Присоединиться (топология)

В топологии , области математики , соединение двух топологических пространств и , часто обозначаемое как или , является топологическим пространством, образованным путем взятия несвязного объединения двух пространств и присоединения отрезков прямых, соединяющих каждую точку в с каждой точкой в ​​. Соединение пространства с самим собой обозначается как . Соединение определяется несколько по-разному в разных контекстах${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А\аст Б}$${\displaystyle A\звезда B}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$${\displaystyle A^{\star 2}:=A\star A}$

Если и являются подмножествами евклидова пространства , то: ^{[1] : 1}${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$,

то есть множество всех отрезков между точкой в ​​и точкой в ​​.${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$

Некоторые авторы ^{[2] : 5} ограничивают определение подмножествами, которые являются соединяемыми : любые два различных отрезка, соединяющие точку A с точкой B, встречаются не более чем в общей конечной точке (то есть они не пересекаются внутри). Каждые два подмножества можно сделать «соединяемыми». Например, если находится в и находится в , то и соединяемы в . На рисунке выше показан пример для m=n=1, где и являются отрезками.${\displaystyle А}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{м}}$${\displaystyle A\times \{0^{м}\}\times \{0\}}$${\displaystyle \{0^{n}\}\times B\times \{1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m+1}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$

• Объединение двух симплексов является симплексом: объединение n -мерного и m -мерного симплексов является ( m + n +1)-мерным симплексом. Некоторые особые случаи:
  • Соединение двух непересекающихся точек представляет собой интервал ( m = n =0).
  • Соединение точки и интервала представляет собой треугольник (m=0, n=1).
  • Соединение двух отрезков гомеоморфно сплошному тетраэдру или двуклиноиду , показанному на рисунке выше справа ( m = n =1).
  • Соединение точки и ( n -1)-мерного симплекса является n -мерным симплексом.
• Соединение точки и многоугольника (или любого многогранника ) — это пирамида , как соединение точки и квадрата — это квадратная пирамида . Соединение точки и куба — это кубическая пирамида .
• Соединение точки и окружности — это конус , а соединение точки и сферы — это гиперконус .

Если и — какие-либо топологические пространства, то:${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,}$

где цилиндр прикреплен к исходным пространствам и вдоль естественных проекций граней цилиндра:${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$

${\displaystyle {A\times B\times \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,}$

${\displaystyle {A\times B\times \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.}$

Обычно неявно предполагается, что и непусты, и в этом случае определение часто формулируется немного иначе: вместо присоединения граней цилиндра к пространствам и , эти грани просто сжимаются способом, предложенным проекциями присоединения : мы образуем фактор-пространство${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ (A\times B\times [0,1])/\sim ,}$

где отношение эквивалентности генерируется${\displaystyle \сим }$

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{для всех }}a\in A{\mbox{ и }}b_{1},b_{2}\in B,}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{для всех }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox{ и }}b\in B.}$

В конечных точках это сворачивается до и до .${\displaystyle A\times B\times \{0\}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle A\times B\times \{1\}}$${\displaystyle Б}$

Если и являются ограниченными подмножествами евклидова пространства , а и , где являются непересекающимися подпространствами , размерность их аффинной оболочки которых равна (например, две непересекающиеся непараллельные прямые в ), то топологическое определение сводится к геометрическому определению, то есть «геометрическое соединение» гомеоморфно «топологическому соединению»: ^{[3] : 75, Предл. 4.2.4}${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\subseteq U}$${\displaystyle B\subseteq V}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dimU+dimV+1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\big (}(A\times B\times [0,1])/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$

Если и являются любыми абстрактными симплициальными комплексами , то их соединение является абстрактным симплициальным комплексом, определяемым следующим образом: ^{[3] : 74, Опр.4.2.1}${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$

• Множество вершин представляет собой непересекающееся объединение и .${\displaystyle V(A\star B)}$${\displaystyle V(A)}$${\displaystyle V(B)}$
• Симплексы являются непересекающимися объединениями симплекса с симплексом : (в частном случае, когда и непересекающиеся, соединение просто ).${\displaystyle A\звезда B}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle A\star B:=\{a\sqcup b:a\in A,b\in B\}}$${\displaystyle V(A)}$${\displaystyle V(B)}$${\displaystyle \{a\cup b:a\in A,b\in B\}}$

• Предположим , что и , то есть два множества с одной точкой. Тогда , что представляет собой отрезок прямой. Обратите внимание, что множества вершин A и B не пересекаются; в противном случае мы должны были бы сделать их непересекающимися. Например, где a ₁ и a ₂ — это две копии одного элемента в V(A). Топологически результат тот же, что и — отрезок прямой.${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}$${\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$${\displaystyle A\star B}$
• Предположим, что и . Тогда , что представляет собой треугольник.${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}$${\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}$
• Предположим , что и , то есть два множества с двумя дискретными точками. Тогда — комплекс с гранями , представляющий собой «квадрат».${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}$

Комбинаторное определение эквивалентно топологическому определению в следующем смысле: ^[3] : ^{77, Упражнение.3} для любых двух абстрактных симплициальных комплексов и , гомеоморфно , где обозначает любую геометрическую реализацию комплекса .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle ||A\star B||}$${\displaystyle ||A||\star ||B||}$${\displaystyle ||X||}$${\displaystyle X}$

