Теорема Штёрмера
Дает конечную границу для пар последовательных гладких чисел

В теории чисел теорема Штёрмера , названная в честь Карла Штёрмера , дает конечную границу для числа последовательных пар гладких чисел , которые существуют, для заданной степени гладкости, и предоставляет метод для нахождения всех таких пар с использованием уравнений Пелля . Из теоремы Туэ–Зигеля–Рота следует , что существует только конечное число пар этого типа, но Штёрмер дал процедуру для нахождения их всех. [1]

Заявление

Если выбрать конечный набор простых чисел , то P -гладкие числа определяются как набор целых чисел П = { п 1 , п 2 , … п к } {\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\точки p_{k}\}}

{ п 1 е 1 п 2 е 2 ⋯ п к е к ∣ е я ∈ { 0 , 1 , 2 , … } } {\displaystyle \left\{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\mid e_{i}\in \{0,1,2,\ldots \}\right\}}

которые могут быть получены с помощью произведений чисел из P . Тогда теорема Штёрмера утверждает, что для каждого выбора P существует только конечное число пар последовательных P -гладких чисел. Кроме того, она дает метод нахождения их всех с помощью уравнений Пелля.

Процедура

Оригинальная процедура Штёрмера включает решение набора из примерно 3 k уравнений Пелля , в каждом из которых находится только наименьшее решение. Упрощенная версия процедуры, принадлежащая DH Lehmer , [2] описана ниже; она решает меньше уравнений, но находит больше решений в каждом уравнении.

Пусть P — заданный набор простых чисел, и определим число как P - гладкое , если все его простые множители принадлежат P. Предположим, что p 1 = 2 ; в противном случае не могло бы быть последовательных P -гладких чисел, поскольку все P -гладкие числа были бы нечетными. Метод Лемера включает решение уравнения Пелля

х 2 − 2 д у 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-2qy^{2}=1}

для каждого P -гладкого бесквадратного числа q, отличного от 2. Каждое такое число q генерируется как произведение подмножества P , поэтому необходимо решить 2 k − 1 уравнений Пелля. Для каждого такого уравнения пусть x i , y i будут сгенерированными решениями для i в диапазоне от 1 до max(3, ( p k + 1)/2) (включительно), где p k — наибольшее из простых чисел в P .

Тогда, как показывает Лемер, все последовательные пары P -гладких чисел имеют вид ( x i − 1)/2, ( x i + 1)/2 . Таким образом, можно найти все такие пары, проверяя числа этой формы на P -гладкость.

В статье Лемера также показано [3] , что применение аналогичной процедуры к уравнению

х 2 − Д у 2 = 1 , {\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1,}

где D пробегает все P -гладкие бесквадратные числа, отличные от 1, дает пары P -гладких чисел, разделенных 2: тогда гладкие пары имеют вид (x − 1, x + 1) , где ( x , y ) является одним из первых max(3, (max( P ) + 1) / 2) решений этого уравнения.

Пример

Чтобы найти десять последовательных пар {2,3,5}-гладких чисел (в теории музыки , дающих суперчастные отношения для просто настройки ), пусть P = {2,3,5}. Существует семь P -гладких бесквадратных чисел q (опуская восьмое P -гладкое бесквадратное число, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, каждое из которых приводит к уравнению Пелля. Количество решений на уравнение Пелля, требуемое методом Лемера, равно max(3, (5 + 1)/2) = 3, поэтому этот метод генерирует три решения для каждого уравнения Пелля следующим образом.

  • Для q = 1 первые три решения уравнения Пелля x 2 − 2 y 2 = 1 — это (3,2), (17,12) и (99,70). Таким образом, для каждого из трех значений x i = 3, 17 и 99 метод Лемера проверяет пару ( x i  − 1)/2, ( x i  + 1)/2 на гладкость; три пары, которые нужно проверить, — это (1,2), (8,9) и (49,50). И (1,2) , и (8,9) являются парами последовательных P -гладких чисел, но (49,50) — нет, так как 49 имеет 7 в качестве простого множителя.
  • Для q = 3 первые три решения уравнения Пелля x 2 − 6 y 2 = 1 — это (5,2), (49,20) и (485,198). Из трех значений x i = 5, 49 и 485 метод Лемера формирует три пары кандидатов последовательных чисел ( x i  − 1)/2, ( x i  + 1)/2: (2,3), (24,25) и (242,243). Из них (2,3) и (24,25) являются парами последовательных P -гладких чисел, а (242,243) — нет.
  • Для q = 5 первые три решения уравнения Пелля x 2 − 10 y 2 = 1 равны (19,6), (721,228) и (27379,8658). Решение Пелля (19,6) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (9,10) ; два других решения уравнения Пелля не приводят к P -гладким парам.
  • Для q = 6 первые три решения уравнения Пелля x 2 − 12 y 2 = 1 равны (7,2), (97,28) и (1351,390). Решение Пелля (7,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (3,4) .
  • Для q = 10 первые три решения уравнения Пелля x 2 − 20 y 2 = 1 равны (9,2), (161,36) и (2889,646). Решение Пелля (9,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (4,5) , а решение Пелля (161,36) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (80,81) .
  • Для q = 15 первые три решения уравнения Пелля x 2 − 30 y 2 = 1 равны (11,2), (241,44) и (5291,966). Решение Пелля (11,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (5,6) .
  • Для q = 30 первые три решения уравнения Пелля x 2 − 60 y 2 = 1 равны (31,4), (1921,248) и (119071,15372). Решение Пелля (31,4) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (15,16) .

