12 равномерно темперированный

12-равномерная темперация ( 12-ET ) ^[a] — музыкальная система, которая делит октаву на 12 частей, все из которых одинаково темперированы (равнорасположены) по логарифмической шкале , с отношением, равным 12-му корню из 2 ( ¹² √ 2 ≈ 1,05946). Этот полученный наименьший интервал, 1 ⁄ 12 ширины октавы, называется полутоном или полутоном.

Двенадцатитоновая равномерная темперация — самая распространенная система в музыке сегодня. Она была преобладающей системой настройки западной музыки, начиная с классической музыки , с 18-го века, и Европа почти исключительно использовала ее приближения на протяжении тысячелетий до этого. ^{[ необходима цитата ]} Она также использовалась в других культурах.

В наше время 12-ET обычно настраивается относительно стандартной высоты тона 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота, A , настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как некоторое кратное полутонов от нее, либо выше, либо ниже по частоте . Стандартная высота тона не всегда была 440 Гц. Она менялась и, как правило, повышалась за последние несколько сотен лет. ^[1]

Двумя фигурами, которым часто приписывают достижение точного расчета двенадцатитоновой равномерной темперации, являются Чжу Цзайюй (также романизированный как Чу-Цайюй. Китайский:朱載堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Фрица А. Каттнера, критика теории, ^[2] известно, что «Чу-Цайюй представил высокоточный, простой и гениальный метод арифметического расчета моноаккордов равномерной темперации в 1584 году» и что «Симон Стевин предложил математическое определение равномерной темперации плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 году или позже». Разработки происходили независимо. ^[3]

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равномерной темперации Чжу Цзайюю ^[4] и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. ^[5] Чжу Цзайюй цитируется, говоря, что в тексте, датируемом 1584 годом, «Я основал новую систему. Я устанавливаю одну стопу как число, из которого должны быть извлечены другие, и, используя пропорции, я извлекаю их. В общей сложности нужно найти точные цифры для волынщиков за двенадцать операций». ^[5] Каттнер не соглашается и замечает, что его утверждение «не может считаться правильным без серьезных оговорок». ^[2] Каттнер предполагает, что ни Чжу Цзайюй, ни Саймон Стевин не достигли равномерной темперации и что ни один из них не должен считаться изобретателем. ^[3]

Полный набор бронзовых колокольчиков, среди множества музыкальных инструментов, найденных в гробнице маркиза И из Цзэна (начало Сражающихся царств, ок .  V в. до н. э. в китайском бронзовом веке), охватывает пять полных октав из 7 нот в тональности до мажор, включая 12 полутонов в середине диапазона. ^[6]

Приближение для равномерной темперации было описано Хэ Чэнтянем  [zh] , математиком Южной и Северной династий, который жил с 370 по 447 год. ^[7] Он вывел самую раннюю зафиксированную приблизительную числовую последовательность в отношении равномерной темперации в истории: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450. ^[8]

Чжу Цзайюй (朱載堉), принц двора Мин , провел тридцать лет за исследованиями, основанными на идее равномерной темперации, первоначально постулированной его отцом. Он описал свою новую теорию высоты тона в своем труде Fusion of Music and Calendar 律暦融通, опубликованном в 1580 году. За этим последовала публикация подробного отчета о новой теории равномерной темперации с точной числовой спецификацией для 12-ET в его 5000-страничном труде Complete Compendium of Music and Pitch ( Yuelü quan shu 樂律全書) в 1584 году. ^[9] Расширенный отчет также дает Джозеф Нидхэм. ^[5] Чжу получил свой результат математически, последовательно разделив длину струны и трубы на ¹² √ 2 ≈ 1,059463, а длину трубы на ²⁴ √ 2 , ^[10] таким образом, что после двенадцати делений (октава) длина делилась на коэффициент 2:

$${\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}$$

Аналогично, после 84 делений (7 октав) длина делилась в 128 раз:

$${\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}$$

Чжу Цзайюй считается первым человеком, решившим задачу равномерной темперации математически. ^[11] По крайней мере один исследователь предположил, что Маттео Риччи , иезуит в Китае, записал эту работу в своем личном журнале ^{[11] [12]} и, возможно, передал ее обратно в Европу. (Стандартные ресурсы по теме не упоминают о какой-либо такой передаче. ^[13] ) В 1620 году на работу Чжу ссылался европейский математик. ^{[ кто? ] [12]} Мюррей Барбур сказал: «Первое известное появление в печати правильных цифр для равномерной темперации было в Китае, где блестящее решение принца Цайюй остается загадкой». ^[14] Немецкий физик 19-го века Герман фон Гельмгольц писал в своей книге «Ощущения тона» , что китайский принц (см. ниже) ввел гамму из семи нот, и что разделение октавы на двенадцать полутонов было открыто в Китае. ^[15]

Чжу Цзайюй проиллюстрировал свою теорию равномерной темперации, построив набор из 36 бамбуковых настроечных трубок, расположенных в 3 октавах, с инструкциями о типе бамбука, цвете краски и подробной спецификацией их длины, внутреннего и внешнего диаметров. Он также сконструировал 12-струнный настроечный инструмент с набором настроечных трубок, спрятанных внутри его нижней полости. В 1890 году Виктор-Шарль Махиллон , куратор музея консерватории в Брюсселе, сделал копию набора тоновых трубок в соответствии со спецификацией Чжу Цзайюй. Он сказал, что китайская теория тонов знала больше о длине тоновых трубок, чем ее западный аналог, и что набор трубок, сделанный в соответствии с данными Цзайюй, доказал точность этой теории.

Одно из самых ранних обсуждений равномерной темперации встречается в трудах Аристоксена, датируемых IV в. до н. э. ^{[16] .}

Винченцо Галилей (отец Галилео Галилея ) был одним из первых практических сторонников двенадцатитоновой равномерной темперации. Он составил набор танцевальных сюит на каждой из 12 нот хроматической гаммы во всех «транспозиционных тональностях», а также опубликовал в своем « Фронимо » 1584 года 24 + 1 ричеркара . ^[17] Он использовал соотношение 18:17 для ладов лютни (хотя для чистых октав требовалась некоторая корректировка). ^[18]

Соотечественник Галилея и коллега- лютнист Джакомо Горзанис писал музыку, основанную на равномерной темперации, к 1567 году. ^[19] Горзанис был не единственным лютнистом, исследовавшим все лады и тональности: Франческо Спиначино написал «Recercare de tutti li Toni» ( Ричеркар во всех тонах) еще в 1507 году. ^[20] В XVII веке лютнист и композитор Джон Уилсон написал цикл из 30 прелюдий, включая 24 во всех мажорных/минорных тональностях. ^{[21] [22]} Генрикус Грамматеус в 1518 году приблизился к равномерной темперации. Первые правила настройки в равномерной темперации были даны Джовани Марией Ланфранко в его «Scintille de musica». ^[23] Царлино в своей полемике с Галилеем изначально выступал против равномерной темперации, но в конечном итоге уступил ей в отношении лютни в своих «Музыкальных сочинениях» в 1588 году.

Первое упоминание о равномерной темперации, связанной с корнем двенадцатой степени из двух на Западе, появилось в рукописи Саймона Стевина Van De Spiegheling der singconst (ок. 1605 г.), опубликованной посмертно почти три столетия спустя, в 1884 г. ^[24] Однако из-за недостаточной точности его расчетов многие из полученных им чисел длин аккордов отличались на одну или две единицы от правильных значений. ^[13] В результате частотные соотношения аккордов Саймона Стевина не имеют единого соотношения, а только одно соотношение на тон, что Джин Чо считает неверным. ^[25]

Ниже приведены длины аккордов Саймона Стевина из Van de Spiegheling der singconst : ^[26]

Поколение спустя французский математик Марен Мерсенн представил несколько длин равнотемперированных аккордов, полученных Жаном Бограном, Исмаэлем Буйо и Жаном Галле. ^[27]

В 1630 году Иоганн Фаульхабер опубликовал таблицу монохорда в 100 центов, которая содержала несколько ошибок из-за использования им логарифмических таблиц. Он не объяснил, как он получил свои результаты. ^[28]

