Гипотеза Зильбера–Пинка
Математическая догадка

В математике гипотеза Зильбера–Пинка является далеко идущим обобщением многих известных диофантовых гипотез и утверждений, таких как гипотезы Андре–Оорта , Манина–Мамфорда и Морделла–Лэнга . Для алгебраических торов и полуабелевых многообразий она была предложена Борисом Зильбером [1] и независимо Энрико Бомбьери , Дэвидом Массером , Умберто Дзанньером [2] в начале 2000-х годов. Для полуабелевых многообразий гипотеза влечет гипотезы Морделла–Лэнга и Манина–Мамфорда. Ричард Пинк предложил (опять же независимо) более общую гипотезу для многообразий Шимуры , которая также влечет гипотезу Андре–Оорта. [3] В случае алгебраических торов Зильбер назвал ее гипотезой о пересечении с торами (CIT) . Общая версия теперь известна как гипотеза Зильбера–Пинка. Она грубо утверждает, что нетипичные или маловероятные пересечения алгебраического многообразия с некоторыми специальными многообразиями объясняются конечным числом специальных многообразий.

Заявление

Нетипичные и маловероятные перекрестки

Пересечение двух алгебраических многообразий называется нетипичным , если его размерность больше ожидаемой. Точнее, если три многообразия , компонент пересечения называется нетипичным в , если . Поскольку ожидаемая размерность равна , нетипичные пересечения являются «нетипично большими» и не ожидаются. Когда , многообразия и не ожидаются для пересечения вообще, поэтому, когда они это делают, пересечение называется маловероятным . Например, если в трехмерном пространстве пересекаются две прямые, то это маловероятное пересечение, поскольку две случайно выбранные прямые почти никогда не пересекутся. Х , И ⊆ У {\displaystyle X,Y\subseteq U} З {\displaystyle Z} Х ∩ И {\displaystyle X\cap Y} У {\displaystyle U} тусклый ⁡ З > тусклый ⁡ Х + тусклый ⁡ И − тусклый ⁡ У {\displaystyle \dim Z>\dim X+\dim Y-\dim U} Х ∩ И {\displaystyle X\cap Y} тусклый ⁡ Х + тусклый ⁡ И − тусклый ⁡ У {\displaystyle \dim X+\dim Y-\dim U} тусклый ⁡ Х + тусклый ⁡ И − тусклый ⁡ У < 0 {\displaystyle \dim X+\dim Y-\dim U<0} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y}

Специальные сорта

Специальные многообразия многообразия Шимуры — это некоторые арифметически определенные подмногообразия. Они являются более многомерными версиями специальных точек . Например, в полуабелевых многообразиях специальные точки являются точками кручения, а специальные многообразия являются трансляциями неприводимых алгебраических подгрупп точками кручения. В модулярной постановке специальные точки являются сингулярными модулями , а специальные многообразия являются неприводимыми компонентами многообразий, определяемых модулярными уравнениями .

Для смешанного многообразия Шимуры и подмногообразия нетипичное подмногообразие является нетипичным компонентом пересечения , где — особое подмногообразие. Х {\displaystyle X} В ⊆ Х {\displaystyle V\subseteq X} В {\displaystyle V} В ∩ Т {\displaystyle V\cap T} Т ⊆ Х {\displaystyle T\subseteq X}

Гипотеза Зильбера–Пинка

Пусть будет смешанным многообразием Шимуры или полуабелевым многообразием, определенным над , и пусть будет подмногообразием. Тогда содержит только конечное число максимальных нетипичных подмногообразий. [4] Х {\displaystyle X} С {\displaystyle \mathbb {C} } В ⊆ Х {\displaystyle V\subseteq X} В {\displaystyle V}

Абелевы и модулярные версии гипотезы Зильбера–Пинка являются частными случаями гипотезы для многообразий Шимуры, тогда как в общем случае полуабелев случай не является таковым. Однако специальные подмногообразия полуабелевых многообразий и многообразий Шимуры имеют много общих формальных свойств, что делает одну и ту же формулировку справедливой в обоих случаях.

