Классическая модель XY

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Вводный раздел этой статьи может оказаться слишком коротким, чтобы адекватно изложить основные положения .Пожалуйста, рассмотрите возможность расширения лида, чтобы предоставить доступный обзор всех важных аспектов статьи. ( Январь 2023 ) В этой статье не представлен достаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом .Пожалуйста, помогите улучшить статью, предоставив читателю больше контекста . ( Январь 2023 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Классическая модель XY (иногда также называемая классической моделью ротора ( ротатора ) или моделью O(2) ) — это решеточная модель статистической механики . В общем случае модель XY можно рассматривать как специализацию n- векторной модели Стэнли ^[1] для n = 2 .

Для D -мерной решетки Λ на каждый узел решетки j ∈ Λ приходится двумерный вектор единичной длины s _j = (cos θ _j , sin θ _j )

Конфигурация спина s = ( s _j ) _{j ∈ Λ} представляет собой задание угла − π < θ _j ≤ π для каждого j ∈ Λ .

При наличии трансляционно-инвариантного взаимодействия J _ij = J ( i − j ) и внешнего поля, зависящего от точки , энергия конфигурации равна${\displaystyle \mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)}$

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}}$

Случай, в котором J _ij = 0, за исключением ближайшего соседа ij, называется случаем ближайшего соседа .

Вероятность конфигурации определяется распределением Больцмана с обратной температурой β ≥ 0 :

${\displaystyle P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

где Z — нормализация или функция распределения . ^[2] Обозначение указывает на математическое ожидание случайной величины A ( s ) в пределе бесконечного объема после наложения периодических граничных условий .${\displaystyle \langle A(\mathbf {s} )\rangle }$

• Существование термодинамического предела для свободной энергии и спиновых корреляций было доказано Жинибрем , распространившим на этот случай неравенство Гриффитса . ^[3]
• Используя неравенство Гриффитса в формулировке Жинибра, Айзенман и Саймон [ ^4] доказали, что двухточечная спиновая корреляция ферромагнитной модели XY в размерности D , связи J > 0 и обратной температуре β доминируется (т.е. имеет верхнюю границу , заданную) двухточечной корреляцией ферромагнитной модели Изинга в размерности D , связи J > 0 и обратной температуре ⁠ β/2⁠ Следовательно, критическая β модели XY не может быть меньше удвоенной критической температуры модели Изинга.$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$$$${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}}$$

Как и в любой модели n -вектора «ближайшего соседа» со свободными (непериодическими) граничными условиями, если внешнее поле равно нулю, существует простое точное решение. В случае свободных граничных условий гамильтониан равен, следовательно, статистическая сумма факторизуется при изменении координат Это дает , где — модифицированная функция Бесселя первого рода. Статистическая сумма может быть использована для нахождения нескольких важных термодинамических величин. Например, в термодинамическом пределе ( ) свободная энергия на спин равна Используя свойства модифицированных функций Бесселя, удельная теплоемкость (на спин) может быть выражена как ^[5] где , а — корреляционная функция ближнего действия, $${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$$$${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}'+\theta _{j-1}\qquad j\geq 2}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}}$$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle L\to \infty }$$${\displaystyle f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]}$$$${\displaystyle {\frac {c}{k_{\rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right)}$$${\displaystyle K=J/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$$

Даже в термодинамическом пределе нет расхождения в удельной теплоте. Действительно, как и одномерная модель Изинга, одномерная модель XY не имеет фазовых переходов при конечной температуре.

Такое же вычисление для периодического граничного условия (и все еще h = 0 ) требует формализма матрицы переноса , хотя результат тот же. ^[6]

(Нажмите «показать» справа, чтобы увидеть подробности формализма матрицы переноса.)

