Гипотезы дзета-функции Харди–Литтлвуда

В математике гипотезы Харди–Литтлвуда о дзета-функции , названные в честь Годфри Гарольда Харди и Джона Эдензора Литтлвуда , представляют собой две гипотезы, касающиеся расстояний между нулями и плотности нулей дзета-функции Римана .

Догадки

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал [1] , что дзета-функция Римана имеет бесконечно много действительных нулей. ζ ( 1 2 + я т ) {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

Пусть – общее число действительных нулей, – общее число нулей нечетного порядка функции , лежащих на интервале . Н ( Т ) {\displaystyle N(T)} Н 0 ( Т ) {\displaystyle N_{0}(Т)} ζ ( 1 2 + я т ) {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} ( 0 , Т ] {\displaystyle (0,T]}

Харди и Литтлвуд выдвинули [2] две гипотезы. Эти гипотезы — о расстоянии между действительными нулями и о плотности нулей на интервалах для достаточно большого , и при возможно меньшем значении , где — произвольно малое число — открывают два новых направления в исследовании дзета-функции Римана. ζ ( 1 2 + я т ) {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} ζ ( 1 2 + я т ) {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} ( Т , Т + ЧАС ] {\displaystyle (Т,Т+Н]} Т > 0 {\displaystyle Т>0} ЧАС = Т а + ε {\displaystyle H=T^{a+\varepsilon}} а > 0 {\displaystyle а>0} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}

1. Для любого существует такое , что при и интервал содержит нуль нечетного порядка функции . ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} Т 0 = Т 0 ( ε ) > 0 {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} Т ≥ Т 0 {\displaystyle T\geq T_{0}} ЧАС = Т 0,25 + ε {\displaystyle H=T^{0,25+\varepsilon }} ( Т , Т + ЧАС ] {\displaystyle (Т,Т+Н]} ζ ( 1 2 + я т ) {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

2. Для любого существуют и , такие, что для и неравенство справедливо. ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} Т 0 = Т 0 ( ε ) > 0 {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} с = с ( ε ) > 0 {\displaystyle c=c(\varepsilon)>0} Т ≥ Т 0 {\displaystyle T\geq T_{0}} ЧАС = Т 0,5 + ε {\displaystyle H=T^{0,5+\varepsilon }} Н 0 ( Т + ЧАС ) − Н 0 ( Т ) ≥ с ЧАС {\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}

Статус

В 1942 году Атле Сельберг изучил задачу 2 и доказал, что для любого существуют такие и , что для и неравенство верно. ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} Т 0 = Т 0 ( ε ) > 0 {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} с = с ( ε ) > 0 {\displaystyle c=c(\varepsilon)>0} Т ≥ Т 0 {\displaystyle T\geq T_{0}} ЧАС = Т 0,5 + ε {\displaystyle H=T^{0,5+\varepsilon }} Н ( Т + ЧАС ) − Н ( Т ) ≥ с ЧАС бревно ⁡ Т {\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}

В свою очередь Сельберг высказал свою гипотезу [3] о возможности уменьшения значения показателя степени , что было доказано спустя 42 года А.А. Карацубой . [4] а = 0,5 {\displaystyle а=0,5} ЧАС = Т 0,5 + ε {\displaystyle H=T^{0,5+\varepsilon }}

Ссылки

  1. ^ Харди, GH (1914). «Сюр ле нули де ла функция ». Компет. Ренд. акад. Наука . 158 : 1012–1014 . ζ ( с ) {\displaystyle \дзета (с)}
  2. ^ Харди, GH; Литтлвуд, JE (1921). «Нули дзета-функции Римана на критической прямой». Math. Z . 10 ( 3– 4): 283– 317. doi :10.1007/bf01211614. S2CID  126338046.
  3. ^ Сельберг, А. (1942). «О нулях дзета-функции Римана». ШР. Норске Вид. Акад. Осло . 10 : 1–59 .
  4. ^ Карацуба, А.А. (1984). «О нулях функции ζ(s) на коротких интервалах критической прямой». Изв. АН СССР, Сер. Матем . 48 (3): 569–584 .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Предположения_о_дзета-функции_Харди–Литтлвуда&oldid=1229600719"