Преобразование Пенроуза

В теоретической физике преобразование Пенроуза , введенное Роджером Пенроузом  (1967, 1968, 1969), является сложным аналогом преобразования Радона , которое связывает безмассовые поля в пространстве-времени, или, точнее, пространство решений уравнений безмассового поля , с группами когомологий пучков в комплексном проективном пространстве . Рассматриваемое проективное пространство — это твисторное пространство , геометрическое пространство, естественным образом связанное с исходным пространством-временем, и твисторное преобразование также геометрически естественно в смысле интегральной геометрии . Преобразование Пенроуза является основным компонентом классической теории твисторов .

Абстрактно, преобразование Пенроуза действует на двойное расслоение пространства Y над двумя пространствами X и Z.

${\displaystyle Z{\xleftarrow {\eta }}Y{\xrightarrow {\tau }}X.}$

В классическом преобразовании Пенроуза Y — спиновое расслоение , X — компактифицированная и комплексифицированная форма пространства Минковского (которое как комплексное многообразие есть ), а Z — твисторное пространство (которое есть ). Более общие примеры можно найти в двойных расслоениях вида${\displaystyle \mathbf {Гр} (2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle G/H_{1}{\xleftarrow {\eta }}G/(H_{1}\cap H_{2}){\xrightarrow {\tau }}G/H_{2}}$

где G — комплексная полупростая группа Ли , а H ₁ и H ₂ — параболические подгруппы .

Преобразование Пенроуза работает в два этапа. Во-первых, группы когомологий пучка H ^r ( Z , F ) стягиваются обратно к когомологиям пучка H ^r ( Y ,η ⁻¹ F ) на Y ; во многих случаях, когда преобразование Пенроуза представляет интерес, этот стягивающий путь оказывается изоморфизмом. Затем полученные классы когомологий стягиваются вниз к X ; то есть исследуется прямой образ класса когомологий с помощью спектральной последовательности Лере . Затем полученный прямой образ интерпретируется в терминах дифференциальных уравнений. В случае классического преобразования Пенроуза полученные дифференциальные уравнения являются в точности уравнениями безмассового поля для заданного спина.

Классический пример выглядит следующим образом:

• «Пространство твисторов» Z — это комплексное проективное 3-мерное пространство CP ³ , которое также является грассманианом Gr ₁ ( C ⁴ ) прямых в 4-мерном комплексном пространстве.
• X = Gr ₂ ( C ⁴ ), грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном комплексном пространстве. Это компактификация комплексного пространства Минковского.
• Y — многообразие флагов , элементы которого соответствуют прямой в плоскости C ⁴ .
• G — группа SL ₄ ( C ), а H ₁ и H ₂ — параболические подгруппы, фиксирующие прямую или плоскость, содержащую эту прямую.

Карты от Y до X и Z являются естественными проекциями.

Используя обозначение спинорного индекса, преобразование Пенроуза дает биекцию между решениями уравнения спинового безмассового поля и первой группой когомологий пучков , где — сфера Римана , — обычные голоморфные линейные расслоения над проективным пространством, а рассматриваемые пучки — это пучки сечений . ^[1]${\displaystyle \pm n/2}$$${\displaystyle \partial _{A}\,^{A_{1}'}\phi _{A_{1}'A_{2}'\cdots A_{n}'}=0}$$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(\pm n-2))}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$

Преобразование Пенроуза –Уорда является нелинейной модификацией преобразования Пенроуза, введенного Уордом (1977), которое (помимо прочего) связывает голоморфные векторные расслоения на 3-мерном комплексном проективном пространстве CP ³ с решениями самодуальных уравнений Янга–Миллса на S ⁴ . Атья и Уорд (1977) использовали это для описания инстантонов в терминах алгебраических векторных расслоений на комплексном проективном 3-пространстве, а Атья (1979) объяснил, как это можно использовать для классификации инстантонов на 4-сфере.

• переписка Твистора