С 1450 по 1800 год исполнители на щипковых инструментах (лютнисты и гитаристы) в целом отдавали предпочтение равномерной темперации ^[29] , а лютневая рукопись Броссара, составленная в последней четверти XVII века, содержит серию из 18 прелюдий, приписываемых Боке , написанных во всех тональностях, включая последнюю прелюдию под названием Prélude sur tous les tons , которая энгармонически модулируется во всех тональностях. ^{[30] [ необходимо разъяснение ]} Анджело Микеле Бартолотти опубликовал серию пассакалий во всех тональностях с соединительными энгармонически модулирующими пассажами. Среди композиторов клавира XVII века Джироламо Фрескобальди выступал за равномерную темперацию. Некоторые теоретики, такие как Джузеппе Тартини , выступали против принятия равномерной темперации; они считали, что снижение чистоты каждого аккорда снижает эстетическую привлекательность музыки, хотя Андреас Веркмейстер решительно выступал за равномерную темперацию в своем трактате 1707 года, опубликованном посмертно. ^[31]

Двенадцатитоновая равномерная темперация закрепилась по ряду причин. Она была удобной для существующей конструкции клавиатуры и допускала полную гармоническую свободу с бременем умеренной примеси в каждом интервале, особенно несовершенных консонансов. Это позволяло большую выразительность посредством энгармонической модуляции , которая стала чрезвычайно важной в 18 веке в музыке таких композиторов, как Франческо Джеминиани , Вильгельм Фридеман Бах , Карл Филипп Эммануил Бах и Иоганн Готфрид Мютель . ^{[ необходима цитата ]} Двенадцатитоновая равномерная темперация имела некоторые недостатки, такие как несовершенные терции, но когда Европа перешла на равномерную темперацию, она изменила музыку, которую писала, чтобы приспособиться к системе и минимизировать диссонанс. ^[b]

Развитие равномерной темперации с середины XVIII века подробно описано в ряде современных научных публикаций: она уже была предпочтительной темперацией в эпоху классицизма (вторая половина XVIII века), ^{[ нужна ссылка ]} и стала стандартом в эпоху раннего романтизма (первое десятилетие XIX века), ^{[ нужна ссылка ]} за исключением органов, которые перешли на нее более постепенно, завершив переход только во втором десятилетии XIX века. (В Англии некоторые соборные органисты и хормейстеры выступали против нее даже после этой даты; например, Сэмюэл Себастьян Уэсли выступал против нее все время. Он умер в 1876 году.) ^{[ нужна ссылка ]}

Точная равномерная темперация возможна с использованием метода Саббатини 17-го века, разделяющего октаву сначала на три темперированные мажорные терции. ^[32] Это также предлагалось несколькими авторами в классическую эпоху. Настройка без темпов биений, но с использованием нескольких проверок, достигающих практически современной точности, уже была сделана в первые десятилетия 19-го века. ^[33] Использование темпов биений, впервые предложенное в 1749 году, стало обычным после их распространения Гельмгольцем и Эллисом во второй половине 19-го века. ^[34] Максимальная точность была доступна с 2-десятичными таблицами, опубликованными Уайтом в 1917 году. ^[35]

Именно в среде равномерной темперации развивались и процветали новые стили симметричной тональности и политональности , атональная музыка, например, написанная с использованием двенадцатитоновой техники или сериализма , а также джаз (по крайней мере, его фортепианный компонент).

В двенадцатитоновой равномерной темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т. е. отношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна двенадцатому корню из двух :

$${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\approx 1,059463}$$

Этот интервал делится на 100 центов .

Чтобы найти частоту P _n ноты в 12-ET, можно использовать следующее определение:

$${\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}}$$

В этой формуле P _n относится к высоте тона или частоте (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. P _a относится к частоте опорной высоты тона. n и a относятся к числам, назначенным желаемой высоте тона и опорной высоте тона соответственно. Эти два числа берутся из списка последовательных целых чисел, назначенных последовательным полутонам. Например, A ₄ (опорная высота тона) является 49-й клавишей с левого конца фортепиано (настроенной на 440 Гц ), а C ₄ ( средняя C ) и F# ₄ являются 40-й и 46-й клавишами соответственно. Эти числа можно использовать для нахождения частоты C ₄ и F# ₄ :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\approx 261.626\ \mathrm {Hz} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\approx 369.994\ \mathrm {Hz} \end{alignedat}}}$$

