Топологические модулярные формы

В математике топологические модулярные формы (tmf) — это название спектра , описывающего обобщенную теорию когомологий . Конкретно, для любого целого числа n существует топологическое пространство , и эти пространства снабжены определенными отображениями между ними, так что для любого топологического пространства X получается абелева групповая структура на множестве гомотопических классов непрерывных отображений из X в . Одной из особенностей, отличающих tmf, является тот факт, что ее кольцо коэффициентов (точка) почти совпадает с градуированным кольцом голоморфных модулярных форм с целочисленными касповыми расширениями. Действительно, эти два кольца становятся изоморфными после инвертирования простых чисел 2 и 3, но эта инверсия стирает много информации о кручении в кольце коэффициентов.${\displaystyle \operatorname {tmf} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {tmf} ^{n}(X)}$${\displaystyle \operatorname {tmf} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {tmf} ^{0}}$

Спектр топологических модулярных форм строится как глобальные сечения пучка E -бесконечностных кольцевых спектров на стеке модулей (обобщенных) эллиптических кривых . Эта теория имеет отношение к теории модулярных форм в теории чисел , гомотопическим группам сфер и предположительным теориям индекса на пространствах петель многообразий . tmf был впервые построен Майклом Хопкинсом и Хейнсом Миллером ; многие вычисления можно найти в препринтах и ​​статьях Пола Герсса, Хопкинса, Марка Маховальда , Миллера, Чарльза Резка и Тилмана Бауэра .

Первоначальная конструкция tmf использует теорию препятствий Хопкинса , Миллера и Пола Герсса и основана на идеях Дуайера, Кана и Стовера. В этом подходе определяется предпучок O ^top («top» означает топологический ) мультипликативных теорий когомологий на этальном сайте стека модулей эллиптических кривых и показывается, что его можно поднять по существу единственным образом до пучка спектров колец E-бесконечности. Этот пучок обладает следующим свойством: любой этальной эллиптической кривой над кольцом R он назначает спектр колец E-бесконечности (классическую эллиптическую теорию когомологий ), чья ассоциированная формальная группа является формальной группой этой эллиптической кривой.

Вторая конструкция, созданная Якобом Лурье , строит tmf, скорее описывая проблему модулей, которую она представляет, и применяя общую теорию представимости, чтобы затем показать существование: так же, как стек модулей эллиптических кривых представляет функтор , который назначает кольцу категорию эллиптических кривых над ним, стек вместе с пучком спектров колец E-бесконечности представляет функтор, который назначает кольцу E-бесконечности его категорию ориентированных производных эллиптических кривых, соответствующим образом интерпретированных. Эти конструкции работают над стеком модулей гладких эллиптических кривых, и они также работают для компактификации Делиня-Мамфорда этого стека модулей, в которую включены эллиптические кривые с узловыми особенностями. TMF — это спектр, который получается из глобальных сечений над стеком модулей гладких кривых, а tmf — это спектр, возникающий как глобальные сечения компактификации Делиня-Мамфорда.

TMF является периодической версией связного tmf. В то время как кольцевые спектры, используемые для построения TMF, являются периодическими с периодом 2, сам TMF имеет период 576. Периодичность связана с модульным дискриминантом .

Некоторый интерес к tmf исходит из теории струн и конформной теории поля . Грэм Сигал впервые предложил в 1980-х годах предоставить геометрическую конструкцию эллиптических когомологий (предшественника tmf) как некоторого рода модульного пространства конформных теорий поля, и эти идеи были продолжены и расширены Стефаном Штольцем и Питером Тейхнером. Их программа заключается в попытке построить TMF как модульное пространство суперсимметричных евклидовых теорий поля .

В работе, более непосредственно мотивированной теорией струн, Эдвард Виттен ввел род Виттена , гомоморфизм из кольца струнных бордизмов в кольцо модулярных форм, используя эквивариантную теорию индекса на формальной окрестности тривиального локуса в пространстве петель многообразия. Это сопоставляет любому спиновому многообразию с исчезающей половиной первого класса Понтрягина модулярную форму. Благодаря работе Хопкинса, Мэтью Андо, Чарльза Резка и Нила Стрикленда род Виттена может быть поднят до топологии. То есть, существует отображение из спектра струнных бордизмов в tmf (так называемая ориентация ), такое, что род Виттена восстанавливается как композиция индуцированного отображения на гомотопических группах этих спектров и отображения гомотопических групп tmf в модулярные формы. Это позволило доказать некоторые утверждения о делимости относительно рода Виттена. Ориентация tmf аналогична отображению Атьи–Ботта–Шапиро из спектра спинового бордизма в классическую K-теорию , которая является переносом уравнения Дирака в топологию.

• Бауэр, Тилман (2008). "Вычисление гомотопии спектра TMF". Группы, гомотопия и конфигурационные пространства (Токио 2005) . Монографии по геометрии и топологии. Т. 13. С. 11–40. arXiv : math.AT/0311328 . doi :10.2140/gtm.2008.13.11. S2CID  1396008.
• Беренс, М., Заметки о построении tmf (2007), http://www-math.mit.edu/~mbehrens/papers/buildTMF.pdf
• Дуглас, Кристофер Л.; Фрэнсис, Джон; Энрикес, Андре Г.; и др., ред. (2014). Топологические модулярные формы. Математические обзоры и монографии. Том 201. AMS ISBN 978-1-4704-1884-7.
• Герсс, П. и Хопкинс, М., Пространства модулей коммутативных кольцевых спектров, http://www.math.northwestern.edu/~pgoerss/papers/sum.pdf
• Хопкинс, М. Дж. (2002). «Алгебраическая топология и модулярные формы». Труды Международного конгресса математиков, т. I (Пекин, 2002) . Пекин: Higher Ed. Press. стр. 291–317. arXiv : math.AT/0212397 . ISBN 7-04-008690-5. МР  1989190.
• Хопкинс, М. и Маховальд, М., От эллиптических кривых к теории гомотопии (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf Архивировано 11 сентября 2006 г. на Wayback Machine
• Лури, Дж., Обзор эллиптических когомологий (2007), http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/survey.pdf
• Резк, К., http://www.math.uiuc.edu/~rezk/512-spr2001-notes.pdf
• Штольц, С. и Тейхнер, П., Суперсимметричные евклидовы теории поля и обобщенные когомологии (2008), http://math.berkeley.edu/~teichner/Papers/Survey.pdf