Классическая модульная кривая

В теории чисел классическая модулярная кривая — это неприводимая плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением

Φn ( x , y ) = 0 _,

такая, что ( x , y ) = ( j ( nτ ), j ( τ )) — точка на кривой. Здесь j ( τ ) обозначает j -инвариант .

Кривую иногда называют X ₀ ( n ) , хотя часто это обозначение используется для абстрактной алгебраической кривой , для которой существуют различные модели. Связанный объект — классический модульный многочлен , многочлен от одной переменной, определяемый как Φ _n ( x , x ) .

Важно отметить, что классические модулярные кривые являются частью более обширной теории модулярных кривых . В частности , она имеет другое выражение как компактифицированный фактор комплексной верхней полуплоскости H.

Классическая модулярная кривая, которую мы будем называть X ₀ ( n ) , имеет степень, большую или равную 2 n , когда n > 1 , с равенством тогда и только тогда, когда n является простым числом. Многочлен Φ _n имеет целые коэффициенты и, следовательно, определен над каждым полем. Однако коэффициенты достаточно велики, поэтому вычислительная работа с кривой может быть затруднена. Как многочлен от x с коэффициентами в Z [ y ] , он имеет степень ψ ( n ) , где ψ — пси-функция Дедекинда . Поскольку Φ _n ( x , y ) = Φ _n ( y , x ) , X ₀ ( n ) симметричен относительно прямой y = x и имеет особые точки в повторных корнях классического модульного многочлена, где он пересекает себя в комплексной плоскости. Это не единственные сингулярности, и в частности, когда n > 2 , существуют две сингулярности на бесконечности, где x = 0, y = ∞ и x = ∞, y = 0 , которые имеют только одну ветвь и, следовательно, имеют инвариант узла, который является истинным узлом, а не просто зацеплением.

Для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18 или 25 X ₀ ( n ) имеет род ноль, и, следовательно , может быть параметризован [1] рациональными функциями. Простейшим нетривиальным примером является X ₀ (2) , где:

${\displaystyle j_{2}(q)=q^{-1}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots =\left({\frac {\eta (q)}{\eta (q^{2})}}\right)^{24}}$

есть (с точностью до постоянного члена) ряд Маккея–Томпсона для класса 2B Монстра , а η есть эта-функция Дедекинда , тогда

${\displaystyle x={\frac {(j_{2}+256)^{3}}{j_{2}^{2}}},}$

${\displaystyle y={\frac {(j_{2}+16)^{3}}{j_{2}}}}$

параметризует X ₀ (2) в терминах рациональных функций j ₂ . Для использования этой параметризации не обязательно вычислять j ₂ ; ее можно взять как произвольный параметр.

Кривая C над Q называется модулярной кривой, если для некоторого n существует сюръективный морфизм φ  : X ₀ ( n ) → C , заданный рациональным отображением с целыми коэффициентами. Знаменитая теорема о модулярности гласит, что все эллиптические кривые над Q являются модулярными.

Отображения также возникают в связи с X ₀ ( n ) , поскольку точки на нем соответствуют некоторым n -изогенным парам эллиптических кривых. Изогения между двумя эллиптическими кривыми является нетривиальным морфизмом многообразий (определяемым рациональным отображением) между кривыми, который также соблюдает групповые законы и, следовательно, переводит точку на бесконечности (служащую тождеством группового закона) в точку на бесконечности. Такое отображение всегда сюръективно и имеет конечное ядро, порядок которого является степенью изогении . Точки на X ₀ ( n ) соответствуют парам эллиптических кривых, допускающим изогению степени n с циклическим ядром.

Когда X ₀ ( n ) имеет род один, он сам будет изоморфен эллиптической кривой, которая будет иметь тот же j -инвариант .

