Уравнение Туэ

В математике уравнение Туэ — это диофантово уравнение вида

$${\displaystyle f(x,y)=r,}$$

где — неприводимая двумерная форма степени не ниже 3 над рациональными числами , а — ненулевое рациональное число. Она названа в честь Акселя Туэ , который в 1909 году доказал , что уравнение Туэ может иметь только конечное число решений в целых числах и , результат, известный как теорема Туэ . ^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

Уравнение Туэ эффективно разрешимо : существует явная граница решений вида , где константы и зависят только от вида . Имеет место более сильный результат: если — поле, порожденное корнями , то уравнение имеет только конечное число решений с и целыми числами , и снова их можно эффективно определить. ^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle (C_{1}r)^{C_{2}}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle К}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle К}$

Первоначальное доказательство Туэ того, что уравнение, названное в его честь, имеет конечное число решений, основано на доказательстве того, что сейчас известно как теорема Туэ : она утверждает, что для любого алгебраического числа, имеющего степень и для любого существует лишь конечное число взаимно простых целых чисел с таким, что . Применение этой теоремы позволяет почти немедленно вывести конечность решений. Однако доказательство Туэ, а также последующие усовершенствования Сигеля , Дайсона и Рота оказались неэффективными.${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle д>0}$${\displaystyle |\альфа -p/q|<q^{-(d+1+\varepsilon )/2}}$

Найти все решения уравнения Туэ можно с помощью практического алгоритма ^[3], который был реализован в следующих системах компьютерной алгебры :

• в PARI/GP как функции thueinit() и thue() .
• в Magma как функции ThueObject() и ThueSolve() .
• в Mathematica через Reduce[]
• в Maple через ThueSolve()

Хотя существует несколько эффективных методов решения уравнений Туэ (включая метод Бейкера и p -адический метод Сколема ), они не способны дать наилучшие теоретические границы числа решений. Эффективную границу уравнения Туэ можно определить по параметрам, от которых оно зависит, и по тому, насколько «хороша» эта зависимость. ${\displaystyle C(f,r)}$${\displaystyle f(x,y)=r}$

Лучший результат, известный на сегодняшний день, по сути, основанный на пионерской работе Бомбьери и Шмидта , ^[4] дает границу вида , где — абсолютная константа (то есть независимая как от , так и от ), а — число различных простых множителей . Наиболее значительное качественное улучшение теоремы Бомбьери и Шмидта принадлежит Стюарту , ^[5], который получил границу вида , где — делитель , превышающий по абсолютной величине . Предполагается , что можно взять границу ; то есть зависящую только от степени , но не от ее коэффициентов , и полностью независимую от целого числа в правой части уравнения. ${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (r)}}$${\displaystyle С}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \омега (\cdot)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (g)}}$${\displaystyle г}$${\displaystyle r}$${\displaystyle |г|^{3/4}}$${\displaystyle C(f,r)=C(\deg f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

Это более слабая форма гипотезы Стюарта , и является частным случаем гипотезы равномерной ограниченности для рациональных точек . Эта гипотеза была доказана для «малых» целых чисел , где малость измеряется в терминах дискриминанта формы , различными авторами, включая Эвертсе, Стюарта и Ахтари . Стюарт и Сяо продемонстрировали сильную форму этой гипотезы, утверждая, что число решений абсолютно ограничено, выполняется в среднем (как пробегает интервал с ). ^[6]${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle |r|\leq Z}$${\displaystyle Z\rightarrow \infty}$

• Теорема Рота
• Теорема Фалтингса

• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том 9. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88268-2.

Эта статья по теории чисел — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е