Тета-функция Римана–Зигеля

В математике тета-функция Римана –Зигеля определяется через гамма-функцию как

${\displaystyle \theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t}$

для действительных значений  t . Здесь аргумент выбирается таким образом, чтобы получалась и сохранялась непрерывная функция, т. е. таким же образом, как определяется главная ветвь функции логарифма -гаммы .${\displaystyle \тета (0)=0}$

Имеет асимптотическое расширение

${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots }$

который не сходится, но первые несколько членов которого дают хорошее приближение для . Его ряд Тейлора в 0, который сходится для , равен${\displaystyle т\гг 1}$${\displaystyle |т|<1/2}$

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

где обозначает полигамма-функцию порядка . Тета-функция Римана–Зигеля представляет интерес при изучении дзета-функции Римана , поскольку она может вращать дзета-функцию Римана таким образом, что она становится полностью вещественнозначной Z-функцией на критической прямой .${\displaystyle \psi^{(2k)}}$${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle s=1/2+it}$

Тета-функция Римана–Зигеля является нечетной вещественной аналитической функцией для вещественных значений с тремя корнями при и . Она является возрастающей функцией для и имеет локальные экстремумы при , со значением . Она имеет единственную точку перегиба при , которая является минимумом ее производной.${\displaystyle т}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pm 17.8455995405\ldots }$${\displaystyle |т|>6,29}$${\displaystyle \pm 6.289835988\ldots }$${\displaystyle \mp 3.530972829\ldots }$${\displaystyle т=0}$${\displaystyle \theta ^{\prime }(0)=-{\frac {\ln \pi +\gamma +\pi /2+3\ln 2}{2}}=-2.6860917\ldots }$

У нас есть выражение бесконечного ряда для логарифмической гамма- функции

${\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)=-\gamma z-\log z+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\log \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right),}$

где γ — постоянная Эйлера . Подставляя z и почленно беря мнимую часть, получаем следующий ряд для θ ( t )${\displaystyle (2it+1)/4}$

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {\gamma +\log \pi }{2}}t-\arctan 2t+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {t}{2n}}-\arctan \left({\frac {2t}{4n+1}}\right)\right).}$

Для значений с мнимой частью между −1 и 1 функция арктангенса голоморфна , и легко видеть, что ряд сходится равномерно на компактных множествах в области с мнимой частью между −1/2 и 1/2, что приводит к голоморфной функции в этой области. Из этого следует, что функция Z также голоморфна в этой области, которая является критической полосой.

Мы можем использовать идентификационные данные

${\displaystyle \arg z={\frac {\log z-\log {\bar {z}}}{2i}}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})}$

чтобы получить выражение в замкнутой форме

${\displaystyle \theta (t)={\frac {\log \Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)-\log \Gamma \left({\frac {-2it+1}{4}}\right)}{2i}}-{\frac {\log \pi }{2}}t=-{\frac {i}{2}}\left(\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\ln(\pi )t}{2}}}$

что расширяет наше исходное определение до голоморфной функции t . Поскольку главная ветвь log Γ имеет единственный разрез вдоль отрицательной действительной оси, θ ( t ) в этом определении наследует разрезы вдоль мнимой оси выше i /2 и ниже − i /2.

Тета-функция Римана–Зигеля в комплексной плоскости

${\displaystyle -1<\Re (t)<1}$	${\displaystyle -5<\Re (t)<5}$	${\displaystyle -40<\Re (t)<40}$

Дзета-функцию Римана на критической прямой можно записать

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=e^{-i\theta (t)}Z(t),}$

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

Если — действительное число , то функция Z возвращает действительные значения.${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Z(t)}$

Следовательно, дзета-функция на критической прямой будет действительной либо в нуле, что соответствует , либо при . Положительные действительные значения, где имеет место последний случай, называются точками Грама , в честь Дж. П. Грама , и, конечно, могут быть также описаны как точки, где — целое число.${\displaystyle Z(t)=0}$${\displaystyle \sin \left(\,\theta (t)\,\right)=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\frac {\theta (t)}{\pi }}}$