Статистическую сумму можно оценить как , которую можно рассматривать как след матрицы, а именно произведение матриц (скаляров в данном случае). След матрицы — это просто сумма ее собственных значений, и в термодинамическом пределе выживет только наибольшее собственное значение, поэтому статистическую сумму можно записать как повторное произведение этого максимального собственного значения. Для этого требуется решить задачу на собственные значения Обратите внимание на расширение $${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}}$$${\displaystyle L\to \infty }$$${\displaystyle \oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta )}$$$${\displaystyle \exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )}$$

которая представляет собой диагональное матричное представление в базисе ее собственных функций плоской волны . Собственные значения матрицы просто являются модифицированными функциями Бесселя, оцененными при , а именно . Для любого конкретного значения эти модифицированные функции Бесселя удовлетворяют и . Поэтому в термодинамическом пределе собственное значение будет доминировать над следом, и поэтому .${\displaystyle \psi =\exp(in\theta )}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle \omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots }$${\displaystyle I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}}$

Этот подход матрицы переноса также требуется при использовании свободных граничных условий, но с приложенным полем . Если приложенное поле достаточно мало, чтобы его можно было рассматривать как возмущение системы в нулевом поле, то можно оценить магнитную восприимчивость . Это делается с помощью собственных состояний, вычисленных с помощью подхода матрицы переноса, и вычисления сдвига энергии с помощью теории возмущений второго порядка , а затем сравнения с расширением свободной энергии . Находим ^[7] где — константа Кюри (значение, обычно связанное с восприимчивостью в магнитных материалах). Это выражение также верно для одномерной модели Изинга с заменой .${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \chi \equiv \partial M/\partial h}$${\displaystyle F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$$${\displaystyle \chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }}}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu =\tanh K}$

Двумерная модель XY с взаимодействиями ближайших соседей является примером двумерной системы с непрерывной симметрией, которая не имеет дальнего порядка, как того требует теорема Мермина–Вагнера . Аналогично, не существует обычного фазового перехода , который был бы связан с нарушением симметрии . Однако, как будет обсуждаться позже, система демонстрирует признаки перехода из неупорядоченного высокотемпературного состояния в квазиупорядоченное состояние ниже некоторой критической температуры, называемого переходом Костерлица-Таулесса . В случае дискретной решетки спинов двумерную модель XY можно оценить с помощью подхода матрицы переноса, сводя модель к задаче собственных значений и используя наибольшее собственное значение из матрицы переноса. Хотя точное решение трудноразрешимо, можно использовать определенные приближения, чтобы получить оценки критической температуры, которая возникает при низких температурах. Например, Мэттис (1984 ^[9] ) использовал приближение к этой модели для оценки критической температуры системы как Модель 2D XY также была подробно изучена с использованием моделирования Монте-Карло , например, с помощью алгоритма Метрополиса . Их можно использовать для вычисления термодинамических величин, таких как энергия системы, удельная теплоемкость, намагниченность и т. д., в диапазоне температур и временных шкал. В моделировании Монте-Карло каждый спин связан с непрерывно изменяющимся углом (часто его можно дискретизировать на конечное число углов, как в связанной модели Поттса , для простоты вычислений. Однако это не является обязательным требованием.) На каждом временном шаге алгоритм Метрополиса выбирает один спин случайным образом и вращает его угол на некоторое случайное приращение . Это изменение угла вызывает изменение энергии системы, которое может быть положительным или отрицательным. Если угол отрицательный, алгоритм принимает изменение угла; если положительный, конфигурация принимается с вероятностью , фактор Больцмана для изменения энергии. Метод Монте-Карло использовался для проверки различными методами критической температуры системы и оценивается как ^[10] . Метод Монте-Карло также может вычислять средние значения, которые используются для вычисления термодинамических величин, таких как намагниченность, спин-спиновая корреляция, корреляционные длины и удельная теплоемкость. Это важные способы характеризовать поведение системы вблизи критической температуры. Намагниченность и квадрат намагниченности, например, можно вычислить как ${\displaystyle T_{c}}$$${\displaystyle (2k_{\rm {B}}T_{c}/J)\ln(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)=1}$$$${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.8816}$$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )}$${\displaystyle \Delta E_{i}}$${\displaystyle e^{-\beta \Delta E_{i}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J=0.8935(1)}$