Например, X ₀ (11) имеет j -инвариант −2 ¹² 11 ⁻⁵ 31 ³ и изоморфна кривой y ² + y = x ³ − x ² − 10 x − 20 . Если мы подставим это значение j вместо y в X ₀ (5) , мы получим два рациональных корня и множитель степени четыре. Два рациональных корня соответствуют классам изоморфизма кривых с рациональными коэффициентами, которые 5-изогенны вышеуказанной кривой, но не изоморфны ей, имея другое поле функций. В частности, у нас есть шесть рациональных точек: x=-122023936/161051, y=-4096/11, x=-122023936/161051, y=-52893159101157376/11 и x=-4096/11, y=-52893159101157376/11, а также три точки, меняющие местами _x и y , все на X0 (5) , соответствующие шести изогениям между этими тремя кривыми.

Если в кривой y ² + y = x ³ − x ² − 10 x − 20 , изоморфной X ₀ (11), подставим

${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{5}-2x^{4}+3x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}}}}$

${\displaystyle y\mapsto y-{\frac {(2y+1)(x^{4}+x^{3}-3x^{2}+3x-1)}{x^{3}(x-1)^{3}}}}$

и фактор, мы получаем внешний множитель рациональной функции x , и кривую y2 + y = x3 − x2 , с j -инвариантом −2 ¹² 11 ^{−1 . Следовательно} _, обе кривые являются модулярными уровня 11 , имеющими отображения ^из X0 ^{( 11} ) .

По теореме Анри Карайоля, если эллиптическая кривая E является модулярной, то ее кондуктор , инвариант изогении, первоначально описанный в терминах когомологий , является наименьшим целым числом n, таким, что существует рациональное отображение φ  : X ₀ ( n ) → E. Поскольку теперь мы знаем, что все эллиптические кривые над Q являются модулярными, мы также знаем, что кондуктор — это просто уровень n ее минимальной модульной параметризации.

Теория Галуа модулярной кривой была исследована Эрихом Гекке . Рассматриваемое как многочлен от x с коэффициентами в Z [ y ] , модулярное уравнение Φ ₀ ( n ) является многочленом степени ψ ( n ) от x , корни которого порождают расширение Галуа Q ( y ) . В случае X ₀ ( p ) с p простым числом, где характеристика поля не равна p , группа Галуа Q ( x , y ) / Q ( y ) есть PGL(2, p ) , проективная общая линейная группа дробно-линейных преобразований проективной прямой поля из p элементов, которая имеет p + 1 точку, степень X ₀ ( p ) .

Это расширение содержит алгебраическое расширение F / Q , где если в обозначениях Гаусса , то:${\displaystyle p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p}$

${\displaystyle F=\mathbf {Q} \left({\sqrt {p^{*}}}\right).}$

Если мы расширим поле констант до F , то теперь у нас будет расширение с группой Галуа PSL(2, p ) , проективной специальной линейной группой поля с p элементами, которая является конечной простой группой. Специализируя y на определенном элементе поля, мы можем, за пределами тонкого множества, получить бесконечное множество примеров полей с группой Галуа PSL(2, p ) над F , и PGL(2, p ) над Q .

Если n не является простым числом, группы Галуа можно проанализировать в терминах множителей n как сплетенного произведения .

• Алгебраические кривые
• J-инвариант
• Модульная кривая
• Модульная функция

• Хекке, Эрих (1935), «Die eindeutige Bestimmung der Modulfunktionen q-ter Stufe durch алгебраише Eigenschaften», Mathematische Annalen , 111 : 293–301, doi : 10.1007/BF01472221, перепечатано в Mathematische Werke , третье издание, Vandenhoeck & Ruprecht, Геттинген, 1983, 568–576.
• Энтони Кнапп, Эллиптические кривые , Принстон, 1992
• Серж Ланг , Эллиптические функции , Эддисон-Уэсли, 1973
• Горо Шимура, Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Принстон, 1972

• Последовательность OEIS A001617 (Род модулярной группы Gamma_0(n). Или род модулярной кривой X_0(n))
• [2] Коэффициенты X ₀ ( n )