n-сфера

В математике n -сфера или гиперсфера является ⁠ ⁠ -мерным обобщением ⁠ ⁠ -мерного круга и ⁠ ⁠ -мерной сферы на любое неотрицательное целое число ⁠ ⁠ . Круг считается 1-мерным, а сфера 2-мерной, потому что сами поверхности являются 1- и 2-мерными соответственно, а не потому , что они существуют как формы в 1- и 2-мерном пространстве. Таким образом, ⁠ ⁠ -сфера является средой для ⁠ ⁠ -мерной сферической геометрии .${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Рассматриваемая внешне, как гиперповерхность , вложенная в ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -мерное евклидово пространство , ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера является геометрическим местом точек , находящихся на равном расстоянии ( радиусе ) от заданной центральной точки. Ее внутренняя часть , состоящая из всех точек, находящихся ближе к центру, чем радиус, является ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -мерным шаром . В частности:

• ⁠ ⁠-${\displaystyle 0}$ Сфера — это пара точек на концах отрезка прямой ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -шара).
• Сфера —${\displaystyle 1}$ это круг , окружность диска ( шара${\displaystyle 2}$ ) в двумерной плоскости .​
• ⁠ ⁠-${\displaystyle 2}$ Сфера , часто называемая просто сферой, является границей ⁠ ⁠-${\displaystyle 3}$ шара в трехмерном пространстве .
• 3- мерная сфера является границей ⁠ ⁠-${\displaystyle 4}$ шара в четырехмерном пространстве .
• ⁠ ⁠-${\displaystyle (n-1)}$ Сфера является границей ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара.

Учитывая декартову систему координат , единичную ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферу радиуса ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ можно определить как:

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}$

Рассматриваемая внутренне, когда ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 1}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера является римановым многообразием положительной постоянной кривизны и является ориентируемой . Геодезические ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферы называются большими окружностями .

Стереографическая проекция отображает ⁠ ⁠-${\displaystyle n}$ сферу на ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -пространство с единственной присоединенной точкой на бесконечности ; в метрике , определенной таким образом, является моделью для ⁠ ⁠- сферы.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle n}$

В более общем контексте топологии любое топологическое пространство , гомеоморфное единичной ⁠ ⁠ -сфере${\displaystyle n}$ , называется ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$-сферой . При обратной стереографической проекции ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера является одноточечной компактификацией ⁠${\displaystyle n}$ ⁠ -пространства . ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферы допускают несколько других топологических описаний: например, их можно построить, склеив два ⁠ ⁠ -мерных пространства вместе, отождествив границу ⁠ ⁠ -куба с точкой${\displaystyle n}$ или (${\displaystyle n}$ индуктивно ) образовав подвеску ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сферы . Когда ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 2}$ она односвязна ; ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -сфера (круг) не является односвязной; ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ - сфера даже не связана, а состоит из двух дискретных точек.

Для любого натурального числа ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера радиуса ⁠ ⁠ определяется${\displaystyle r}$ как множество точек в ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -мерном евклидовом пространстве, которые находятся на расстоянии ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ от некоторой фиксированной точки ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} }$ , где ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ может быть любым положительным действительным числом и где ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} }$ может быть любой точкой в ​​⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -мерном пространстве. В частности:

• 0-сфера — это пара точек ⁠ ⁠${\displaystyle \{c-r,c+r\}}$ , являющаяся границей отрезка прямой ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -шара).
• 1 -сфера — это окружность радиуса ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ с центром в ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} }$ , являющаяся границей диска ( ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -шара).
• 2 -сфера — это обычная ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -мерная сфера в ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ -мерном евклидовом пространстве, являющаяся границей обычного шара ( ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ -шара).
• 3- мерная сфера — это ⁠ ⁠-${\displaystyle 3}$ мерная сфера в ⁠ ⁠-${\displaystyle 4}$ мерном евклидовом пространстве.

Множество точек в ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -пространстве, ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ , определяющее ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферу, ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}(r)}$ , представлено уравнением:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

где ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$ — центральная точка, а ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ — радиус.

