n-векторная модель

В статистической механике n- векторная модель или модель O( n ) представляет собой простую систему взаимодействующих спинов на кристаллической решетке . Она была разработана Х. Юджином Стэнли как обобщение модели Изинга , модели XY и модели Гейзенберга . ^[1] В n -векторной модели n -компонентные классические спины единичной длины размещаются в вершинах d -мерной решетки. Гамильтониан n - векторной модели определяется как: ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle H=K{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}}$

где сумма пробегает все пары соседних спинов и обозначает стандартное евклидово внутреннее произведение. Частными случаями n -векторной модели являются:${\displaystyle \langle i,j\rangle}$${\displaystyle \cdot}$

${\displaystyle n=0}$: Самоизбегающая прогулка ^{[2] [3]}

${\displaystyle n=1}$: Модель Изинга

${\displaystyle n=2}$: Модель XY

${\displaystyle n=3}$: Модель Гейзенберга

${\displaystyle n=4}$: Игрушечная модель сектора Хиггса Стандартной модели

В статье о модели Поттса развит общий математический формализм, используемый для описания и решения n -векторной модели, а также некоторые обобщения .

При небольшом расширении связи вес конфигурации можно переписать как

${\displaystyle e^{H}{\underset {K\to 0}{\sim }}\prod _{\langle i,j\rangle }\left(1+K\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)}$

Интегрирование по вектору приводит к таким выражениям, как ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle \int d\mathbf {s} _{i}\ \prod _{j=1}^{4}\left(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j }\right)=\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\right)\left(\mathbf {s} _{3}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)}$

что интерпретируется как сумма по 3 возможным способам соединения вершин попарно с использованием 2 линий, проходящих через вершину . Интегрируя по всем векторам, соответствующие линии объединяются в замкнутые контуры, и функция распределения становится суммой по конфигурациям контуров:${\displaystyle 1,2,3,4}$${\displaystyle я}$

${\displaystyle Z=\sum _{L\in {\mathcal {L}}}K^{E(L)}n^{|L|}}$

где — набор конфигураций петель, число петель в конфигурации и общее число ребер решетки.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle |Л|}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E(L)}$

В двух измерениях принято считать, что петли не пересекаются: либо выбирая решетку трехвалентной, либо рассматривая модель в разбавленной фазе, где пересечения несущественны, либо запрещая пересечения вручную. Полученную модель непересекающихся петель затем можно изучить с помощью мощных алгебраических методов, и ее спектр точно известен. ^[4] Более того, модель тесно связана с моделью случайного кластера , которая также может быть сформулирована в терминах непересекающихся петель. Гораздо меньше известно о моделях, где петлям разрешено пересекаться, и в более чем двух измерениях.

Континуальный предел можно понимать как сигма-модель . Это можно легко получить, записав гамильтониан в терминах произведения

${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-1}$

где - термин "объемная намагниченность". Отбрасывая этот термин как общий постоянный фактор, добавляемый к энергии, предел получается путем определения конечной разности Ньютона как ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1}$

${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}}$

на соседних позициях решетки Тогда в пределе , где — градиент в направлении. Таким образом, в пределе,${\displaystyle i,j.}$${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle \nabla _{\mu }}$${\displaystyle (i,j)\to \mu }$

${\displaystyle -\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2}}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$

что можно распознать как кинетическую энергию поля в сигма-модели . Для спина все еще есть две возможности : он либо берется из дискретного набора спинов ( модель Поттса ), либо берется как точка на сфере ; то есть, является непрерывно-значным вектором единичной длины. В последнем случае это называется нелинейной сигма-моделью, поскольку группа вращения является группой изометрий и, очевидно, не является «плоской», т.е. не является линейным полем .${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

Эта статья о решетчатых моделях — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e

Эта статья о статистической механике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e