Теорема Апери
Сумма обратных чисел положительных целых чисел, возведенных в куб, является иррациональной.

В математике теорема Апери — это результат в теории чисел , который утверждает, что константа Апери ζ(3) является иррациональной . То есть, число

ζ ( 3 ) = ∑ н = 1 ∞ 1 н 3 = 1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ = 1.2020569 … {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1,2020569\ldots }

не может быть записана в виде дроби , где p и q — целые числа . Теорема названа в честь Роджера Апери . п / д {\displaystyle п/д}

Специальные значения дзета-функции Римана при четных целых числах ( ) можно показать в терминах чисел Бернулли , что они иррациональны, в то время как остается открытым вопрос, являются ли значения функции в целом рациональными или нет при нечетных целых числах ( ) (хотя предполагается, что они иррациональны). 2 н {\displaystyle 2n} н > 0 {\displaystyle n>0} 2 н + 1 {\displaystyle 2n+1} н > 1 {\displaystyle n>1}

История

Леонард Эйлер доказал, что если n — положительное целое число, то

1 1 2 н + 1 2 2 н + 1 3 2 н + 1 4 2 н + ⋯ = п д π 2 н {\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots ={\frac {p}{q}}\пи ^{2n}}

для некоторого рационального числа . В частности, записывая бесконечный ряд слева как , он показал п / д {\displaystyle п/д} ζ ( 2 н ) {\displaystyle \дзета (2n)}

ζ ( 2 н ) = ( − 1 ) н + 1 Б 2 н ( 2 π ) 2 н 2 ( 2 н ) ! {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}}}

где — рациональные числа Бернулли . После того, как было доказано, что всегда иррационально, это показало, что иррационально для всех положительных целых чисел n . Б н {\displaystyle B_{n}} π н {\displaystyle \пи ^{n}} ζ ( 2 н ) {\displaystyle \дзета (2n)}

Неизвестно такое представление в терминах π для так называемых констант дзета для нечетных аргументов, значений для положительных целых чисел n . Было высказано предположение, что отношения этих величин ζ ( 2 н + 1 ) {\displaystyle \дзета (2n+1)}

ζ ( 2 н + 1 ) π 2 н + 1 , {\displaystyle {\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}},}

являются трансцендентными для любого целого числа . [1] н ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

Из-за этого не удалось найти доказательств того, что константы дзета с нечетными аргументами иррациональны, хотя они все считались (и считаются) трансцендентными. Однако в июне 1978 года Роджер Апери выступил с докладом под названием «Sur l'irrationalité de ζ(3)». В ходе доклада он изложил доказательства того, что и иррациональны, причем последнее использовало методы, упрощенные по сравнению с теми, которые использовались для решения первой задачи, а не полагалось на выражение в терминах π. Из-за совершенно неожиданной природы доказательства и пресыщенного и очень схематичного подхода Апери к предмету многие математики в аудитории отвергли доказательство как ошибочное. Однако Анри Коэн , Хендрик Ленстра и Альфред ван дер Поортен заподозрили, что Апери что-то нащупал, и решили подтвердить его доказательство. Два месяца спустя они закончили проверку доказательства Апери, и 18 августа Коэн прочитал лекцию, в которой подробно описал доказательство. После лекции сам Апери поднялся на трибуну, чтобы объяснить источник некоторых своих идей. [2] ζ ( 3 ) {\displaystyle \дзета (3)} ζ ( 2 ) {\displaystyle \дзета (2)}

Доказательство Апери

Первоначальное доказательство Апери [3] [4] основывалось на хорошо известном критерии иррациональности Петера Густава Лежена Дирихле , который гласит, что число является иррациональным, если существует бесконечно много взаимно простых целых чисел p и q таких, что ξ {\displaystyle \xi}

| ξ − п д | < с д 1 + δ {\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}}

для некоторого фиксированного c , δ > 0.