Вышеуказанная ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$-сфера существует в ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -мерном евклидовом пространстве и является примером ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -многообразия . Объемная форма ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ -сферы радиуса ⁠ ⁠ задается формулой ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

где — оператор звезды Ходжа ; см. Flanders (1989, §6.1) для обсуждения и доказательства этой формулы в случае ⁠ ⁠ . В результате,${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

Пространство, ограниченное ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферой, называется ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -шаром . ⁠ ⁠ -шар замкнут , если он включает ⁠ ⁠ -сферу, и открыт, если он не включает ⁠ ⁠ -сферу .${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Конкретно:

• Шар ,${\displaystyle 1}$ отрезок прямой , является внутренней частью 0 - сферы .
• Шар ,${\displaystyle 2}$ диск — это внутренняя часть круга ( сферы ) .​${\displaystyle 1}$
• Шар ,${\displaystyle 3}$ обычный шар , является внутренней частью сферы ( -сферы ) .${\displaystyle 2}$
• Шар - это внутренняя часть 3-х сферической формы и т${\displaystyle 4}$ . д .

Топологически , ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера может быть построена как одноточечная компактификация ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерного евклидова пространства. Вкратце, ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера может быть описана как ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ , что является ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерным евклидовым пространством плюс одна точка, представляющая бесконечность во всех направлениях. В частности, если удалить одну точку из ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферы, она станет гомеоморфной . Это формирует основу для стереографической проекции . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пусть ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$ будет площадью поверхности единичной ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сферы радиуса ⁠ ⁠ ,${\displaystyle 1}$ вложенной в ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство, и пусть ⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}}$ будет объемом ее внутренней части, единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара. Площадь поверхности произвольной ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сферы пропорциональна ⁠ ⁠ -й${\displaystyle (n-1)}$ степени радиуса, а объем произвольного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара пропорционален ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -й степени радиуса.

⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -шар иногда определяется как одна точка. ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -мерная мера Хаусдорфа — это количество точек в наборе. Так

${\displaystyle V_{0}=1.}$

Единичный ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -шар представляет собой отрезок прямой, точки которого имеют одну координату в интервале ⁠ ⁠${\displaystyle [-1,1]}$ длины ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ , а ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -сфера состоит из двух его конечных точек с координатой ⁠ ⁠${\displaystyle \{-1,1\}}$ .

${\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}$

Единичная ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -сфера — это единичная окружность на евклидовой плоскости, а ее внутренняя часть — единичный диск ( ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -шар).

${\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}$

Внутренняя часть 2-сферы в трехмерном пространстве представляет собой единичный ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ -шар.

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

В общем случае ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}}$ задаются в замкнутом виде выражениями

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}$

где ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция .

При стремлении ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ к бесконечности объем единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара (отношение объема ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара радиуса ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ и ⁠ ⁠ -куба со стороной длиной ⁠ ⁠ ) стремится к нулю. ^[2] ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

Площадь поверхности , или, точнее, ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерный объем ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферы на границе ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -шара радиуса ⁠ ⁠${\displaystyle R}$ связана с объемом шара дифференциальным уравнением

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

Эквивалентно, представляя единичный ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шар как объединение концентрических ⁠ ⁠-${\displaystyle (n-1)}$ сферических оболочек ,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

Мы также можем представить единичную ⁠ ⁠${\displaystyle (n+2)}$ -сферу как объединение произведений окружности ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -сферы) с ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферой. Тогда ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$ . Поскольку ⁠ ⁠${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$ , уравнение

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

справедливо для всех ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . Наряду с базовыми случаями ⁠ ⁠${\displaystyle S_{0}=2}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle V_{1}=2}$ выше, эти рекуррентные соотношения можно использовать для вычисления площади поверхности любой сферы или объема любого шара.

Мы можем определить систему координат в ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве, которая аналогична сферической системе координат , определенной для ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ -мерного евклидова пространства, в которой координаты состоят из радиальной координаты ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ угловых координат ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}$ , где углы ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}$ изменяются в пределах ⁠ ⁠${\displaystyle [0,\pi ]}$ радиан (или ⁠ ⁠${\displaystyle [0,180]}$ градусов) и ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{n-1}}$ изменяются в пределах ⁠ ⁠${\displaystyle [0,2\pi )}$ радиан (или ⁠ ⁠${\displaystyle [0,360)}$ градусов). Если ⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}}$ являются декартовыми координатами, то мы можем вычислить ⁠ ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ из ⁠ ⁠${\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}$ с помощью: ^{[3] [a]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

За исключением особых случаев, описанных ниже, обратное преобразование уникально:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}$

где atan2 — функция арктангенса с двумя аргументами.

