Теорема Рота

В математике теорема Рота или теорема Туэ–Зигеля–Рота является фундаментальным результатом в диофантовых приближениях к алгебраическим числам . Она имеет качественный тип, утверждая, что алгебраические числа не могут иметь много рациональных приближений, которые являются «очень хорошими». Более полувека значение « очень хорошим» здесь уточнялось рядом математиков, начиная с Жозефа Лиувилля в 1844 году и продолжая работами Акселя Туэ  (1909), Карла Людвига Зигеля  (1921), Фримена Дайсона  (1947) и Клауса Рота  (1955).

Теорема Рота утверждает, что каждое иррациональное алгебраическое число имеет показатель аппроксимации, равный 2. Это означает, что для любого выполняется неравенство${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \left|\альфа -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}}$

может иметь только конечное число решений в взаимно простых целых числах и . Доказательство Рота этого факта разрешило гипотезу Зигеля. Из этого следует, что каждое иррациональное алгебраическое число α удовлетворяет${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C(\alpha ,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

с положительным числом, зависящим только от и .${\displaystyle C(\alpha,\varepsilon)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \альфа}$

Первым результатом в этом направлении является теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел, которая дает показатель приближения d для алгебраического числа α степени d  ≥ 2. Этого уже достаточно, чтобы продемонстрировать существование трансцендентных чисел . Туэ понял, что показатель, меньший d, будет иметь приложения к решению диофантовых уравнений , и в теореме Туэ 1909 года установил показатель , который он применил для доказательства конечности решений уравнения Туэ . Теорема Зигеля улучшает это до показателя около 2 √ d , а теорема Дайсона 1947 года имеет показатель около √ 2 d .${\displaystyle d/2+1+\varepsilon }$

Результат Рота с показателем 2 в некотором смысле является наилучшим возможным, поскольку это утверждение не выполняется при установке : по теореме Дирихле о диофантовых приближениях в этом случае существует бесконечно много решений. Однако существует более сильная гипотеза Сержа Ланга , что${\displaystyle \varepsilon =0}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\log(q)^{1+\varepsilon }}}}$

может иметь только конечное число решений в целых числах p и q . Если позволить α пробегать по всему множеству действительных чисел , а не только по алгебраическим действительным числам, то оба вывода Рота и Лэнга справедливы для почти всех . Таким образом, и теорема, и гипотеза утверждают, что определенное счетное множество пропускает определенное множество меры ноль . ^[1]${\displaystyle \альфа}$

Теорема в настоящее время не эффективна : то есть, не известно никаких границ возможных значений p , q при заданных . ^[2] Дэвенпорт и Рот (1955) показали, что методы Рота могут быть использованы для получения эффективной границы для числа p / q, удовлетворяющих неравенству, используя принцип «пробелов». ^[2] Тот факт, что мы на самом деле не знаем C (ε), означает, что проект решения уравнения или ограничения размера решений находится вне досягаемости.${\displaystyle \альфа}$

Метод доказательства включает в себя построение вспомогательного многомерного полинома от произвольно большого числа переменных, зависящих от , что приводит к противоречию при наличии слишком большого количества хороших приближений. Более конкретно, находят определенное количество рациональных приближений к рассматриваемому иррациональному алгебраическому числу, а затем применяют функцию к каждому из них одновременно (т. е. каждое из этих рациональных чисел служит входом для уникальной переменной в выражении, определяющем нашу функцию). По своей природе он был неэффективен (см. эффективные результаты в теории чисел ); это представляет особый интерес, поскольку основным применением этого типа результата является ограничение числа решений некоторых диофантовых уравнений.${\displaystyle \varepsilon}$

Существует более многомерная версия, теорема Шмидта о подпространстве , основного результата. Существуют также многочисленные расширения, например, с использованием p -адической метрики , ^[3] на основе метода Рота.

Уильям Дж. Левек обобщил результат, показав, что аналогичная граница имеет место, когда аппроксимирующие числа берутся из фиксированного поля алгебраических чисел . Определим высоту H (ξ) алгебраического числа ξ как максимум абсолютных значений коэффициентов его минимального многочлена . Зафиксируем κ>2. Для заданного алгебраического числа α и поля алгебраических чисел K уравнение

${\displaystyle |\alpha -\xi |<{\frac {1}{H(\xi)^{\kappa }}}}$

имеет только конечное число решений относительно элементов ξ из K. [ ^4]

• Теорема Дэвенпорта–Шмидта
• Гипотеза Гренвиля–Ланжевена
• Теорема Штёрмера
• Диофантова геометрия

• Дэвенпорт, Х.; Рот , Клаус Фридрих (1955), «Рациональные приближения к алгебраическим числам», Mathematika , 2 (2): 160–167, doi :10.1112/S0025579300000814, ISSN  0025-5793, MR  0077577, Zbl  0066.29302
• Дайсон, Фримен Дж. (1947), «Приближение алгебраических чисел рациональными числами», Acta Mathematica , 79 : 225–240, doi : 10.1007/BF02404697 , ISSN  0001-5962, MR  0023854, Zbl  0030.02101
• Рот, Клаус Фридрих (1955), «Рациональные приближения к алгебраическим числам», Mathematika , 2 : 1–20, 168, doi :10.1112/S0025579300000644, ISSN  0025-5793, MR  0072182, Zbl  0064.28501
• Вольфганг М. Шмидт (1996) [1980], Диофантовы приближения , Lecture Notes in Mathematics , т. 785, Springer, doi :10.1007/978-3-540-38645-2, ISBN 978-3-540-09762-4
• Вольфганг М. Шмидт (1991), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения , Lecture Notes in Mathematics , т. 1467, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0098246, ISBN 978-3-540-54058-8, S2CID  118143570
• Сигель, Карл Людвиг (1921), «Алгебраистический Зален приближения», Mathematische Zeitschrift , 10 (3): 173–213, doi : 10.1007/BF01211608, ISSN  0025-5874, MR  1544471, S2CID  119577458
• Thue, A. (1909), "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1909 (135): 284–305, doi :10.1515/crll.1909.135.284, ISSN  0075-4102, S2CID  125903243

• Бейкер, Алан (1975), Теория трансцендентных чисел , Cambridge University Press , ISBN 0-521-20461-5, ЗБЛ  0297.10013
• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007), Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии, т. 9, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88268-2, ЗБЛ  1145.11004
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006), Высоты в диофантовой геометрии , Новые математические монографии, т. 4, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71229-3, Збл  1130.11034
• Войта, Пол (1987), Диофантовы приближения и теория распределения значений , Lecture Notes in Mathematics, т. 1239, Springer-Verlag , ISBN 3-540-17551-2, ЗБЛ  0609.14011