Тессеракт

Тессеракт 8-ячеечный (4-кубический)
Тип	Выпуклый правильный 4-мерный многогранник
Символ Шлефли	{4,3,3} т 0,3 {4,3,2} или {4,3}×{ } т 0,2 {4,2,4} или {4}×{4} т 0,2,3 {4,2,2} или {4}×{ }×{ } т 0,1,2,3 {2,2,2} или { }×{ }×{ }×{ }
Диаграмма Коксетера
Клетки	8 {4,3}
Лица	24 {4}
Края	32
Вершины	16
Вершинная фигура	Тетраэдр
Петри полигон	восьмиугольник
Группа Коксетера	Б 4 , [3,3,4]
Двойной	16-ячеечный
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изоэдральный , многогранник Ханнера
Единый индекс	10

Найдите тессеракт в Викисловаре, бесплатном словаре.

В геометрии тессеракт или 4-куб — ​​это четырёхмерный гиперкуб , аналогичный двумерному квадрату и трёхмерному кубу . ^[1] Так же, как периметр квадрата состоит из четырёх рёбер, а поверхность куба — из шести квадратных граней , гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек , встречающихся под прямым углом . Тессеракт — один из шести выпуклых правильных 4-многогранников .

Тессеракт также называется 8-ячейкой , C ₈ , (правильным) октахороном или кубической призмой . Это четырехмерный многогранник , взятый в качестве единицы измерения гиперобъема. ^[2] Коксетер называет его многогранником γ ₄ . ^[3] Термин гиперкуб без указания размерности часто рассматривается как синоним этого конкретного многогранника .

Оксфордский словарь английского языка прослеживает слово tesseract до книги Чарльза Говарда Хинтона 1888 года «Новая эра мысли» . Термин происходит от греческого téssara ( τέσσαρα «четыре») и aktís ( ἀκτίς «луч»), ссылаясь на четыре ребра от каждой вершины к другим вершинам. Хинтон первоначально писал слово как tessaract . ^[4]

Как правильный многогранник с тремя кубами , сложенными вместе вокруг каждого ребра, он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Построенный как 4D гиперпризма , сделанная из двух параллельных кубов, он может быть назван составным символом Шлефли {4,3} × { }, с порядком симметрии 96. Как 4-4 дуопризма , декартово произведение двух квадратов , он может быть назван составным символом Шлефли {4}×{4}, с порядком симметрии 64. Как ортотоп он может быть представлен составным символом Шлефли { } × { } × { } × { } или { } ⁴ , с порядком симметрии 16.

Поскольку каждая вершина тессеракта смежна с четырьмя ребрами, вершинная фигура тессеракта — правильный тетраэдр . Двойственный многогранник тессеракта — это 16-ячейка с символом Шлефли {3,3,4}, с которым его можно объединить, чтобы образовать соединение тессеракта и 16-ячейки.

Каждое ребро правильного тессеракта имеет одинаковую длину. Это представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы сетевой топологии для связи нескольких процессоров в параллельных вычислениях : расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует много различных путей, позволяющих сбалансировать вес.

Тессеракт ограничен восемью трехмерными гиперплоскостями . Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратных грани. Три куба и три квадрата пересекаются на каждом ребре. В каждой вершине сходятся четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра. Всего тессеракт состоит из 8 кубов, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.

Единичный тессеракт имеет длину стороны 1 и обычно принимается в качестве базовой единицы для гиперобъема в 4-мерном пространстве. Единичный тессеракт в декартовой системе координат для 4-мерного пространства имеет две противоположные вершины с координатами [0, 0, 0, 0] и [1, 1, 1, 1] и другие вершины с координатами во всех возможных комбинациях 0 и 1. Это декартово произведение замкнутого единичного интервала [0, 1] по каждой оси.

Иногда центр единичного тессеракта находится в начале координат, так что его координаты более симметричны. Это декартово произведение замкнутого интервала по каждой оси.${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}$

Другой удобный тессеракт — это декартово произведение замкнутого интервала [−1, 1] по каждой оси с вершинами в координатах (±1, ±1, ±1, ±1) . Этот тессеракт имеет длину стороны 2 и гиперобъем 2 ⁴ = 16 .

Развертка многогранника называется сетью . Существует 261 различная сеть тессеракта. ^[5] Развертки тессеракта можно подсчитать, сопоставив сети с парными деревьями ( дерево вместе с совершенным паросочетанием в его дополнении ).