$${\displaystyle {\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}\left|\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle \right|}$$$${\displaystyle {\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$$где — число спинов. Средняя намагниченность характеризует величину чистого магнитного момента системы; во многих магнитных системах он равен нулю выше критической температуры и спонтанно становится ненулевым при низких температурах. Аналогично среднеквадратическая намагниченность характеризует среднее значение квадрата чистых компонентов спинов по решетке. Любой из них обычно используется для характеристики параметра порядка системы. Строгий анализ модели XY показывает, что намагниченность в термодинамическом пределе равна нулю, и что квадратная намагниченность приблизительно следует ^[12] , который исчезает в термодинамическом пределе. Действительно, при высоких температурах эта величина приближается к нулю, поскольку компоненты спинов будут иметь тенденцию быть рандомизированными и, таким образом, в сумме давать ноль. Однако при низких температурах для конечной системы среднеквадратическая намагниченность увеличивается, что предполагает наличие областей спинового пространства, которые выровнены, чтобы вносить ненулевой вклад. Показанное намагничивание (для решетки 25x25) является одним из примеров, который, по-видимому, предполагает фазовый переход, хотя в термодинамическом пределе такого перехода не существует.${\displaystyle N=L\times L}$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }}$

Кроме того, используя статистическую механику, можно связать термодинамические средние величины с такими величинами, как удельная теплота, вычислив Удельная теплота показана при низких температурах вблизи критической температуры . В удельной теплоте нет особенности, соответствующей критическому поведению (например, расхождения) при этой предсказанной температуре. Действительно, оценка критической температуры происходит из других методов, таких как модуль спиральности или температурная зависимость расхождения восприимчивости. ^[13] Однако в удельной теплоте есть особенность в виде пика при . Было показано, что это положение пика и высота не зависят от размера системы для решеток с линейным размером больше 256; действительно, аномалия удельной теплоты остается округлой и конечной при увеличении размера решетки, без расходящегося пика.$${\displaystyle c/k_{\rm {B}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}}$$${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.88}$${\displaystyle 1.167(1)k_{\rm {B}}T/J}$

Природа критических переходов и образования вихрей может быть объяснена путем рассмотрения непрерывной версии модели XY. Здесь дискретные спины заменяются полем, представляющим угол спина в любой точке пространства. В этом случае угол спинов должен плавно изменяться при изменении положения. Разлагая исходный косинус в ряд Тейлора , гамильтониан можно выразить в континуальном приближении как ${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$$${\displaystyle E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}\mathbf {x} }$$

Непрерывная версия модели XY часто используется для моделирования систем, обладающих параметрами порядка с теми же видами симметрии, например, сверхтекучий гелий , гексатические жидкие кристаллы. Это то, что делает их особенными по сравнению с другими фазовыми переходами, которые всегда сопровождаются нарушением симметрии. Топологические дефекты в модели XY приводят к переходу с развязыванием вихрей из низкотемпературной фазы в высокотемпературную неупорядоченную фазу . Действительно, тот факт, что при высоких температурах корреляции затухают экспоненциально быстро, в то время как при низких температурах затухают по степенному закону, хотя в обоих режимах M ( β ) = 0 , называется переходом Костерлица–Таулесса . Костерлиц и Таулесс привели простой аргумент, почему это так: это рассматривает основное состояние, состоящее из всех спинов в одной и той же ориентации, с добавлением затем одного вихря. Наличие этих факторов вносит вклад в энтропию примерно , где — эффективный масштаб длины (например, размер решетки для дискретной решетки). Между тем, энергия системы увеличивается из-за вихря на величину . Объединяя их вместе, свободная энергия системы изменится из-за спонтанного образования вихря на величину В термодинамическом пределе система не способствует образованию вихрей при низких температурах, но способствует им при высоких температурах, выше критической температуры . Это указывает на то, что при низких температурах любые возникающие вихри будут стремиться аннигилировать с антивихрями, чтобы понизить энергию системы. Действительно, это будет иметь место качественно, если наблюдать «снимки» спиновой системы при низких температурах, где вихри и антивихри постепенно объединяются, чтобы аннигилировать. Таким образом, низкотемпературное состояние будет состоять из связанных пар вихрь-антивихрь. Между тем, при высоких температурах будет существовать совокупность несвязанных вихрей и антивихрей, которые могут свободно перемещаться по плоскости.${\displaystyle \Delta S=k_{\rm {B}}\ln(L^{2}/a^{2})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Delta E=\pi J\ln(L/a)}$$${\displaystyle \Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{\rm {B}}T)\ln(L/a)}$$${\displaystyle T_{c}=\pi J/2k_{\rm {B}}}$