При наличии двух карт и их соединение определяется на основе представления каждой точки в соединении как , для некоторых : ^{[3] : 77}${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$${\displaystyle f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}}$${\displaystyle A_{1}\star B_{1}}$${\displaystyle t\cdot a+(1-t)\cdot b}$${\displaystyle a\in A_{1},b\in B_{1}}$

${\displaystyle f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)}$

Конус топологического пространства , обозначаемый , является соединением с одной точкой.${\displaystyle X}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle X}$

Подвеска топологического пространства , обозначаемая , является соединением с (0-мерной сферой , или дискретным пространством с двумя точками) .${\displaystyle X}$${\displaystyle SX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{0}}$

Объединение двух пространств коммутативно с точностью до гомеоморфизма , т.е.${\displaystyle A\star B\cong B\star A}$

Неверно , что операция соединения, определенная выше, ассоциативна с точностью до гомеоморфизма для произвольных топологических пространств. Однако для локально компактных хаусдорфовых пространств имеем Поэтому можно определить k -кратное соединение пространства с самим собой, ( k раз).${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}$${\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}$

Можно определить другую операцию соединения , которая использует тот же базовый набор, что и , но другую топологию, и эта операция ассоциативна для всех топологических пространств. Для локально компактных хаусдорфовых пространств и соединения и совпадают. ^[4]${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$

Если и гомотопически эквивалентны , то и гомотопически эквивалентны. ^{[3] : 77, Упражнение.2}${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A'\star B}$

При наличии базовых CW-комплексов и , «редуцированное соединение»${\displaystyle (A,a_{0})}$${\displaystyle (B,b_{0})}$

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

гомеоморфна восстановленной суспензии

${\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}$

продукта smash . Следовательно, поскольку является стягиваемым , существует гомотопическая эквивалентность${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

Эта эквивалентность устанавливает изоморфизм .${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}$

Для двух триангулируемых пространств гомотопическая связность ( ) их соединения равна по крайней мере сумме связностей его частей: ^{[3] : 81, Предложение 4.4.3}${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \eta _{\pi }}$

• ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}$.

В качестве примера, пусть будет набором из двух несвязных точек. Между точками есть одномерное отверстие, поэтому . Соединение представляет собой квадрат, который гомеоморфен кругу, имеющему двухмерное отверстие, поэтому . Соединение этого квадрата с третьей копией представляет собой октаэдр , который гомеоморфен , отверстие которого трехмерно. В общем случае соединение n копий гомеоморфно и .${\displaystyle A=B=S^{0}}$${\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}$${\displaystyle A*B}$${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}$

Удаленное соединение абстрактного комплекса A — это абстрактный комплекс, содержащий все непересекающиеся объединения непересекающихся граней A : ^{[3] : 112}

${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}}$

• Предположим (отдельная точка). Тогда , то есть дискретное пространство с двумя непересекающимися точками (напомним, что = интервал).${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$
• Предположим (две точки). Тогда — комплекс с гранями (два непересекающихся ребра).${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$${\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}$
• Предположим (ребро). Тогда — комплекс с гранями (квадрат). Напомним, что представляет собой сплошной тетраэдр.${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}}$
• Предположим, что A представляет собой ( n -1)-мерный симплекс (с n вершинами). Тогда соединение является ( 2n- 1)-мерным симплексом (с 2 n вершинами): это множество всех точек (x ₁ ,...,x _2n ) с неотрицательными координатами, такими что x ₁ +...+x _2n =1. Удаленное соединение можно рассматривать как подмножество этого симплекса: это множество всех точек (x ₁ ,...,x _2n ) в этом симплексе, такими что единственными ненулевыми координатами являются некоторые k координат в x ₁ ,..,x _n , и дополнительные nk координат в x _n+1 ,...,x _2n .${\displaystyle A^{\star 2}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$

Операция удаленного соединения коммутирует с соединением. То есть, для любых двух абстрактных комплексов A и B : ^{[3] : Лем.5.5.2}

${\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}$

Доказательство . Каждый симплекс в левостороннем комплексе имеет вид , где , и не пересекаются. В силу свойств непересекающегося объединения последнее условие эквивалентно: не пересекаются и не пересекаются.${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

Каждый симплекс в комплексе с правой стороны имеет вид , где , и не пересекаются и не пересекаются. Таким образом, наборы симплексов с обеих сторон совершенно одинаковы. □${\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

В частности, удаленное соединение n-мерного симплекса с самим собой является n-мерным кроссполитопом , который гомеоморфен n-мерной сфере . ^{[3] : Cor.5.5.3}${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$

n -кратное k-удалённое соединение симплициального комплекса A определяется как:

${\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}$, где «k-wise disjoint» означает, что каждое подмножество k имеет пустое пересечение.

В частности, n -кратное n -кратное удаленное соединение содержит все непересекающиеся объединения n граней, пересечение которых пусто, а n -кратное 2-кратное удаленное соединение меньше: оно содержит только непересекающиеся объединения n граней, которые попарно непересекаются. 2-кратное 2-кратное удаленное соединение — это простое удаленное соединение, определенное выше.

N - кратное 2-удалённое соединение дискретного пространства с m точками называется ( m , n ) -комплексом шахматной доски .

• Десуспензия

• Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Кембридж, 2002. xii+544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0  
• В данной статье использованы материалы Join on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Браун, Рональд , Топология и группоиды, Раздел 5.7. Соединения.