\pi /4)}{2\sin(\pi /4)}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}+2\log 2+\gamma \,.}$$

Избранные производные

Ценить	Разложение десятичной дроби	Источник
${\displaystyle \zeta '(3)}$	−0,198 126 242 885 636 853 33 ...	OEIS : A244115
${\displaystyle \zeta '(2)}$	−0,937 548 254 315 843 753 70 ...	OEIS : A073002
${\displaystyle \zeta '(0)}$	−0,918 938 533 204 672 741 78 ...	OEIS : A075700
${\displaystyle \zeta '(-{\tfrac {1}{2}})}$	−0,360 854 339 599 947 607 34 ...	OEIS : A271854
${\displaystyle \zeta '(-1)}$	−0,165 421 143 700 450 929 21 ...	OEIS : A084448
${\displaystyle \zeta '(-2)}$	−0,030 448 457 058 393 270 780 ...	OEIS : A240966
${\displaystyle \zeta '(-3)}$	+0,005 378 576 357 774 301 1444 ...	OEIS : A259068
${\displaystyle \zeta '(-4)}$	+0,007 983 811 450 268 624 2806 ...	OEIS : A259069
${\displaystyle \zeta '(-5)}$	−0,000 572 985 980 198 635 204 99 ...	OEIS : A259070
${\displaystyle \zeta '(-6)}$	−0,005 899 759 143 515 937 4506 ...	OEIS : A259071
${\displaystyle \zeta '(-7)}$	−0,000 728 642 680 159 240 652 46 ...	OEIS : A259072
${\displaystyle \zeta '(-8)}$	+0,008 316 161 985 602 247 3595 ...	OEIS : A259073

Из производящей функции можно вывести следующие суммы: где ψ ₀ — дигамма-функция .$${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k)x^{k-1}=-\psi _{0}(1-x)-\gamma }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)&=1\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k)-1)&={\frac {3}{4}}\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k+1)-1)&={\frac {1}{4}}\\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}(\zeta (k)-1)&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

Ряды, связанные с константой Эйлера–Маскерони (обозначаемой γ ), имеют вид$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=1-\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2+\gamma -1\end{aligned}}}$$

и используя главное значение , которое, конечно, влияет только на значение 1, эти формулы можно записать как$${\displaystyle \zeta (k)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (k+\varepsilon )+\zeta (k-\varepsilon )}{2}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2\end{aligned}}}$$

и показать, что они зависят от главного значения ζ (1) = γ .

Нули дзета Римана, за исключением отрицательных четных целых чисел, называются «нетривиальными нулями». Гипотеза Римана утверждает, что действительная часть каждого нетривиального нуля должна быть ⁠1/2⁠ . Другими словами, все известные нетривиальные нули дзета Римана имеют вид z = ⁠1/2⁠ + y i , где y — действительное число. Следующая таблица содержит десятичное разложение Im( z ) для первых нескольких нетривиальных нулей:

Эндрю Одлыжко вычислил первые 2 миллиона нетривиальных нулей с точностью до 4 × 10⁻⁹ , и первые 100 нулей с точностью до 1000 знаков после запятой. Таблицы и библиографии см. на их веб-сайте. ^{[10] [11]} Таблица из примерно 103 миллиардов нулей с высокой точностью (±2 ^-102 ≈±2·10 ^-31 ) доступна для интерактивного доступа и загрузки (хотя в очень неудобном сжатом формате) через LMFDB . ^[12]

Хотя оценка конкретных значений дзета-функции затруднительна, часто определенные соотношения можно найти, подставив конкретные значения гамма-функции в функциональное уравнение.

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$

У нас есть простые соотношения для полуцелых аргументов

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\zeta (3/2)}{\zeta (-1/2)}}&=-4\pi \\{\frac {\zeta (5/2)}{\zeta (-3/2)}}&=-{\frac {16\pi ^{2}}{3}}\\{\frac {\zeta (7/2)}{\zeta (-5/2)}}&={\frac {64\pi ^{3}}{15}}\\{\frac {\zeta (9/2)}{\zeta (-7/2)}}&={\frac {256\pi ^{4}}{105}}\end{aligned}}}$

Далее следуют другие примеры для более сложных оценок и соотношений гамма-функции. Например, следствие соотношения

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}$

это отношение дзета-коэффициента

${\displaystyle {\frac {\zeta (3/4)}{\zeta (1/4)}}=2{\sqrt {\frac {\pi }{(2-{\sqrt {2}})\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}$

где AGM — среднее арифметическое–геометрическое . Аналогичным образом можно сформировать радикальные отношения, например, из

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

аналогичное дзета-соотношение

${\displaystyle {\frac {\zeta (1/5)^{2}\zeta (7/10)\zeta (9/10)}{\zeta (1/10)\zeta (3/10)\zeta (4/5)^{2}}}={\frac {(5-{\sqrt {5}})\left({\sqrt {10}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{10\cdot 2^{\tfrac {3}{10}}}}}$

• Чаурри, Оскар; Навас, Луис М.; Руис, Франсиско Дж.; Варона, Хуан Л. (май 2015 г.). «Простое вычисление ζ (2 k )». Американский математический ежемесячник . 122 (5): 444–451. doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.5.444. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.122.5.444. S2CID  207521195.
• Саймон Плуфф , «Идентичности, вдохновлённые записными книжками Рамануджана, заархивированными 30 января 2009 г. в Wayback Machine », (1998).
• Саймон Плуфф , «Идентичности, вдохновленные «Записными книжками Рамануджана», часть 2, PDF. Архивировано 26 сентября 2011 г. на Wayback Machine » (2006).
• Вепстас, Линас (2006). «О тождествах Рамануджана Плуффа» (PDF) . Журнал Рамануджана . 27 (3): 387–408. arXiv : math.NT/0609775 . doi :10.1007/s11139-011-9335-9. S2CID  8789411.
• Зудилин, Вадим (2001). «Одно из чисел ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) иррационально». Российские математические обзоры . 56 (4): 774–776. Бибкод :2001РуМаС..56..774Z. doi : 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427. MR  1861452. S2CID  250734661.PDF PDF Русский PS Русский
• Ссылка на нетривальные нули от Эндрю Одлыжко :
  • Библиография
  • Таблицы