Количество и размер решений

Исходный результат Штёрмера можно использовать для того, чтобы показать, что число последовательных пар целых чисел, которые являются гладкими относительно набора из k простых чисел, не превышает 3 k  − 2 k . Результат Лемера дает более точную оценку для наборов малых простых чисел: (2 k  − 1) × max(3,( p k +1)/2). [4]

Число последовательных пар целых чисел, которые являются гладкими относительно первых k простых чисел, равно

1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345, ... (последовательность A002071 в OEIS ).

Наибольшее целое число из всех этих пар для каждого k равно

2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211, ... (последовательность A117581 в OEIS ).

OEIS также перечисляет количество пар этого типа, где большее из двух целых чисел в паре является квадратным (последовательность A117582 в OEIS ) или треугольным (последовательность A117583 в OEIS ), поскольку оба типа пар встречаются часто.

Размер решений также может быть ограничен: в случае, когда x и x +1 должны быть P -гладкими, тогда [5]

бревно ⁡ ( х ) < М ( 2 + бревно ⁡ ( 8 С ) ) 2 С − бревно ⁡ ( 4 ) , {\displaystyle \log(x)<M(2+\log(8S)){\sqrt {2S}}-\log(4),}

где M = max(3, (max( P ) + 1) / 2) и S — произведение всех элементов P , а в случае, когда гладкая пара — это x ± 1 , мы имеем [6]

бревно ⁡ ( х − 1 ) < М ( 2 + бревно ⁡ ( 4 С ) ) С − бревно ⁡ ( 2 ) . {\displaystyle \log(x-1)<M(2+\log(4S)){\sqrt {S}}-\log(2).}

Обобщения и приложения

Луис Морделл писал об этом результате, что он «очень красивый и имеет множество применений». [7]

В математике

Чейн (1976) использовал метод Штёрмера для доказательства гипотезы Каталана о несуществовании последовательных совершенных степеней (кроме 8,9) в случае, когда одна из двух степеней является квадратом .

Мабхаут (1993) доказал, что каждое число x 4 + 1 при x > 3 имеет простой множитель, больший или равный 137. Теорема Штёрмера является важной частью его доказательства, в котором он сводит задачу к решению 128 уравнений Пелля.

Несколько авторов расширили работу Штёрмера, предложив методы перечисления решений более общих диофантовых уравнений или предложив более общие критерии делимости для решений уравнений Пелля. [8]

Конри, Холмстром и Маклафлин (2013) описывают вычислительную процедуру, которая эмпирически находит многие, но не все последовательные пары гладких чисел, описанные теоремой Штёрмера, и является гораздо более быстрой, чем использование уравнения Пелла для нахождения всех решений.

В теории музыки

В музыкальной практике просто интонирования музыкальные интервалы можно описать как соотношения между положительными целыми числами. Более конкретно, их можно описать как соотношения между членами гармонического ряда . Любой музыкальный тон можно разбить на его основную частоту и гармонические частоты, которые являются целыми кратными основного. Предполагается, что этот ряд является основой естественной гармонии и мелодии. Говорят, что тональная сложность соотношений между этими гармониками становится более сложной с более высокими простыми множителями. Чтобы ограничить эту тональную сложность, интервал называется n -предельным, когда и его числитель, и знаменатель являются n -гладкими . [9] Кроме того, суперчастные соотношения очень важны в теории просто настройки, поскольку они представляют собой соотношения между соседними членами гармонического ряда. [10]

Теорема Штёрмера позволяет найти все возможные суперчастные отношения в заданном пределе. Например, в 3-пределе ( пифагорейская настройка ) единственными возможными суперчастными отношениями являются 2/1 ( октава ), 3/2 ( чистая квинта ), 4/3 ( чистая кварта ) и 9/8 ( целый тон ). То есть, единственными парами последовательных целых чисел, которые имеют только степени двойки и тройки в своих простых факторизациях, являются (1,2), (2,3), (3,4) и (8,9). Если это распространить на 5-предел, то будут доступны шесть дополнительных суперчастных отношений: 5/4 (большая терция ), 6/5 ( малая терция ), 10/9 ( минорный тон ), 16/15 ( малая секунда ), 25/24 ( минорный полутон ) и 81/80 ( синтоническая запятая ). Все они имеют музыкальное значение.