Частичные результаты и особые случаи

Хотя гипотеза Зильбера–Пинка остается широко открытой, было доказано множество ее частных случаев и слабых версий.

Если многообразие содержит специальное многообразие , то по определению является нетипичным подмногообразием . Следовательно, гипотеза Зильбера–Пинка подразумевает, что содержит только конечное число максимальных специальных подмногообразий. Это гипотеза Манина–Мамфорда в полуабелевой постановке и гипотеза Андре–Оорта в постановке Шимуры. Обе теперь являются теоремами; первая известна уже несколько десятилетий, [5] тогда как вторая была доказана в полной общности только недавно. [6] В ⊆ Х {\displaystyle V\subseteq X} Т {\displaystyle Т} Т {\displaystyle Т} В {\displaystyle V} В {\displaystyle V}

Многие частичные результаты были доказаны на основе гипотезы Зильбера–Пинка. [7] [8] [9] Примером в модулярной постановке является результат, что любое многообразие содержит только конечное число максимальных сильно атипичных подмногообразий, где сильно атипичное подмногообразие является атипичным подмногообразием без постоянной координаты. [10] [11]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Зильбер, Борис (2002), «Уравнения экспоненциальных сумм и гипотеза Шануэля», J. London Math. Soc. , 65 (2): 27–44, doi :10.1112/S0024610701002861.
  2. ^ Бомбьери, Энрико; Массер, Дэвид; Занниер, Умберто (2007), Аномальные подмногообразия — структурные теоремы и приложения , Международные уведомления по математическим исследованиям, т. 2007.
  3. ^ Пинк, Ричард (2005). «Комбинация гипотез Морделла–Лэнга и Андре–Оорта». Геометрические методы в алгебре и теории чисел . Прогресс в математике. Т. 235. С. 251–282. CiteSeerX 10.1.1.499.3023 . doi :10.1007/0-8176-4417-2_11. ISBN  0-8176-4349-4.
  4. ^ Хабеггер, Филипп; Пила, Джонатан (2016), o-минимальность и некоторые нетипичные пересечения , Ann. Sci. Éc. Norm. Supér, т. 49, стр. 813–858.
  5. ^ Raynaud, Michel (1983). "Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion". В Artin, Michael ; Tate, John (ред.). Арифметика и геометрия. Статьи, посвященные И. Р. Шафаревичу по случаю его шестидесятилетия. Том I: Арифметика . Progress in Mathematics (на французском языке). Том 35. Birkhäuser-Boston. С. 327–352. MR  0717600. Zbl  0581.14031.
  6. ^ Пила, Джонатан; Шанкар, Анант; Цимерман, Якоб; Эсно, Элен; Грохениг, Михаэль (17.09.2021). «Канонические высоты многообразий Шимуры и гипотеза Андре-Оорта». arXiv : 2109.08788 [math.NT].
  7. ^ Хабеггер, Филипп; Пила, Джонатан (2012), Некоторые маловероятные пересечения за пределами Андре-Оорта , Compositio Math., т. 148, стр. 1–27.
  8. ^ Доу, Кристофер; Орр, Мартин (2021), Маловероятные пересечения с кривыми CM в , Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), т. 22, стр. 1705–1745 Э × {\displaystyle E\times} А 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}} .
  9. ^ Доу, Кристофер; Орр, Мартин (2022), Количественная теория редукции и маловероятные пересечения , IMRN, т. 2022, стр. 16138–16195.
  10. ^ Пила, Джонатан; Цимерман, Джейкоб (2016), «Акс-Шануэль для j-функции», Duke Math. J. , 165 (13): 2587–2605, arXiv : 1412.8255 , doi : 10.1215/00127094-3620005, S2CID  118973278
  11. ^ Асланян, Ваагн (2021), "Слабое модульное уравнение Зильбера–Пинка с производными", Math. Ann. , arXiv : 1803.05895 , doi : 10.1007/s00208-021-02213-7, S2CID  119654268

Дальнейшее чтение

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Зильбер–Розовый_предположение&oldid=1249468186"