Для визуализации модели Изинга можно использовать стрелку, направленную вверх или вниз, или представленную в виде точки, окрашенной в черный/белый цвет, для указания ее состояния. Для визуализации спиновой системы XY спины можно представить в виде стрелки, направленной в определенном направлении, или представленной в виде точки с определенным цветом. Здесь необходимо представить спин спектром цветов, обусловленным каждой из возможных непрерывных переменных. Это можно сделать, например, с помощью непрерывного и периодического красно-зелено-синего спектра. Как показано на рисунке, голубой соответствует нулевому углу (указанному вправо), тогда как красный соответствует углу в 180 градусов (указанному влево). Затем можно изучить снимки конфигураций спинов при разных температурах, чтобы выяснить, что происходит выше и ниже критической температуры модели XY. При высоких температурах спины не будут иметь предпочтительной ориентации, и будет непредсказуемое изменение углов между соседними спинами, поскольку не будет предпочтительной энергетически выгодной конфигурации. В этом случае цветовая карта будет выглядеть сильно пикселизированной. Между тем, при низких температурах возможная конфигурация основного состояния имеет все спины, направленные в одну и ту же ориентацию (под одним и тем же углом); это будет соответствовать областям (доменам) цветовой карты, где все спины имеют примерно одинаковый цвет.

Чтобы идентифицировать вихри (или антивихри), присутствующие в результате перехода Костерлица-Таулесса, можно определить знаковое изменение угла, пройдя по окружности узлов решетки против часовой стрелки. Если общее изменение угла равно нулю, это соответствует отсутствию вихря; тогда как общее изменение угла соответствует вихрю (или антивихрю). Эти вихри являются топологически нетривиальными объектами, которые входят в пары вихрь-антивихрь, которые могут разделяться или аннигилировать попарно. На цветовой карте эти дефекты можно идентифицировать в областях, где есть большой цветовой градиент, где все цвета спектра встречаются вокруг точки. Качественно эти дефекты могут выглядеть как направленные внутрь или наружу источники потока, или водовороты спинов, которые в совокупности вращаются по часовой стрелке или против часовой стрелки, или гиперболически выглядящие особенности с некоторыми спинами, направленными к дефекту, и некоторыми спинами, направленными от него. Поскольку конфигурация изучается в длительных временных масштабах и при низких температурах, наблюдается, что многие из этих пар вихрь-антивихрь сближаются и в конечном итоге пара-аннигилирует. Только при высоких температурах эти вихри и антивихри освобождаются и отвязываются друг от друга.${\displaystyle \pm 2\pi }$

В непрерывной модели XY высокотемпературная спонтанная намагниченность исчезает: Кроме того, кластерное расширение показывает, что спиновые корреляции кластеризуются экспоненциально быстро: например, При низких температурах, т. е. β ≫ 1 , спонтанная намагниченность остается нулевой (см. теорему Мермина–Вагнера ), но затухание корреляций происходит только по степенному закону: Фрелих и Спенсер ^[14] нашли нижнюю границу $${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$$$${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\geq {\frac {C(\beta )}{1+|i-j|^{\eta (\beta )}}}}$

в то время как МакБрайан и Спенсер нашли верхнюю границу для любого${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq {\frac {C(\beta ,\epsilon )}{1+|i-j|^{\eta (\beta ,\epsilon )}}}}$

Независимо от диапазона взаимодействия при достаточно низкой температуре намагниченность положительна.

• При высокой температуре спонтанная намагниченность исчезает: . Кроме того, кластерное расширение показывает, что спиновые корреляции кластеризуются экспоненциально быстро: например .${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$
• При низкой температуре инфракрасная граница показывает, что спонтанная намагниченность строго положительна: . Кроме того, существует однопараметрическое семейство экстремальных состояний, , такое, что , предположительно, в каждом из этих экстремальных состояний усеченные корреляции алгебраически затухают.${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |>0}$${\displaystyle \langle \;\cdot \;\rangle ^{\theta }}$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\rangle ^{\theta }=M(\beta )(\cos \theta ,\sin \theta )}$

Как упоминалось выше, в одномерной модели XY фазовый переход отсутствует, тогда как в двухмерной модели наблюдается переход Березинского-Костерлица-Таулесса между фазами с экспоненциально и степенно затухающими корреляционными функциями.