Интервалы 12-ET очень близки к некоторым интервалам только по интонации . ^[37]

12 ET очень точен в пределе 3, но по мере увеличения пределов prime до 11 он постепенно ухудшается примерно на одну шестую полутона каждый раз. Его одиннадцатая и тринадцатая гармоники крайне неточны. Семнадцатая и девятнадцатая гармоники 12 ET почти так же точны, как и его третья гармоника, но к этому моменту предел prime стал слишком высоким, чтобы звучать консонансно для большинства людей. ^{[ необходима цитата ]}

12 ET имеет очень хорошее приближение к чистой квинте ( ⁠ 3 /2⁠ ) ​​и ее обращение , чистая кварта ( ⁠ 4 /3⁠ ), особенно для деления октавы на относительно небольшое количество тонов. В частности, чистая квинта всего на одну пятьдесят первую полутона выше, чем равномерно темперированное приближение. Поскольку мажорный тон ( ⁠ 9 /8⁠ ) ​​— это просто две полные квинты минус октава, а ее обращение — пифагорейская малая септима ( ⁠ 16 /9⁠ ), это просто две полные четверти, объединенные вместе, они, по большей части, сохраняют точность своих предшественников; ошибка удваивается, но она остается небольшой — настолько небольшой, что люди не могут ее заметить. Можно продолжать использовать дроби с более высокими степенями трех, следующие две — ⁠ 27 /16⁠ и ⁠ 32 /27⁠ , но по мере того, как члены дробей становятся больше, они становятся менее приятными для слуха. ^{[ необходима цитата ]}

12 Приближение ET пятой гармоники ( ⁠ 5 /4⁠ ) ​​примерно на одну седьмую полутона ниже. Поскольку интервалы, которые ниже четверти шкалы, все еще звучат в тональности, другие пятиступенчатые интервалы в 12 ET, такие как ⁠ 5 /3⁠ и ⁠ 8 /5⁠ , имеют ошибки аналогичного размера. Таким образом, мажорное трезвучие звучит в унисон, поскольку его частотное соотношение составляет приблизительно 4:5:6, далее, в сочетании с его первым обращением и двумя субоктавными тониками, оно составляет 1:2:3:4:5:6, все шесть самых низких натуральных гармоник басового тона. ^{[ необходима цитата ]}

12 Приближение ET к седьмой гармонике ( ⁠ 7 /4⁠ ) ​​составляет около одной трети полутона. Поскольку ошибка больше четверти полутона, интервалы семи пределов в 12 ET имеют тенденцию звучать нестройно. В тритоновых дробях ⁠ 7 /5⁠ и ⁠ 10 /7⁠ , ошибки пятой и седьмой гармоник частично компенсируют друг друга, так что справедливые дроби находятся в пределах четверти полутона от их равнотемперированных эквивалентов. ^{[ необходима цитата ]}

Одиннадцатая гармоника ( ⁠ 11 /8⁠ ), в 551,32 цента, попадает почти точно посередине между двумя ближайшими одинаково темперированными интервалами в 12 ET и, следовательно, не аппроксимируется ни одним из них. Фактически, ⁠ 11 /8⁠ почти так же далека от любого равномерно темперированного приближения, как это возможно в 12 ET. Тринадцатая гармоника ( ⁠ 13 /8⁠ ), на две пятых полутона выше малой сексты, почти так же неточно. Хотя это означает, что дробь ⁠ 13 /11⁠ а также его инверсия ( ⁠ 22 /13⁠ ) ​​точно аппроксимируются (в частности, тремя полутонами), поскольку ошибки одиннадцатой и тринадцатой гармоник в основном компенсируются, большинство людей, не знакомых с четвертями тонов или микротональностью, не будут знакомы с одиннадцатой и тринадцатой гармониками. Аналогично, хотя ошибка одиннадцатой или тринадцатой гармоники может быть в основном компенсирована ошибкой седьмой гармоники, большинство западных музыкантов не сочтут полученные дроби консонантными, поскольку 12 ET не аппроксимирует их точно. ^{[ необходима цитата ]}