Точка Грамма — это раствор${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle \theta (g_{n})=n\pi .}$

Эти решения аппроксимируются последовательностью:

${\displaystyle g'_{n}={\frac {2\pi \left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)}{W\left({\frac {1}{e}}\left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)\right)}},}$

где — функция Ламберта W.${\displaystyle W}$

Вот наименьшие неотрицательные баллы Грамма

${\displaystyle n}$	${\displaystyle g_{n}}$	${\displaystyle \theta (g_{n})}$
−3	0	0
−2	3.4362182261...	− π
−1	9.6669080561...	− π
0	17.8455995405...	0
1	23.1702827012...	π
2	27.6701822178...	2π​
3	31.7179799547...	3π​
4	35.4671842971...	4π​
5	38.9992099640...	5π​
6	42.3635503920...	6π​
7	45.5930289815...	7π​
8	48.7107766217...	8π​
9	51.7338428133...	9π​
10	54.6752374468...	10π​
11	57.5451651795...	11π​
12	60.3518119691...	12π​
13	63.1018679824...	13π​
14	65.8008876380...	14π​
15	68.4535449175...	15π​

Выбор индекса n немного груб. Он исторически выбирается таким образом, что индекс равен 0 при первом значении, которое больше наименьшего положительного нуля (при мнимой части 14,13472515 ...) дзета-функции Римана на критической прямой. Обратите внимание, что эта -функция колеблется для абсолютно малых действительных аргументов и, следовательно, не является однозначно обратимой в интервале [−24,24]. Таким образом, нечетная тета-функция имеет свою симметричную точку Грама со значением 0 при индексе −3. Точки Грама полезны при вычислении нулей . В точке Грама${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Z\left(t\right)}$${\displaystyle g_{n},}$

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+ig_{n}\right)=\cos(\theta (g_{n}))Z(g_{n})=(-1)^{n}Z(g_{n}),}$

и если он положителен в двух последовательных точках Грама, то должен иметь ноль в интервале.${\displaystyle Z\left(t\right)}$

Согласно закону Грама , действительная часть обычно положительна , а мнимая часть чередуется с точками Грама, между положительными и отрицательными значениями через довольно регулярные интервалы.

${\displaystyle (-1)^{n}Z(g_{n})>0}$

Число корней, , в полосе от 0 до T , можно найти по формуле${\displaystyle N(T)}$

${\displaystyle N(T)={\frac {\theta (T)}{\pi }}+1+S(T),}$

где — ошибка, которая асимптотически растет как .${\displaystyle S(T)}$${\displaystyle \log T}$

Только если бы соблюдался закон Грама , то нахождение числа корней в полосе становится просто${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle N(g_{n})=n+1.}$

Сегодня мы знаем, что в долгосрочной перспективе закон Грама не выполняется для примерно 1/4 всех интервалов Грама, содержащих ровно 1 ноль дзета-функции Римана. Грам боялся, что он может не выполняться для больших индексов (первый промах происходит в индексе 126 перед 127-м нулем) и поэтому утверждал это только для не слишком больших индексов. Позже Хатчинсон придумал фразу закон Грама для (ложного) утверждения, что все нули на критической прямой будут разделены точками Грама.

• Z-функция

• Эдвардс, Х. М. (1974), Дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, МР  0466039
• Габке, В. (1979), Neue Herleitung und Explizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel . Диссертация, Геттингенский университет . Пересмотренная версия (eDiss Göttingen, 2015 г.)
• Грам, JP (1903), «Примечание о нулях функции ζ(s) Римана», Acta Mathematica , 27 (1): 289–304 , doi : 10.1007/BF02421310

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Римана-Зигеля». Математический мир .
• Wolfram Research – Тета-функция Римана-Зигеля (включает построение графика функции и ее оценку)