Теорема о подпространстве

В математике теорема о подпространстве гласит, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей . Это результат, полученный Вольфгангом М. Шмидтом  (1972).

Теорема о подпространстве утверждает, что если L ₁ ,..., L _n — линейно независимые линейные формы от n переменных с алгебраическими коэффициентами и если ε>0 — любое заданное действительное число, то ненулевые целые точки x с

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }}$

лежат в конечном числе собственных подпространств Q n ^.

Количественная форма теоремы, определяющая число подпространств, содержащих все решения, была также получена Шмидтом, а теорема была обобщена Шликкевеем (1977), чтобы разрешить более общие абсолютные значения для числовых полей .

Теорема может быть использована для получения результатов по диофантовым уравнениям , таким как теорема Зигеля о целых точках и решение уравнения S-единицы . ^[1]

Следующее следствие теоремы о подпространстве часто само называется теоремой о подпространстве . Если a ₁ ,..., a _n являются алгебраическими, такими, что 1, a ₁ ,..., a _n линейно независимы над Q и ε>0 является любым заданным действительным числом, то существует только конечное число рациональных n -кортежей ( x ₁ /y,..., x _n /y) с

${\displaystyle |a_{i}-x_{i}/y|<y^{-(1+1/n+\epsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Специализация n = 1 дает теорему Туэ–Зигеля–Рота . Можно также отметить, что показатель 1+1/ n +ε наилучшим образом соответствует теореме Дирихле о диофантовых приближениях .

• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том 4. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3. MR  2216774. Zbl  1130.11034.
• Шликкевей, Ганс Петер (1977). «Об уравнениях норменной формы». J. Number Theory . 9 (3): 370–380. doi : 10.1016/0022-314X(77)90072-5 . MR  0444562.
• Шмидт, Вольфганг М. (1972). «Уравнения нормированной формы». Annals of Mathematics . Вторая серия. 96 (3): 526–551. doi :10.2307/1970824. JSTOR  1970824. MR  0314761.
• Шмидт, Вольфганг М. (1980). Диофантовы приближения . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 785 (1996 с небольшими исправлениями ред.). Berlin: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN 3-540-09762-7. MR  0568710. Zbl  0421.10019.
• Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том 1467. Берлин: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0098246. ISBN 3-540-54058-X. МР  1176315. S2CID  118143570. Збл  0754.11020.