Существуют некоторые особые случаи, когда обратное преобразование не является уникальным; ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{k}}$ для любого ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ будет неоднозначным, когда все ⁠ ⁠${\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}$ равны нулю; в этом случае ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{k}}$ может быть выбрано равным нулю. (Например, для ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -сферы, когда полярный угол равен ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ или ⁠ ⁠,${\displaystyle \pi }$ то точка является одним из полюсов, зенитом или надиром, а выбор азимутального угла произволен.)

Чтобы выразить элемент объема ⁠ ⁠ -мерного${\displaystyle n}$ евклидова пространства в сферических координатах, пусть ⁠ ⁠${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$ для краткости, затем заметим, что матрица Якоби преобразования имеет вид:

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

Определитель этой матрицы можно вычислить по индукции. Когда ⁠ ⁠${\displaystyle n=2}$ , прямое вычисление показывает, что определитель равен ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ . Для больших ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , заметьте, что ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ можно построить из ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ следующим образом. За исключением столбца ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , строки ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ матрицы ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ такие же, как строка ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ матрицы ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , но умноженные на дополнительный множитель ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ и дополнительный множитель ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . В столбце ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ строки ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ из ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ такие же, как столбец ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ строки ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ из ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , но умноженные на дополнительные множители ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , соответственно. Определитель ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ можно вычислить с помощью разложения Лапласа в последнем столбце. По рекурсивному описанию ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ подматрица, образованная путем удаления записи в ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1,n)}$ и ее строки и столбца, почти равна ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , за исключением того, что ее последняя строка умножена на ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ . Аналогично, подматрица, образованная путем удаления записи в ⁠ ⁠${\displaystyle (n,n)}$ и ее строка и столбец почти равны ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , за исключением того, что ее последняя строка умножается на ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ . Поэтому определитель ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ равен

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

Затем индукция дает замкнутое выражение для элемента объема в сферических координатах

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

Формулу для объема ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара можно вывести отсюда путем интегрирования.

Аналогично элемент площади поверхности ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сферы радиуса ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ , который обобщает элемент площади ⁠ ⁠ -сферы${\displaystyle 2}$ , задается выражением

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

Естественный выбор ортогонального базиса по угловым координатам — это произведение ультрасферических полиномов ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

для ⁠ ⁠${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$ , и ⁠ ⁠${\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}$ для угла ⁠ ⁠${\displaystyle j=n-1}$ в соответствии со сферическими гармониками .

Стандартная сферическая система координат возникает из записи ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ как произведения ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$ . Эти два фактора могут быть связаны с использованием полярных координат. Для каждой точки ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$ из стандартные декартовы координаты${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Это говорит о том, что точки в ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно выразить, взяв луч, начинающийся в начале координат и проходящий через , вращая его по направлению к , и перемещаясь на расстояние вдоль луча. Повторение этого разложения в конечном итоге приводит к стандартной сферической системе координат.${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$

Полисферические системы координат возникают из обобщения этой конструкции. ^[4] Пространство ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ разделяется как произведение двух евклидовых пространств меньшей размерности, но ни одно из пространств не обязано быть линией. В частности, предположим, что ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ являются положительными целыми числами, такими что ⁠ ⁠${\displaystyle n=p+q}$ . Тогда ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ . Используя это разложение, точка ⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ может быть записана как

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Это можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат, записав:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Здесь и — единичные векторы, связанные с ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . Это выражает ⁠ ⁠ через ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , и угол ⁠ ⁠ . Можно показать, что область определения ⁠ ⁠ равна ⁠ ⁠ , если ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ если ровно один из ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ равен ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ если ни ⁠ ⁠ , ни ⁠ ⁠ не являются ⁠ ⁠ . Обратное преобразование равно${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle p=q=1}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,\pi /2]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

Эти расщепления могут повторяться до тех пор, пока один из задействованных факторов имеет размерность два или больше. Полисферическая система координат является результатом повторения этих расщеплений до тех пор, пока не останется декартовых координат. Для расщеплений после первого не требуется радиальная координата, поскольку области и являются сферами, поэтому координаты полисферической системы координат представляют собой неотрицательный радиус и ⁠ ⁠ углы. Возможные полисферические системы координат соответствуют бинарным деревьям с ⁠ ⁠ листьями. Каждый нелистовой узел в дереве соответствует расщеплению и определяет угловую координату. Например, корень дерева представляет ⁠ ⁠ , а его непосредственные потомки представляют первое расщепление на ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . Листовые узлы соответствуют декартовым координатам для ⁠ ⁠ . Формулы для преобразования полисферических координат в декартовы координаты могут быть определены путем нахождения путей от корня до листовых узлов. Эти формулы являются произведениями с одним множителем для каждой ветви, взятой путем. Для узла, соответствующая угловая координата которого ⁠ ⁠ , взятие левой ветви вводит множитель ⁠ ⁠ , а взятие правой ветви вводит множитель ⁠ ⁠ . Обратное преобразование, из полисферических координат в декартовы координаты, определяется путем группировки узлов. Каждая пара узлов, имеющих общего родителя, может быть преобразована из смешанной полярно-декартовой системы координат в декартову систему координат с использованием приведенных выше формул для разделения.${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sin \theta _{i}}$${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

