Встраивание Плюккера

В математике отображение Плюккера вкладывает грассманиан , элементы которого являются k -мерными подпространствами n -мерного векторного пространства V , действительными или комплексными, в проективное пространство , тем самым реализуя его как проективное алгебраическое многообразие . Точнее, отображение Плюккера вкладывается в проективизацию -й внешней степени . Изображение является алгебраическим, состоящим из пересечения ряда квадрик, определяемых соотношениями § Плюккера (см. ниже). Г г ( к , В ) {\displaystyle \mathbf {Гр} (к,В)} Г г ( к , В ) {\displaystyle \mathbf {Гр} (к,В)} П ( ⋀ к В ) {\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)} к {\displaystyle к} В {\displaystyle V}

Вложение Плюккера было впервые определено Юлиусом Плюккером в случае, когда он описывает линии в трехмерном пространстве (которые, как проективные линии в действительном проективном пространстве, соответствуют двумерным подпространствам четырехмерного векторного пространства). Образом этого вложения является квадрика Клейна в RP 5 . к = 2 , н = 4 {\displaystyle к=2,n=4}

Герман Грассман обобщил вложение Плюккера на произвольные k и n . Однородные координаты образа грассманиана при вложении Плюккера относительно базиса во внешнем пространстве, соответствующего естественному базису в (где — базовое поле ), называются координатами Плюккера . Г г ( к , В ) {\displaystyle \mathbf {Гр} (к,В)} ⋀ к В {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V} В = К н {\displaystyle V=K^{n}} К {\displaystyle К}

Определение

Обозначая через -мерное векторное пространство над полем , а через Грассманиан -мерных подпространств , вложение Плюккера представляет собой отображение ι, определяемое соотношением В = К н {\displaystyle V=K^{n}} н {\displaystyle n} К {\displaystyle К} Г г ( к , В ) {\displaystyle \mathbf {Гр} (к,В)} к {\displaystyle к} В {\displaystyle V}

й : Г г ( к , В ) → П ( ⋀ к В ) , й : Вт := охватывать ⁡ ( ж 1 , … , ж к ) ↦ [ ж 1 ∧ ⋯ ∧ ж к ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\iota \colon \mathbf {Gr} (k,V)&{}\rightarrow \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V),\\\iota \colon {\mathcal {W}}:=\operatorname {span} (w_{1},\ldots ,w_{k})&{}\mapsto [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],\end{aligned}}}

где — базис для элемента , а — проективный класс эквивалентности элемента -й внешней степени . ( w 1 , … , w k ) {\displaystyle (w_{1},\dots ,w_{k})} W ∈ G r ( k , V ) {\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)} [ w 1 ∧ ⋯ ∧ w k ] {\displaystyle [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]} w 1 ∧ ⋯ ∧ w k ∈ ⋀ k V {\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}V} k {\displaystyle k} V {\displaystyle V}

Это вложение грассманиана в проективизацию . Изображение можно полностью охарактеризовать как пересечение ряда квадрик, квадрик Плюккера (см. ниже), которые выражаются однородными квадратичными соотношениями на координатах Плюккера (см. ниже), которые выводятся из линейной алгебры . P ( ⋀ k V ) {\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}

Скобочное кольцо выглядит как кольцо полиномиальных функций на . [1] ⋀ k V {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}