Примечания

  1. ^ Стёрмер (1897).
  2. ^ Лемер (1964), Теорема 1.
  3. ^ Лемер (1964), Теорема 2.
  4. ^ Лемер (1964).
  5. ^ Лемер (1964), Теорема 7.
  6. ^ Лемер (1964), Теорема 8.
  7. ↑ Цитата из книги Чепмена (1958).
  8. ↑ В частности, см. Cao (1991), Luo (1991), Mei & Sun (1997), Sun & Yuan (1989) и Walker (1967).
  9. ^ Партч (1974).
  10. ^ Хэлси и Хьюитт (1972).

Ссылки

  • Цао, Чжэнь Фу (1991). «О диофантовом уравнении ( ax m - 1)/( abx -1) = by 2 ». Chinese Sci. Bull . 36 (4): 275–278. MR  1138803.
  • Chapman, Sydney (1958). «Фредрик Карл Мюлерц Штормер, 1874-1957». Биографические мемуары членов Королевского общества . 4 : 257–279. doi :10.1098/rsbm.1958.0021. JSTOR  769515.
  • Чейн, Э. З. (1976). «Заметка об уравнении x 2 = y q + 1». Труды Американского математического общества . 56 (1): 83–84. doi :10.2307/2041579. JSTOR  2041579. MR  0404133.
  • Conrey, JB; Holmstrom, MA; McLaughlin, TL (2013). «Гладкие соседи». Experimental Mathematics . 22 (2): 195–202. arXiv : 1212.5161 . doi : 10.1080/10586458.2013.768483. MR  3047912.
  • Хэлси, ГД; Хьюитт, Эдвин (1972). «Еще о суперчастных отношениях в музыке». American Mathematical Monthly . 79 (10): 1096–1100. doi :10.2307/2317424. JSTOR  2317424. MR  0313189.
  • Lehmer, DH (1964). «О проблеме Штёрмера». Illinois Journal of Mathematics . 8 : 57–79. doi : 10.1215/ijm/1256067456 . MR  0158849.
  • Ло, Цзя Гуй (1991). «Обобщение теоремы Штёрмера и некоторые приложения». Sichuan Daxue Xuebao . 28 (4): 469–474. MR  1148835.
  • Мабхаут, М. (1993). «Минорация П ( х 4 +1)». Ренд. Сем. Фак. наук. унив. Кальяри . 63 (2): 135–148. МР  1319302.
  • Мэй, Хань Фэй; Сан, Шэн Фан (1997). «Дальнейшее расширение теоремы Штёрмера». Журнал университета Цзишоу (издание по естественным наукам) (на китайском языке). 18 (3): 42–44. MR  1490505.
  • Партч, Гарри (1974). Генезис музыки: отчет о творческой работе, ее корнях и ее достижениях (2-е изд.). Нью-Йорк: Da Capo Press. стр. 73. ISBN 0-306-71597-X.
  • Стермер, Карл (1897). «Quelques theorèmes sur l'équation de Pell et leurs application». Срифтер Виденскабс-сельскабет (Христиания), Мат.-Натурв. кл . Я (2). х 2 − Д у 2 = ± 1 {\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=\pm 1}
  • Солнце, Ци; Юань, Пин Чжи (1989). «О диофантовых уравнениях и ». Сычуань Дасюэ Сюэбао . 26 : 20–24. МР  1059671. ( а х н − 1 ) / ( а х − 1 ) = у 2 {\displaystyle (ax^{n}-1)/(ax-1)=y^{2}} ( а х н + 1 ) / ( а х + 1 ) = у 2 {\displaystyle (ax^{n}+1)/(ax+1)=y^{2}}
  • Уокер, Д. Т. (1967). «О диофантовом уравнении mX 2 - nY 2 = ±1». American Mathematical Monthly . 74 (5): 504–513. doi :10.2307/2314877. JSTOR  2314877. MR  0211954.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Størmer%27s_theorem&oldid=1250013026"