Неравенство Гриффитса

В статистической механике неравенство Гриффитса , иногда также называемое неравенством Гриффитса–Келли–Шермана или неравенством GKS , названное в честь Роберта Б. Гриффитса , является корреляционным неравенством для ферромагнитных спиновых систем. Неформально оно гласит, что в ферромагнитных спиновых системах, если «априорное распределение» спина инвариантно относительно переворота спина, корреляция любого монома спинов неотрицательна; и двухточечная корреляция двух мономов спинов неотрицательна.

Неравенство было доказано Гриффитсом для изинговских ферромагнетиков с двухчастичным взаимодействием ^[1] , затем обобщено Келли и Шерманом на взаимодействия с произвольным числом спинов ^[2] , а затем Гриффитсом на системы с произвольными спинами ^[3] . Более общая формулировка была дана Жинибре ^[4] , и теперь она называется неравенством Жинибре .

Пусть будет конфигурацией (непрерывных или дискретных) спинов на решетке Λ . Если A ⊂ Λ — список узлов решетки, возможно, с дубликатами, пусть будет произведением спинов в A.${\displaystyle \textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}}$

Назначим априорную меру dμ(σ) спинам; пусть H будет функционалом энергии вида

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,}$

где сумма ведется по спискам сайтов A , и пусть

${\displaystyle Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

быть функцией распределения . Как обычно,

${\displaystyle \langle f\rangle = {\frac {1}{Z}} \sum _ {\sigma }f(\sigma)e^{-H(\sigma)}}$

обозначает среднее по ансамблю .

Система называется ферромагнитной , если для любого списка узлов A J A _≥ 0. Система называется инвариантной относительно переворота спина , если для любого j из Λ мера μ сохраняется при отображении переворота знака σ → τ , где

${\displaystyle \tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}}$

В ферромагнитной спиновой системе, которая инвариантна относительно переворота спина,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

для любого списка спинов A.

В ферромагнитной спиновой системе, которая инвариантна относительно переворота спина,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle }$

для любых списков спинов A и B.

Первое неравенство является частным случаем второго, соответствующим B = ∅.

Обратите внимание, что функция распределения по определению неотрицательна.

Доказательство первого неравенства : Развернуть

${\displaystyle e^{-H(\sigma)}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k }}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{ B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma)\sigma _{A}e^{-H(\sigma)}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B} {\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{выровнено}}}$

где n _A (j) обозначает количество раз, когда j появляется в A. Теперь, по инвариантности относительно переворота спина,

${\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}$

если хотя бы одно n(j) нечетно, и это же выражение, очевидно, неотрицательно для четных значений n . Следовательно, Z < σ _A >≥0, следовательно, также < σ _A >≥0.

Доказательство второго неравенства . Для второго неравенства Гриффитса удвоим случайную величину, т.е. рассмотрим вторую копию спина, , с тем же распределением . Тогда${\displaystyle \сигма '}$${\displaystyle \сигма}$

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

Вводим новые переменные

${\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}' ~.}$

Удвоенная система является ферромагнитной в , поскольку является полиномом в с положительными коэффициентами${\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle}$${\displaystyle \тау ,\тау '}$${\displaystyle -H(\сигма )-H(\сигма ')}$${\displaystyle \тау ,\тау '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}$

Кроме того, мера на инвариантна относительно переворота спина, поскольку является. Наконец, мономы , являются полиномами по с положительными коэффициентами${\displaystyle \tau ,\tau '}$${\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}$${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}$${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}$

Первое неравенство Гриффитса, примененное к, дает результат.${\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }$

Более подробная информация в ^[5] и ^{[6] .}

Неравенство Жинибра является расширением неравенства Гриффитса , найденным Жаном Жинибром ^{[4] .}

Пусть (Γ,  μ ) — вероятностное пространство . Для функций f ,  h на Γ обозначим

${\displaystyle \langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Пусть A — множество действительных функций на Γ , такое что для любых f ₁ , f ₂ ,..., f _n из A и для любого выбора знаков ±,

${\displaystyle \iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}$

Тогда для любых f , g ,− h в выпуклом конусе, порожденном A ,

${\displaystyle \langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.}$

Позволять

${\displaystyle Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Теперь неравенство следует из предположения и из тождества

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).}$

• Чтобы восстановить (второе) неравенство Гриффитса, возьмем Γ = {−1, +1} ^Λ , где Λ — решетка, и пусть μ — мера на Γ, инвариантная относительно смены знака. Конус A многочленов с положительными коэффициентами удовлетворяет предположениям неравенства Жинибра.
• (Γ,  μ ) — коммутативная компактная группа с мерой Хаара , A — конус действительных положительно определенных функций на Γ.
• Γ — полностью упорядоченное множество , A — конус действительных положительных неубывающих функций на Γ. Это дает неравенство сумм Чебышева . Для расширения на частично упорядоченные множества см. неравенство FKG .

• Термодинамический предел корреляций ферромагнитной модели Изинга (с неотрицательным внешним полем h и свободными граничными условиями) существует.

Это происходит потому, что увеличение громкости равнозначно включению новых связей J _B для определенного подмножества B. По второму неравенству Гриффитса

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}$

Следовательно, монотонно возрастает с объемом; затем сходится, поскольку ограничена 1.${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$

• Одномерная ферромагнитная модель Изинга с взаимодействиями демонстрирует фазовый переход, если .${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$${\displaystyle 1<\alpha <2}$

Это свойство можно продемонстрировать в иерархическом приближении, которое отличается от полной модели отсутствием некоторых взаимодействий: рассуждая, как и выше, со вторым неравенством Гриффитса, результаты переносятся на полную модель. ^[7]

• Неравенство Жинибра обеспечивает существование термодинамического предела для свободной энергии и спиновых корреляций для двумерной классической модели XY . ^[4] Кроме того, с помощью неравенства Жинибра Кунц и Пфистер доказали наличие фазового перехода для ферромагнитной модели XY с взаимодействием, если .${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$${\displaystyle 2<\alpha <4}$
• Айзенман и Саймон ^[8] использовали неравенство Жинибра, чтобы доказать, что двухточечная спиновая корреляция ферромагнитной классической модели XY в размерности , связи и обратной температуре доминирует (т.е. имеет верхнюю границу, заданную) двухточечной корреляцией ферромагнитной модели Изинга в размерности , связи и обратной температуре.${\displaystyle D}$${\displaystyle J>0}$${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle J>0}$${\displaystyle \beta /2}$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

Следовательно, критическая температура модели XY не может быть меньше удвоенной критической температуры модели Изинга.${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}$

в размерности D = 2 и связи J = 1 это дает

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}$

• Существует версия неравенства Жинибра для кулоновского газа , которая подразумевает существование термодинамического предела корреляций. ^[9]
• Другие приложения ( фазовые переходы в спиновых системах, модель XY, квантовая цепь XYZ) рассмотрены в ^{[10] .}