Семнадцатая гармоника ( ⁠ 17 /16⁠ ) ​​всего на 5 центов выше, чем один полутон в 12 ET. Его можно объединить с приближением 12 ET третьей гармоники, чтобы получить ⁠ 17 /12⁠ , что является следующим приближением Пелля после ⁠ 7 /5⁠ , всего в трех центах от равномерно темперированного тритона (квадратный корень из двух), и ⁠ 17 /9⁠ , что всего на один цент от большой септаккорды 12 ET. Девятнадцатая гармоника всего на 2,5 цента ниже, чем три полутона 12 ET, поэтому ее можно также объединить с третьей гармоникой, чтобы получить ⁠ 19 /12⁠ , что примерно на 4,5 цента ниже, чем равномерно темперированная малая секста, и ⁠ 19 /18⁠ , что примерно на 6,5 центов ниже полутона. Однако, поскольку 17 и 19 довольно велики для соотношений согласных, и большинство людей не знакомы с интервалами предела 17 и предела 19, интервалы предела 17 и предела 19 бесполезны для большинства целей, поэтому их, вероятно, нельзя считать играющими роль в каких-либо консонансах 12 ET. ^{[ необходима цитата ]}

В следующей таблице размеры различных точных интервалов сравниваются с их равнотемперированными аналогами, указанными как отношение, так и в центах . Различия менее шести центов большинство людей не замечают, а интервалы, составляющие более четверти тона; что в данном случае составляет 25 центов, звучат фальшиво. ^{[ необходима цитата ]}

12-ET смягчает несколько запятых , что означает, что есть несколько дробей, близких к ⁠ 1 /1⁠ которые рассматриваются как ⁠ 1 /1⁠ по 12-ET из-за его отображения различных дробей в один и тот же равномерно темперированный интервал. Например, ⁠729/512⁠ ( ⁠ 3 ⁶ /2 ⁹⁠ ) ​​и ⁠ 1024 /729⁠ ( ⁠ 2 ¹⁰ /3 ⁶⁠ ) ​​каждый отображается на тритон, поэтому они рассматриваются как номинально один и тот же интервал; следовательно, их частное, ⁠531441/ 524288 ⁠ ( ⁠ 3 ¹² /2 ¹⁹⁠ ) ​​отображается/обрабатывается как унисон. Это пифагорейская запятая , и это единственная запятая с тремя пределами в 12-ET. Однако по мере увеличения предела простого числа и включения большего количества интервалов количество запятых увеличивается. Самая важная запятая с пятью пределами в 12-ET — это ⁠81/ 80 ⁠ ( ⁠3 ⁴/ 2 ⁴ × 5 ¹ ⁠ ), которая известна как синтоническая запятая и является множителем между пифагорейскими терциями и секстами и их точным аналогом. Другие запятые 12-ET с пределом 5 включают в себя:

• Раскол : ⁠32805/ 32768 ⁠ = ⁠ 3 ⁸ × 5 ¹ /2 ¹⁵⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ^​​1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ^​​−1
• Диасхизма : ⁠2048/ 2025 ⁠ = ⁠2 ¹¹/ 3 ⁴ × 5 ² ⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ^​​−1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ^​​2
• Малый диезис : ⁠128/ 125 ⁠ = ⁠ 2 ⁷ /5 ³⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ^​​−1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ^​​3
• Большая диеза : ⁠648/ 625 ⁠ = ⁠ 2 ³ × 3 ⁴ /5 ⁴⁠ =( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ^​​−1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ^​​4

Одной из 7-предельных запятых, которую смягчает 12-ET, является семеричная клеизма , которая равна ⁠225/ 224 ⁠ , или ⁠ 3 ² ×5 ² /2 ⁵ ×7 ¹⁠ . Другие запятые с ограничением в 7 в 12-ET включают:

• Септимальная запятая : ⁠126/ 125 ⁠ = ⁠ 2 ¹ × 3 ² × 7 ¹ /5 ³⁠ = ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ^​​1 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) ^​​−1
• Запятая Архита : ⁠64/ 63 ⁠ = ⁠2 ⁶/ 3 ² × 7 ¹ ⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ^​​−1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ^​​2 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) ^​​1
• Септимальная четверть тона : ⁠36/ 35 ⁠ = ⁠ 2 ² × 3 ² /5 ¹ ×v7 ¹⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ^​​−1 × ( ⁠81/80⁠ ) ^​​3 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) ^​​1
• Юбилизм : ⁠50/ 49 ⁠ = ⁠ 2 ¹ × 5 ² /7 ²⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ^​​−1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ^​​2 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) ^​​2