Отношения Плюккера

Изображение при вложении Плюккера удовлетворяет простому набору однородных квадратичных соотношений, обычно называемых соотношениями Плюккера , или соотношениями Грассмана–Плюккера , определяющими пересечение ряда квадрик в . Это показывает, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие и дает другой метод построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Грассмана–Плюккера, пусть будет -мерным подпространством, натянутым на базис, представленный векторами-столбцами . Пусть будет матрицей однородных координат, столбцы которой равны . Тогда класс эквивалентности всех таких матриц однородных координат, связанных друг с другом правым умножением на обратимую матрицу, может быть отождествлен с элементом . Для любой упорядоченной последовательности целых чисел пусть будет детерминантом матрицы, строки которой являются строками . Тогда, с точностью до проективизации, являются координатами Плюккера элемента , однородные координаты которого равны . Они являются линейными координатами образа под отображением Плюккера относительно стандартного базиса во внешнем пространстве . Изменение базиса, определяющего однородную координатную матрицу, просто изменяет координаты Плюккера на ненулевой масштабный коэффициент, равный определителю изменения базисной матрицы , и, следовательно, просто представляет класс проективной эквивалентности в . P ( ⋀ k V ) {\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)} P ( ⋀ k V ) {\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)} W ∈ G r ( k , V ) {\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)} k {\displaystyle k} W 1 , … , W k {\displaystyle W_{1},\dots ,W_{k}} W {\displaystyle W} n × k {\displaystyle n\times k} W 1 , … , W k {\displaystyle W_{1},\dots ,W_{k}} [ W ] {\displaystyle [W]} W g ∼ W {\displaystyle Wg\sim W} k × k {\displaystyle k\times k} g ∈ G L ( k , K ) {\displaystyle g\in \mathbf {GL} (k,K)} W {\displaystyle {\mathcal {W}}} 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n {\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n} k {\displaystyle k} W i 1 , … , i k {\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}} k × k {\displaystyle k\times k} ( i 1 , … i k ) {\displaystyle (i_{1},\dots i_{k})} W {\displaystyle W} { W i 1 , … , i k } {\displaystyle \{W_{i_{1},\dots ,i_{k}}\}} W ∼ [ W ] ∈ G r ( k , V ) {\displaystyle {\mathcal {W}}\sim [W]\in \mathbf {Gr} (k,V)} W {\displaystyle W} ι ( W ) {\displaystyle \iota ({\mathcal {W}})} W ∈ G r ( k , V ) {\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)} ⋀ k V {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V} W {\displaystyle W} g {\displaystyle g} ⋀ k V {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}

Для любых двух упорядоченных последовательностей:

i 1 < i 2 < ⋯ < i k − 1 , j 1 < j 2 < ⋯ < j k + 1 {\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}}

положительных целых чисел справедливы следующие однородные уравнения, которые определяют образ при отображении Плюккера: [2] 1 ≤ i l , j m ≤ n {\displaystyle 1\leq i_{l},j_{m}\leq n} W {\displaystyle {\mathcal {W}}}

∑ l = 1 k + 1 ( − 1 ) l W i 1 , … , i k − 1 , j l W j 1 , … , j ^ l , … j k + 1 = 0 , {\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{l}W_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}W_{j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}=0,} ( 1 )

где обозначает последовательность с опущенным членом . Обычно их называют соотношениями Плюккера . j 1 , … , j ^ l … j k + 1 {\displaystyle j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l}\dots j_{k+1}} j 1 , … , … j k + 1 {\displaystyle j_{1},\dots ,\dots j_{k+1}} j l {\displaystyle j_{l}}


Когда dim( V ) = 4 и k = 2 , мы получаем , простейший грассманиан, который не является проективным пространством, и вышеизложенное сводится к одному уравнению. Обозначая координаты через G r ( 2 , V ) {\displaystyle \mathbf {Gr} (2,V)} ⋀ 2 V {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}V}

W i j = − W j i , 1 ≤ i , j ≤ 4 , {\displaystyle W_{ij}=-W_{ji},\quad 1\leq i,j\leq 4,}

изображение под отображением Плюккера определяется одним уравнением G r ( 2 , V ) {\displaystyle \mathbf {Gr} (2,V)}

W 12 W 34 − W 13 W 24 + W 14 W 23 = 0. {\displaystyle W_{12}W_{34}-W_{13}W_{24}+W_{14}W_{23}=0.}

В общем случае для определения образа вложения Плюккера требуется гораздо больше уравнений, как в ( 1 ), но они, в общем случае, не являются алгебраически независимыми . Максимальное число алгебраически независимых отношений (на открытых множествах Зарисского) задается разностью размерностей между и , которая равна P ( ⋀ k V ) {\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)} G r ( k , V ) {\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)} ( n k ) − k ( n − k ) − 1. {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}-k(n-k)-1.}

Ссылки

  1. ^ Бьёрнер, Андерс ; Лас Верньяс, Мишель ; Штурмфельс, Бернд ; Уайт, Нил; Циглер, Гюнтер (1999), Ориентированные матроиды , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 46 (2-е изд.), Cambridge University Press , стр. 79, doi :10.1017/CBO9780511586507, ISBN 0-521-77750-X, ЗБЛ  0944.52006
  2. ^ Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 211, ISBN 0-471-05059-8, MR  1288523, Zbl  0836.14001

Дальнейшее чтение

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Plücker_embedding&oldid=1251367525"