В трех и более измерениях модель XY имеет фазовый переход ферромагнетик-парамагнетик. При низких температурах спонтанная намагниченность не равна нулю: это ферромагнитная фаза. С ростом температуры спонтанная намагниченность постепенно уменьшается и исчезает при критической температуре. Она остается нулевой при всех более высоких температурах: это парамагнитная фаза.

В четырех и более измерениях фазовый переход имеет критические показатели теории среднего поля (с логарифмическими поправками в четырех измерениях).

Трехмерный случай интересен тем, что критические показатели при фазовом переходе нетривиальны. Многие трехмерные физические системы принадлежат к тому же классу универсальности, что и трехмерная модель XY, и имеют те же критические показатели, в частности, легкоплоскостные магниты и жидкий гелий-4 . Значения этих критических показателей измеряются экспериментально, моделированием Монте-Карло, а также могут быть вычислены теоретическими методами квантовой теории поля, такими как группа перенормировки и конформный бутстрап . Методы группы перенормировки применимы, поскольку считается, что критическая точка модели XY описывается неподвижной точкой группы перенормировки. Методы конформного бутстрапа применимы, поскольку также считается, что это унитарная трехмерная конформная теория поля .

Наиболее важными критическими показателями трехмерной модели XY являются . Все они могут быть выражены всего двумя числами: размерностями масштабирования и комплексного поля параметра порядка и ведущего синглетного оператора (такого же, как в описании Гинзбурга–Ландау ). Другим важным полем является (то же, что и ), размерность которого определяет показатель коррекции масштабирования . Согласно конформному бутстрап-вычислению ^[15] , эти три измерения задаются как: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\nu ,\eta }$${\displaystyle \Delta _{\phi }}$${\displaystyle \Delta _{s}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle |\phi |^{2}}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle |\phi |^{4}}$${\displaystyle \Delta _{s'}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Delta _{\phi }}$	0,519088(22)
${\displaystyle \Delta _{s}}$	1.51136(22)
${\displaystyle \Delta _{s'}}$	3.794(8)

Это дает следующие значения критических показателей:

	общее выражение ( )${\displaystyle d=3}$	числовое значение
α	${\displaystyle 2-d/(d-\Delta _{s})}$	-0,01526(30)
β	${\displaystyle \Delta _{\phi }/(d-\Delta _{s})}$	0,34869(7)
γ	${\displaystyle (d-2\Delta _{\phi })/(d-\Delta _{s})}$	1.3179(2)
δ	${\displaystyle (d-\Delta _{\phi })/\Delta _{\phi }}$	4.77937(25)
η	${\displaystyle 2\Delta _{\phi }-d+2}$	0,038176(44)
ν	${\displaystyle 1/(d-\Delta _{s})}$	0,67175(10)
ω	${\displaystyle \Delta _{s'}-d}$	0,794(8)

Методы Монте-Карло дают совместимые определения: ^[16] .${\displaystyle \eta =0.03810(8),\nu =0.67169(7),\omega =0.789(4)}$

• Классическая модель Гейзенберга
• Кулоновский газ
• Голдстоуновский бозон
• модель Изинга
• Модель Поттса
• n -векторная модель
• Переход Костерлица–Таулесса
• Топологический дефект
• Сверхтекучая пленка
• Сигма-модель
• Модель синуса-Гордона

• Евгений Демидов, Вихри в модели XY (2004)

• Г. Э. Стэнли, Введение в фазовые переходы и критические явления (Издательство Оксфордского университета, Оксфорд и Нью-Йорк, 1971);
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, "SUPERFLOW AND VORTEX LINES", стр. 1–742, Vol. II, "STRESSES AND DEFECTS", стр. 743–1456, World Scientific (Сингапур, 1989); Мягкая обложка ISBN 9971-5-0210-0 (также доступно онлайн: Vol. I и Vol. II) 

• Моделирование WebGL модели XY в реальном времени
• Интерактивное моделирование Монте-Карло моделей Изинга, XY и Гейзенберга с 3D-графикой (требуется браузер, совместимый с WebGL)