Полисферические координаты также имеют интерпретацию в терминах специальной ортогональной группы . Расщепление ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ определяет подгруппу

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

Это подгруппа, которая оставляет каждый из двух факторов фиксированным. Выбор набора представителей смежных классов для частного аналогичен выбору представительных углов для этого шага полисферического разложения координат.${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

В полисферических координатах мера объема на ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и мера площади на ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n-1}}$ являются произведениями. Для каждого угла существует один множитель, а мера объема на ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ также имеет множитель для радиальной координаты. Мера площади имеет вид:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

где факторы ⁠ ⁠${\displaystyle F_{i}}$ определяются деревом. Аналогично, мера объема

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Предположим, что у нас есть узел дерева, который соответствует разложению ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ и имеет угловую координату ⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$ . Соответствующий фактор ⁠ ⁠${\displaystyle F}$ зависит от значений ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$ . Когда мера площади нормализована так, что площадь сферы равна ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ , эти факторы следующие. Если ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$ , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Если ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}>1}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}=1}$ , и если ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {B} }$ обозначает бета-функцию , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Если ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}=1}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}>1}$ , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Наконец, если оба ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$ больше единицы, то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Так же, как двумерная сфера, вложенная в три измерения, может быть отображена на двумерную плоскость с помощью стереографической проекции , ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера может быть отображена на ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерную гиперплоскость с помощью ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерной версии стереографической проекции. Например, точка ⁠ ⁠${\displaystyle [x,y,z]}$ на двумерной сфере радиуса ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ отображается в точку ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}}$ на ⁠ ⁠${\displaystyle xy}$ -плоскости. Другими словами,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

Аналогично, стереографическая проекция ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сферы ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}}$ радиуса ⁠ ⁠ будет${\displaystyle 1}$ отображаться в ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -мерную гиперплоскость ⁠ ⁠,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$ перпендикулярную ⁠ ⁠${\displaystyle x_{n}}$ -оси, как

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Для генерации равномерно распределенных случайных точек на единичной ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сфере (то есть поверхности единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара) Марсалья (1972) дает следующий алгоритм.

Сгенерируем ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерный вектор нормальных отклонений (достаточно использовать ⁠ ⁠${\displaystyle N(0,1)}$ , хотя на самом деле выбор дисперсии произволен), ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ . Теперь вычислим «радиус» этой точки:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Вектор ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ равномерно распределен по поверхности единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара.

Альтернатива, предложенная Марсальей, заключается в равномерном случайном выборе точки ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ в единичном n -кубе путем выборки каждой ⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}}$ независимо из равномерного распределения по ⁠ ⁠${\displaystyle (-1,1)}$ , вычисления ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ как указано выше, и отбрасывания точки и повторной выборки, если ⁠ ⁠${\displaystyle r\geq 1}$ (т. е. если точка не находится в ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шаре), и когда точка в шаре получена, масштабирования ее до сферической поверхности с коэффициентом ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$ ; затем снова ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ равномерно распределяется по поверхности единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара. Этот метод становится очень неэффективным для более высоких измерений, так как исчезающе малая часть единичного куба содержится в сфере. В десяти измерениях сфера заполняет менее 2% куба, так что обычно потребуется более 50 попыток. В семидесяти измерениях заполняется менее куба, то есть обычно требуется триллион квадриллионов испытаний, что намного больше, чем может выполнить компьютер.${\displaystyle 10^{-24}}$

При равномерном случайном выборе точки с поверхности единичной ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сферы (например, с помощью алгоритма Марсальи) требуется только радиус, чтобы получить равномерно случайную точку внутри единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара. Если ⁠ ⁠${\displaystyle u}$ — число, равномерно сгенерированное случайным образом из интервала ⁠ ⁠,${\displaystyle [0,1]}$ а ⁠ ⁠ —${\displaystyle \mathbf {x} }$ точка, равномерно выбранная случайным образом из единичной ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сферы, то ⁠ ⁠${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$ равномерно распределено внутри единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара.