Отправной точкой для Апери было последовательное представление как ζ ( 3 ) {\displaystyle \дзета (3)}

ζ ( 3 ) = 5 2 ∑ н = 1 ∞ ( − 1 ) н − 1 н 3 ( 2 н н ) . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^ {3}{\binom {2n}{n}}}}.}

Грубо говоря, Апери затем определил последовательность , которая сходится примерно так же быстро, как и приведенный выше ряд, а именно: с н , к {\displaystyle c_{n,k}} ζ ( 3 ) {\displaystyle \дзета (3)}

с н , к = ∑ м = 1 н 1 м 3 + ∑ м = 1 к ( − 1 ) м − 1 2 м 3 ( н м ) ( н + м м ) . {\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}.}

Затем он определил еще две последовательности и которые, грубо говоря, имеют частное . Эти последовательности были а н {\displaystyle а_{н}} б н {\displaystyle b_{n}} с н , к {\displaystyle c_{n,k}}

а н = ∑ к = 0 н с н , к ( н к ) 2 ( н + к к ) 2 {\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k }}^{2}}

и

б н = ∑ к = 0 н ( н к ) 2 ( н + к к ) 2 . {\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2} .}

Последовательность сходится достаточно быстро, чтобы применить критерий, но, к сожалению, не является целым числом после . Тем не менее, Апери показал, что даже после умножения и на подходящее целое число для решения этой проблемы сходимость все еще была достаточно быстрой, чтобы гарантировать иррациональность. а н б н {\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}} ζ ( 3 ) {\displaystyle \дзета (3)} а н {\displaystyle а_{н}} н = 2 {\displaystyle n=2} а н {\displaystyle а_{н}} б н {\displaystyle b_{n}}

Более поздние доказательства

В течение года после результата Апери альтернативное доказательство было найдено Фрицем Бёкерсом [5], который заменил ряд Апери интегралами , включающими сдвинутые полиномы Лежандра . Используя представление, которое позже было обобщено до формулы Хаджикостаса , Бёкерс показал, что П н ~ ( х ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}

∫ 0 1 ∫ 0 1 − бревно ⁡ ( х у ) 1 − х у П н ~ ( х ) П н ~ ( у ) г х г у = А н + Б н ζ ( 3 ) лкм ⁡ [ 1 , … , н ] 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)dxdy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}

для некоторых целых чисел A n и B n (последовательности OEIS : A171484 и OEIS : A171485 ). Используя частичное интегрирование и предположение, что было рациональным и равным , Бёкерс в конечном итоге вывел неравенство ζ ( 3 ) {\displaystyle \дзета (3)} а б {\displaystyle {\frac {a}{b}}}

0 < 1 б ≤ | А н + Б н ζ ( 3 ) | ≤ 4 ( 4 5 ) н {\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}}

что является противоречием , поскольку самое правое выражение стремится к нулю при , и поэтому в конечном итоге должно стать меньше . н → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 1 б {\displaystyle {\frac {1}{b}}}

Более позднее доказательство Вадима Зудилина больше напоминает оригинальное доказательство Апери, [6] а также имеет сходство с четвертым доказательством Юрия Нестеренко . [7] Эти более поздние доказательства снова выводят противоречие из предположения, что является рациональным, путем построения последовательностей, стремящихся к нулю, но ограниченных снизу некоторой положительной константой. Они несколько менее прозрачны, чем более ранние доказательства, поскольку они опираются на гипергеометрические ряды . ζ ( 3 ) {\displaystyle \дзета (3)}

Высшие константы дзета

См. также Частные значения дзета-функции Римана § Нечетные положительные целые числа

Апери и Бёкерс также смогли упростить свои доказательства благодаря представлению серий. ζ ( 2 ) {\displaystyle \дзета (2)}

ζ ( 2 ) = 3 ∑ н = 1 ∞ 1 н 2 ( 2 н н ) . {\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}

Благодаря успеху метода Апери был предпринят поиск числа со свойством ξ 5 {\displaystyle \xi _{5}}

ζ ( 5 ) = ξ 5 ∑ н = 1 ∞ ( − 1 ) н − 1 н 5 ( 2 н н ) . {\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{5}{ \binom {2n}{n}}}}.}