Построение гиперкубов можно представить следующим образом:

• Одномерное: две точки A и B можно соединить в линию, получив новый отрезок AB.
• Двумерное пространство: два параллельных отрезка AB и CD, разделенные расстоянием AB, можно соединить так, чтобы получился квадрат, углы которого обозначены как ABCD.
• 3-мерное пространство: два параллельных квадрата ABCD и EFGH, разделенные расстоянием AB, можно соединить так, чтобы получился куб, углы которого обозначены как ABCDEFGH.
• 4-мерный: Два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP, разделенные расстоянием AB, можно соединить, чтобы получить тессеракт, с углами, обозначенными как ABCDEFGHIJKLMNOP. Однако такое параллельное расположение двух кубов, при котором их 8 соответствующих пар вершин разделены расстоянием AB, можно осуществить только в пространстве с 4 или более измерениями.

Восемь ячеек тессеракта можно рассматривать (тремя различными способами) как два взаимосвязанных кольца из четырех кубов. ^[6]

Тессеракт можно разложить на меньшие 4-многогранники. Это выпуклая оболочка соединения двух демитессерактов ( 16-ячеек ). Его также можно триангулировать на 4-мерные симплексы ( неправильные 5-ячеечные ), которые делят свои вершины с тессерактом. Известно, что существуют92 487 256 таких триангуляций ^[7] и что наименьшее количество 4-мерных симплексов в любой из них равно 16. ^[8]

Разбиение тессеракта на экземпляры его характерного симплекса (частная ортосхема с диаграммой Кокстера) является наиболее простой прямой конструкцией тессеракта из возможных. Характерная 5-ячейка 4-куба является фундаментальной областью определяющей группы симметрии тессеракта , группы, которая генерирует _{многогранники} B4 . Характерный симплекс тессеракта напрямую генерирует тессеракт посредством действий группы, отражаясь в своих собственных ограничивающих гранях (своих зеркальных стенках ).

Радиус гиперсферы , описанной около правильного многогранника, — это расстояние от центра многогранника до одной из вершин, а для тессеракта этот радиус равен длине его ребра; диаметр сферы, длина диагонали между противоположными вершинами тессеракта, в два раза больше длины ребра. Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный тессеракт и 24-ячейник , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . В частности, тессеракт — единственный гиперкуб (кроме нульмерной точки), который является радиально равносторонним . Самая длинная диагональ от вершины к вершине -мерного гиперкуба с единичной длиной ребра равна , что для квадрата равно , для куба равно , и только для тессеракта равно длин ребер.${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n{\vphantom {t}}}},}$${\displaystyle {\sqrt {2}},}$${\displaystyle {\sqrt {3}},}$${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

Осецентричный тессеракт, вписанный в 3-сферу единичного радиуса, имеет вершины с координатами${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

Для тессеракта с длиной стороны s :

• Гиперобъем (4D):${\displaystyle H=s^{4}}$
• Поверхность «объема» (3D):${\displaystyle SV=8s^{3}}$
• Диагональ лица :${\displaystyle d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s}$
• Диагональ ячейки :${\displaystyle d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s}$
• Диагональ из 4 клеток:${\displaystyle d_{\mathrm {4} }=2с}$

Эта матрица конфигурации представляет тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько каждого элемента встречается во всем тессеракте. Диагональ сводится к f-вектору (16,32,24,8).

Недиагональные числа говорят о том, сколько элементов столбца встречаются в элементе строки или рядом с ним. ^[9] Например, 2 в первом столбце второй строки указывает на то, что в каждом ребре (т. е. на его крайних точках) имеется 2 вершины; 4 во втором столбце первой строки указывает на то, что в каждой вершине сходятся 4 ребра.

Нижний ряд определяет грани, здесь кубы, имеют f-вектор (8,12,6). Следующий ряд слева от диагонали - элементы хребта (грань куба), здесь квадрат, (4,4).

Верхняя строка — f-вектор вершинной фигуры , здесь тетраэдры, (4,6,4). Следующая строка — вершинная фигура хребта, здесь треугольник, (3,3).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Тессеракты можно проецировать в трехмерное и двумерное пространство, аналогично проецированию куба в двумерное пространство.

Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство по ячейкам имеет кубическую оболочку. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на куб, а оставшиеся шесть ячеек проецируются на шесть квадратных граней куба.

Параллельная проекция тессеракта гранью вперед в трехмерное пространство имеет кубоидальную оболочку. Две пары ячеек проецируются на верхнюю и нижнюю половины этой оболочки, а четыре оставшиеся ячейки проецируются на боковые грани.

Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство по ребру имеет оболочку в форме шестиугольной призмы . Шесть ячеек проецируются на ромбические призмы, которые располагаются в шестиугольной призме аналогично тому, как грани трехмерного куба проецируются на шесть ромбов в шестиугольной оболочке при проекции по вершине. Две оставшиеся ячейки проецируются на основания призмы.

Вершинно -первая параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство имеет ромбическую додекаэдрическую оболочку. Две вершины тессеракта проецируются в начало координат. Существует ровно два способа разбиения ромбического додекаэдра на четыре конгруэнтных ромбоэдра , что дает в общей сложности восемь возможных ромбоэдров, каждый из которых является проецируемым кубом тессеракта. Эта проекция также имеет максимальный объем. Один набор векторов проекции: u = (1,1,−1,−1) , v = (−1,1,−1,1) , w = (1,−1,−1,1) .

Ортографические проекции

самолет Коксетера	Б 4	Б 4 --> А 3	А 3
График
Диэдральная симметрия	[8]	[4]	[4]
самолет Коксетера	Другой	Б 3 / Д 4 / А 2	Б 2 / Д 3
График
Диэдральная симметрия	[2]	[6]	[4]

3D-проекция тессеракта, выполняющего простое вращение вокруг плоскости в 4-мерном пространстве. Плоскость делит фигуру пополам спереди слева направо и сверху вниз.

Трёхмерная проекция тессеракта, совершающего двойной поворот вокруг двух ортогональных плоскостей в четырёхмерном пространстве.

Перспектива с устранением скрытого объема . Красный угол является ближайшим в 4D и имеет 4 кубические ячейки, встречающиеся вокруг него.

Тетраэдр образует выпуклую оболочку вершинно-центрированной центральной проекции тессеракта. Показаны четыре из 8 кубических ячеек. 16-я вершина проецируется в бесконечность , а четыре ее ребра не показаны.

Стереографическая проекция (Ребра проецируются на 3-сферу )

Стереоскопическая 3D-проекция тессеракта (параллельный вид)

Стереоскопический 3D обезоруженный гиперкуб

Тессеракт, как и все гиперкубы , замощает евклидово пространство . Самодвойственные тессерактические соты, состоящие из 4 тессерактов вокруг каждой грани, имеют символ Шлефли {4,3,3,4} . Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол 90°. ^[10]

Радиальная равносторонняя симметрия тессеракта делает его мозаику уникальной правильной объемно-центрированной кубической решеткой из сфер одинакового размера в любом количестве измерений.

Тессеракт является 4-м в ряду гиперкубов :

Ортографические проекции полигонов Петри

Сегмент линии	Квадрат	Куб	4-кубовый	5-кубовый	6-кубовый	7-кубовый	8-кубовый	9-кубовый	10-кубовый

Тессеракт (8-ячейковый) является третьим в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников (в порядке размера и сложности).

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники
Группа симметрии	А 4	Б 4		Ф 4	Н 4
Имя	5-ти ячеечный Гипертетраэдр 5 - точечный	16-ячеечный Гипероктаэдр 8- конечный	8-ячеечный Гиперкуб 16 -точечный	24-ячеечный 24-очковый	600-ячеечный Гиперикосаэдр 120 -точечный	120-ячеечный Гипердодекаэдр 600 - точечный
Символ Шлефли	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Зеркала Коксетера
Зеркальные двугранные углы	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
График
Вершины	5 тетраэдрический	8 октаэдрический	16 тетраэдрический	24 кубических	120 икосаэдрический	600 тетраэдрический
Края	10 треугольных	24 квадрата	32 треугольных	96 треугольный	720 пятиугольный	1200 треугольный
Лица	10 треугольников	32 треугольника	24 квадрата	96 треугольников	1200 треугольников	720 пятиугольников
Клетки	5 тетраэдров	16 тетраэдров	8 кубиков	24 октаэдра	600 тетраэдров	120 додекаэдров
Тори	1 5-тетраэдр	2 8-тетраэдр	2 4-кубовый	4 6-октаэдр	20 30-тетраэдр	12 10-додекаэдр
Надписанный	120 в 120-ячеечной	675 в 120-ячеечной	2 16-ти ячеечные	3 8-ячеечные	25 24-ячеечный	10 600-ячеек
Большие полигоны		2 квадрата х 3	4 прямоугольника х 4	4 шестиугольника x 4	12 декагонов x 6	100 неправильных шестиугольников x 4
Петри полигоны	1 пятиугольник x 2	1 восьмиугольник x 3	2 восьмиугольника x 4	2 двенадцатиугольника x 4	4 30-угольника x 6	20 30-угольников x 4
Длинный радиус	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Длина кромки	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0,618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0,270}$
Короткий радиус	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0,707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$
Область	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\приблизительно 10,825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\приблизительно 27,713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\приблизительно 41,569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\приблизительно 198,48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\приблизительно 90,366}$
Объем	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-Контент	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

Как однородная дуопризма , тессеракт существует в последовательности однородных дуопризм : { p }×{4}.

