Формула Римана–Зигеля

В математике формула Римана–Зигеля — асимптотическая формула для погрешности приближенного функционального уравнения дзета- функции Римана , аппроксимации дзета-функции суммой двух конечных рядов Дирихле . Она была найдена Зигелем (1932) в неопубликованных рукописях Бернхарда Римана, датируемых 1850-ми годами. Зигель вывел ее из интегральной формулы Римана–Зигеля , выражения для дзета-функции, включающего контурные интегралы . Она часто используется для вычисления значений формулы Римана–Зигеля, иногда в сочетании с алгоритмом Одлыжко–Шёнхаге , который значительно ускоряет ее. При использовании вдоль критической линии часто бывает полезно использовать ее в форме, в которой она становится формулой для функции Z.

Если M и N — неотрицательные целые числа, то дзета-функция равна

ζ ( с ) = ∑ н = 1 Н 1 н с + γ ( 1 − с ) ∑ н = 1 М 1 н 1 − с + Р ( с ) {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}

где

γ ( с ) = π 1 2 − с Г ( с 2 ) Г ( 1 2 ( 1 − с ) ) {\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}

— фактор, появляющийся в функциональном уравнении ζ ( s ) = γ (1 −  s ) ζ (1 −  s ) , и

Р ( с ) = − Г ( 1 − с ) 2 π я ∫ ( − х ) с − 1 е − Н х е х − 1 г х {\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx}

является контурным интегралом, контур которого начинается и заканчивается на +∞ и охватывает сингулярности с абсолютным значением не более 2 πM . Приближенное функциональное уравнение дает оценку размера погрешности. Siegel (1932) [1] и Edwards (1974) выводят формулу Римана–Зигеля из этого, применяя метод наискорейшего спуска к этому интегралу, чтобы получить асимптотическое разложение для погрешности R ( s ) в виде ряда отрицательных степеней Im( s ). В приложениях s обычно находится на критической прямой, а положительные целые числа M и N выбираются примерно равными (2 π Im( s )) 1/2 . Gabcke (1979) нашел хорошие оценки погрешности формулы Римана–Зигеля.

Интегральная формула Римана

Риман показал, что

∫ 0 ↘ 1 е − я π ты 2 + 2 π я п ты е π я ты − е − π я ты г ты = е я π п 2 − е я π п е я π п − е − я π п {\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}\,du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\ пи п}}}}

где контур интегрирования представляет собой линию наклона −1, проходящую между 0 и 1 (Эдвардс 1974, 7.9).

Он использовал это, чтобы вывести следующую интегральную формулу для дзета-функции:

π − с 2 Г ( с 2 ) ζ ( с ) = π − с 2 Г ( с 2 ) ∫ 0 ↙ 1 х − с е π я х 2 е π я х − е − π я х г х + π − 1 − с 2 Г ( 1 − с 2 ) ∫ 0 ↘ 1 х с − 1 е − π я х 2 е π я х − е − π я х г х {\displaystyle \пи ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Гамма \left({\tfrac {s}{2}}\right)\дзета (с)=\пи ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Гамма \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\пи ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Гамма \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\пи ix}}}\,dx}

Ссылки

  1. ^ Баркан, Эрик; Склар, Дэвид (2018). «О римановом Nachlass для аналитической теории чисел: перевод Uber Сигеля». arXiv : 1810.05198 [math.HO].
  • Берри, Майкл В. (1995), «Разложение Римана–Зигеля для дзета-функции: высокие порядки и остатки», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: Математические, физические и инженерные науки , 450 (1939): 439–462, doi :10.1098/rspa.1995.0093, ISSN  0962-8444, MR  1349513, Zbl  0842.11030
  • Эдвардс, Х. М. (1974), Дзета-функция Римана , Чистая и прикладная математика, т. 58, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, ЗБЛ  0315.10035
  • Габке, Вольфганг (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel (на немецком языке), Georg-August-Universität Göttingen, hdl : 11858/00-1735-0000-0022-6013-8, Zbl  0499.10040
  • Паттерсон, С.Дж. (1988), Введение в теорию дзета-функции Римана , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 14, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-33535-3, ЗБЛ  0641.10029
  • Сигел, CL (1932), «Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie», Quellen Studien zur Geschichte der Math. Астрон. И физ. ок. Б: Студент 2 : 45–80, JFM  58.1037.07, Zbl  0004.10501Перепечатано в Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Берлин: Шпрингер-Верлаг , 1966.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Формула_Римана–Зигеля&oldid=1197485797"