Если бы такой был найден, то можно было бы ожидать, что методы, используемые для доказательства теоремы Апери, будут работать на доказательстве, которое является иррациональным. К сожалению, обширный компьютерный поиск [8] не смог найти такую ​​константу, и на самом деле теперь известно, что если существует и если это алгебраическое число степени не выше 25, то коэффициенты в его минимальном многочлене должны быть огромными, по крайней мере , поэтому расширение доказательства Апери для работы с более высокими нечетными дзета-константами, по-видимому, не сработает. ξ 5 {\displaystyle \xi _{5}} ζ ( 5 ) {\displaystyle \дзета (5)} ξ 5 {\displaystyle \xi _{5}} 10 383 {\displaystyle 10^{383}}

Работа Вадима Зудилина и Танги Ривоаля показала, что бесконечно много чисел должны быть иррациональными, [9] и даже что по крайней мере одно из чисел , , , и должно быть иррациональным. [10] Их работа использует линейные формы в значениях дзета-функции и оценки по ним, чтобы ограничить размерность векторного пространства, охватываемого значениями дзета-функции в нечетных целых числах. Надежды на то, что Зудилин сможет сократить свой список еще больше до одного числа, не оправдались, но работа над этой проблемой все еще является активной областью исследований. Более высокие дзета-константы имеют применение в физике: они описывают корреляционные функции в квантовых спиновых цепях . [11] ζ ( 2 н + 1 ) {\displaystyle \дзета (2n+1)} ζ ( 5 ) {\displaystyle \дзета (5)} ζ ( 7 ) {\displaystyle \дзета (7)} ζ ( 9 ) {\displaystyle \дзета (9)} ζ ( 11 ) {\displaystyle \дзета (11)}

Ссылки

  1. ^ Kohnen, Winfried (1989). «Трансцендентные гипотезы о периодах модулярных форм и рациональных структурах на пространствах модулярных форм». Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 99 (3): 231–233. doi :10.1007/BF02864395. S2CID  121346325.
  2. ^ А. ван дер Поортен (1979). «Доказательство, которое Эйлер пропустил...» (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 1 (4): 195–203. doi :10.1007/BF03028234. S2CID  121589323.
  3. ^ Апери, Р. (1979). «Иррациональность ζ (2) и ζ (3)». Астериск . 61 : 11–13.
  4. ^ Апери, Р. (1981), «Интерполяция дробей продолжается и иррациональности определенных констант», Бюллетень секции наук du CTHS III , стр. 37–53
  5. ^ Ф. Бёкерс (1979). «Заметка об иррациональности ζ(2) и ζ(3)». Бюллетень Лондонского математического общества . 11 (3): 268–272. doi :10.1112/blms/11.3.268.
  6. ^ Зудилин, В. (2002). «Элементарное доказательство теоремы Апери». arXiv : math/0202159 .
  7. ^ Ю. В. Нестеренко (1996). Некоторые примечания о ζ(3). Матем. Заметки (на русском языке). 59 (6): 865–880. дои : 10.4213/mzm1785 .Перевод на английский: Ю. В. Нестеренко (1996). "Несколько замечаний о ζ(3)". Math. Notes . 59 (6): 625–636. doi :10.1007/BF02307212. S2CID  117487836.
  8. ^ Д. Х. Бейли, Дж. Борвейн, Н. Калкин, Р. Гиргенсон, Р. Люк и В. Молл, Экспериментальная математика в действии , 2007.
  9. ^ Ривоал, Т. (2000). «La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiersimpairs». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 331 : 267–270. arXiv : math/0008051 . Бибкод : 2000CRASM.331..267R. дои : 10.1016/S0764-4442(00)01624-4. S2CID  119678120.
  10. ^ В. Зудилин (2001). «Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально». Расс. Математика. Сурв . 56 (4): 774–776. Бибкод :2001РуМаС..56..774Z. doi : 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427.
  11. ^ HE Boos; VE Korepin; Y. Nishiyama; M. Shiroishi (2002). «Квантовые корреляции и теория чисел». Journal of Physics A. 35 ( 20): 4443–4452. arXiv : cond-mat/0202346 . Bibcode : 2002JPhA...35.4443B. doi : 10.1088/0305-4470/35/20/305. S2CID  119143600.
  • Хейлбрук, Дирк (2001). «Сходства в доказательствах иррациональности для π, ln2, ζ(2) и ζ(3)» (PDF) . Amer. Math. Monthly . 108 (3): 222–231. doi :10.2307/2695383. JSTOR  2695383.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Apéry%27s_theorem&oldid=1231768151"