В качестве альтернативы, точки могут быть выбраны равномерно из единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара путем редукции из единичной ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -сферы. В частности, если ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$ - точка, выбранная равномерно из единичной ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -сферы, то ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ равномерно распределена внутри единичного ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара (т. е. путем простого отбрасывания двух координат). ^[5]

Если ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ достаточно велико, большая часть объема ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -шара будет заключена в области, очень близкой к его поверхности, поэтому точка, выбранная из этого объема, также, вероятно, будет близка к поверхности. Это одно из явлений, приводящих к так называемому проклятию размерности , которое возникает в некоторых числовых и других приложениях.

Пусть ⁠ ⁠${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$ будет квадратом первой координаты точки, выбранной равномерно случайным образом из ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -сферы, тогда ее функция плотности вероятности для равна ${\displaystyle y\in [0,1]}$

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

Пусть будет соответствующим образом масштабированной версией, тогда в пределе функция плотности вероятности сходится к . Иногда это называют распределением Портера–Томаса. ^[6]${\displaystyle z=y/N}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$

0 -сфера

Пара точек ⁠ ⁠${\displaystyle \{\pm R\}}$ с дискретной топологией для некоторых ⁠ ⁠${\displaystyle R>0}$ . Единственная сфера, которая не является линейно-связной . Параллелизуемая .

1 -сфера

Обычно называется окружностью . Имеет нетривиальную фундаментальную группу. Структура абелевой группы Ли U(1) ; группа окружности . Гомеоморфна действительной проективной прямой . Параллелизуема

2 -сфера

Обычно просто называется сферой . О ее комплексной структуре см. сфера Римана . Гомеоморфна комплексной проективной прямой

3 -сфера

Параллелизуемое главное U(1) -расслоение над ⁠ ⁠-${\displaystyle 2}$ сферой , структура группы Ли Sp(1) = SU(2) .

4 -сфера

Гомеоморфен кватернионной проективной прямой , ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}$ .

5 -сфера

Главное U (1) -расслоение над комплексным проективным пространством ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}$ . Неразрешимо, является ли данное ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -мерное многообразие гомеоморфным ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}}$ для ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 5}$ . ^[7]

6 -сфера

Обладает почти сложной структурой, происходящей из набора чистых единичных октонионов . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}$ . Вопрос о том, имеет ли он сложную структуру , известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа . ^[8]

7 -сфера

Топологическая квазигрупповая структура как множество единичных октонионов . Главное ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$ -расслоение над ⁠ ⁠${\displaystyle S^{4}}$ . Параллелизуемое . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle 7}$ -сфера представляет особый интерес, поскольку именно в этом измерении были обнаружены первые экзотические сферы .

8 -сфера

Гомеоморфна октонионной проективной прямой ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}$ .

23 -сфера

В -мерном пространстве возможна очень плотная упаковка сфер , что связано с уникальными свойствами решетки Лича .${\displaystyle 24}$

Октаэдрическая ⁠ ⁠ -сфера определяется аналогично ⁠ ⁠ -сфере ,${\displaystyle n}$ но с использованием 1 -нормы${\displaystyle n}$

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

В общем случае он имеет форму кросс-политопа .

Октаэдрическая ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -сфера является квадратом (без его внутренней части). Октаэдрическая ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -сфера является правильным октаэдром ; отсюда и название. Октаэдрическая ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -сфера является топологическим соединением ⁠ ⁠${\displaystyle n+1}$ пар изолированных точек. ^[9] Интуитивно, топологическое соединение двух пар генерируется путем рисования отрезка между каждой точкой в ​​одной паре и каждой точкой в ​​другой паре; это дает квадрат. Чтобы соединить это с третьей парой, нарисуйте отрезок между каждой точкой на квадрате и каждой точкой в ​​третьей паре; это дает октаэдр.

• Конформная геометрия  – изучение преобразований геометрического пространства, сохраняющих углы.
• Экзотическая сфера  – гладкое многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное сфере.
• Гомологическая сфера  – Топологическое многообразие, гомология которого совпадает с гомологией сферы.
• Гомотопические группы сфер  – Как сферы разных размерностей могут обертываться друг вокруг друга
• Инверсная геометрия  – Изучение преобразований, сохраняющих угол
• Преобразование Мёбиуса  – Рациональная функция вида (az + b)/(cz + d)