Z-функция

В математике функция Z — это функция, используемая для изучения дзета-функции Римана вдоль критической прямой , где аргумент равен половине. Она также называется функцией Z Римана–Зигеля, дзета-функцией Римана–Зигеля, функцией Харди , функцией Харди Z и дзета -функцией Харди . Она может быть определена в терминах тета-функции Римана–Зигеля и дзета-функции Римана следующим образом:

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

Из функционального уравнения дзета-функции Римана следует, что функция Z действительна для действительных значений t . Это четная функция, и действительно аналитическая для действительных значений. Из того факта, что тета-функция Римана-Зигеля и дзета-функция Римана обе голоморфны в критической полосе, где мнимая часть t находится между −1/2 и 1/2, следует, что функция Z также голоморфна в критической полосе. Более того, действительные нули Z ( t ) являются в точности нулями дзета-функции вдоль критической прямой, а комплексные нули в критической полосе функции Z соответствуют нулям вне критической прямой дзета-функции Римана в ее критической полосе.

Расчет значения Z ( t ) для действительного t , а следовательно, и дзета-функции вдоль критической линии, значительно ускоряется формулой Римана-Зигеля . Эта формула говорит нам

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}$

где ошибка R ( t ) имеет сложное асимптотическое выражение в терминах функции

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

и его производные. Если , и тогда${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}$${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }$${\displaystyle p=u^{2}-N}$

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}$

где многоточие указывает на то, что мы можем продолжить к более высоким и сложным терминам.

Известны и другие эффективные ряды для Z(t), в частности, несколько с использованием неполной гамма-функции . Если

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z }^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du}$

то особенно хорошим примером является

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}$

Из теоремы о критической линии следует, что плотность действительных нулей функции Z равна

${\displaystyle {\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}}$

для некоторой константы c > 2/5. Следовательно, число нулей в интервале заданного размера медленно увеличивается. Если гипотеза Римана верна, то все нули в критической полосе являются действительными нулями, а константа c равна единице. Также постулируется, что все эти нули являются простыми нулями.

Из-за нулей функции Z она проявляет колебательное поведение. Она также медленно растет как в среднем, так и в пиковом значении. Например, у нас есть, даже без гипотезы Римана, теорема Омеги, что

${\displaystyle Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),}$

где обозначение означает, что деленное на функцию внутри Ω не стремится к нулю с ростом  t .${\displaystyle Z(т)}$

Средний рост функции Z также был хорошо изучен. Мы можем найти среднеквадратичное значение (сокращенно RMS) из

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

или

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

которые говорят нам, что среднеквадратичный размер Z ( t ) растет как .${\displaystyle {\sqrt {\log t}}}$

Эту оценку можно улучшить до

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})}$

Если мы увеличим показатель степени, то получим среднее значение, которое больше зависит от пиковых значений  Z. Для четвертых степеней имеем

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}}$

из чего можно сделать вывод, что четвертый корень средней четвертой степени растет как${\displaystyle {\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t.}$

Более высокие четные степени были хорошо изучены, но меньше известно о соответствующем среднем значении. Предполагается, и это следует из гипотезы Римана, что

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\varepsilon })}$

для любого положительного ε. Здесь маленькая буква "o" означает, что левая часть, деленная на правую, сходится к нулю; другими словами, маленькая буква o является отрицанием Ω. Эта гипотеза называется гипотезой Линделёфа и слабее гипотезы Римана. Обычно она формулируется в важной эквивалентной форме, которая есть

${\displaystyle Z(t)=o(t^{\varepsilon});}$

в любой форме это говорит нам, что скорость роста пиковых значений не может быть слишком высокой. Наиболее известная граница этой скорости роста не является сильной, что говорит нам, что любая из них подходит. Было бы удивительно обнаружить, что функция Z росла где-то близко к такой же скорости. Литтлвуд доказал, что на гипотезе Римана,${\displaystyle \epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0,156}$

${\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),}$

и это кажется гораздо более вероятным.

• Эдвардс, Х. М. (1974). Дзета-функция Римана . Чистая и прикладная математика. Т. 58. Нью-Йорк-Лондон: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Збл  0315.10035.
• Ивич, Александр (2013). Теория Z -функции Харди . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 196. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-02883-8. Збл  1269.11075.
• Paris, RB; Kaminski, D. (2001). Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 85. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79001-8. Збл  0983.41019.
• Рамачандра, К. (февраль 1996 г.). Лекции по среднему значению и омега-теоремам для дзета-функции Римана . Лекции по математике и физике. Математика. Институт фундаментальных исследований Тата. Том 85. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58437-4. Збл  0845.11003.
• Титчмарш, EC (1986) [1951]. Хит-Браун, DR (ред.). Теория дзета-функции Римана (второе пересмотренное издание). Oxford University Press .

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Римана – Зигеля». Математический мир .
• Wolfram Research – Функция Римана-Зигеля Z (включает построение графика функции и ее оценку)