Исторически использовались несколько систем настройки, которые можно рассматривать как небольшие вариации 12-TEDO, с двенадцатью нотами на октаву, но с некоторыми вариациями между размерами интервалов, так что ноты не совсем равномерно распределены. Одним из примеров этого является трехпредельная гамма, в которой равномерно темперированные чистые квинты в 700 центов заменяются на чисто интонированные чистые квинты в 701,955 центов. Поскольку два интервала отличаются менее чем на 2 цента, или 1 ⁄ 600 октавы, эти две гаммы очень похожи. Фактически, китайцы разработали 3-предельную чистую интонацию по крайней мере за столетие до того, как Хэ Чэнтянь создал последовательность 12-TEDO. ^[38] Аналогично, пифагорейская настройка, разработанная древними греками, была преобладающей системой в Европе до эпохи Возрождения, когда европейцы поняли, что диссонирующие интервалы, такие как 81 ⁄ 64 ^[39], можно сделать более консонирующими, темперируя их до более простых соотношений, таких как 5 ⁄ 4 , в результате чего в Европе была разработана серия темпераций meanone , которые немного изменяли размеры интервалов, но все еще могли рассматриваться как приближенные к 12-TEDO. Из-за тенденции темпераций meanone концентрировать ошибку на одной энгармонической чистой квинте, делая ее очень диссонирующей , европейские теоретики музыки, такие как Андреас Веркмейстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти и Томас Янг, создали различные темперации well с целью разделения комм, чтобы уменьшить диссонанс наиболее затронутых интервалов. Веркмейстер и Кирнбергер были недовольны своим первым темпераментом и поэтому создали множественные темпераменты, причем последние темпераменты были ближе к равномерному темпераменту, чем первые. Аналогично, Европа в целом постепенно перешла от meanone и well темпераций к 12-TEDO, системе, которую она использует и по сей день.

В то время как некоторые типы музыки, такие как сериализм , используют все двенадцать нот 12-TEDO, большинство музыки использует только ноты из определенного подмножества 12-TEDO, известного как гамма. Существует много различных типов гамм.

Самый популярный тип гаммы в 12-TEDO — meanone. Meantone относится к любой гамме, в которой все ее ноты последовательны на квинтовом круге. Существуют гаммы meanone разных размеров, и некоторые используемые гаммы meanone включают meanone из пяти нот , meanone из семи нот и meanone из девяти нот . Meantone присутствует в конструкции западных инструментов. Например, клавиши пианино и его предшественников структурированы таким образом, что белые клавиши образуют гамму meanone из семи нот, а черные клавиши образуют гамму meanone из пяти нот. Другой пример — гитары и другие струнные инструменты, имеющие не менее пяти струн, обычно настраиваются так, что их открытые струны образуют гамму meanone из пяти нот.

Другие гаммы, используемые в 12-TEDO, включают восходящую мелодическую минорную гамму , гармоническую минорную гамму , гармоническую мажорную гамму , уменьшенную гамму и гармоническую гамму .

• Равномерный темперамент
• Только интонация
• Музыкальная акустика (физика музыки)
• Музыка и математика
• Микротональная музыка
• Список средних интервалов
• Диатонические и хроматические
• Электронный тюнер
• Музыкальная настройка

• Вики Xenharmonic об EDO и равных темпераментах
• Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
• А.Орландини: Музыкальная акустика
• «Темперамент» из Дополнения к энциклопедии мистера Чемберса (1753)
• Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг. Архивировано 15 февраля 2009 г. в Wayback Machine . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
• Фрактальная микротональная музыка, Джим Кукула .
• Все существующие цитаты XVIII века о И.С. Бахе и темпераменте
• Доминик Экерсли: «Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха»
• Ну, темпераменты, основанные на определении Веркмейстера
• ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЕ МОЩНОСТИ ШКАЛ ПЕТЕРА БУЧА