Правильный тессеракт, наряду с 16-ячейкой , существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с той же симметрией . Тессеракт {4,3,3} существует в последовательности правильных 4-многогранников и сот , { p ,3,3} с тетраэдрическими вершинными фигурами , {3,3}. Тессеракт также находится в последовательности правильных 4-многогранников и сот , {4,3, p } с кубическими ячейками .

Ортогональный	Перспектива
4 {4} 2 , с 16 вершинами и 8 4-ребрами, причем 8 4-ребра показаны здесь как 4 красных и 4 синих квадрата

Правильный комплексный многогранник ₄ {4} ₂ ,, имеет вещественное представление в виде тессеракта или 4-4 дуопризмы в 4-мерном пространстве. ₄ {4} ₂ имеет 16 вершин и 8 4-ребер. Его симметрия — ₄ [4] ₂ , порядок 32. Он также имеет конструкцию с более низкой симметрией,${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, или ₄ {}× ₄ {}, с симметрией ₄ [2] ₄ , порядок 16. Это симметрия, если красные и синие 4-ребра считать различными. ^[11]

С момента своего открытия четырехмерные гиперкубы стали популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Известные примеры включают:

• « И он построил кривой домишко », научно-фантастический рассказ Роберта Хайнлайна 1940 года, в котором описывается здание в форме четырехмерного гиперкуба. ^[12] Этот рассказ и рассказ Мартина Гарднера «Профессор без границ», опубликованный в 1946 году, являются одними из первых в научной фантастике, знакомящих читателей с лентой Мёбиуса , бутылкой Клейна и гиперкубом (тессерактом).
• Распятие (Corpus Hypercubus) , картина маслом Сальвадора Дали 1954 года, изображающая четырехмерный гиперкуб, развернутый в трехмерный латинский крест . ^[13]
• Большая арка — памятник и здание недалеко от Парижа, Франция, строительство которого было завершено в 1989 году. По словам инженера памятника Эрика Рейтцеля , Большая арка была спроектирована так, чтобы напоминать проекцию гиперкуба. ^[14]
• Fez , видеоигра, в которой игрок играет за персонажа, который может видеть за пределами двух измерений, которые видят другие персонажи, и должен использовать эту способность для решения платформенных головоломок. В игре есть «Dot», тессеракт, который помогает игроку ориентироваться в мире и рассказывает, как использовать способности, что соответствует теме видения за пределами человеческого восприятия известного размерного пространства. ^[15]

Слово тессеракт использовалось во многих других целях в популярной культуре, в том числе в качестве сюжетного приема в произведениях научной фантастики, часто с небольшой или нулевой связью с четырехмерным гиперкубом; см. Тессеракт (значения) .

• Математика и искусство

• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер. С.  122–123 .
• Ф. Артур Шерк, Питер МакМаллен, Энтони К. Томпсон, Азия Айвик Вайс (1995) Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , Wiley-Interscience Publication ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM (1970), «Скрученные соты», Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
• Джон Х. Конвей , Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 ) 
• Т. Госсет (1900) О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан.
• Холл, Т. Проктор (1893). «Проекция четырехкратных фигур на трехмерную плоскость». American Journal of Mathematics . 15 (2): 179– 189. doi :10.2307/2369565. JSTOR  2369565.
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии (1966)
• Виктор Шлегель (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionen Körper , Варен.

• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) x4o3o3o - tes».
• Домашняя страница Кена Перлина Способ визуализации гиперкубов, Кен Перлин
• Некоторые заметки о четвертом измерении включают анимированные руководства по нескольким различным аспектам тессеракта, написанные Давиде П. Червоне.
• Анимация Тессеракта с устранением скрытого объема

Ортографические проекции полигонов Петри

Сегмент линии	Квадрат	Куб	4-кубовый	5-кубовый	6-кубовый	7-кубовый	8-кубовый	9-кубовый	10-кубовый