p-адическое число

В теории чисел , если задано простое число p , p -адические числа образуют расширение рациональных чисел , которое отличается от действительных чисел , хотя и обладает некоторыми схожими свойствами; p -адические числа можно записать в форме, похожей на (возможно, бесконечные ) десятичные дроби , но с цифрами, основанными на простом числе p, а не на десяти, и расширяющимися влево, а не вправо.

Например, сравнивая разложение рационального числа по основанию 3 с 3- адическим разложением,${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$

Формально, если дано простое число p , то p -адическое число можно определить как ряд

${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$

где k — целое число (возможно, отрицательное), а каждое — целое число, такое что A p -адическое целое число — это p -адическое число, такое что${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$${\displaystyle k\geq 0.}$

В общем случае ряд, представляющий p -адическое число, не является сходящимся в обычном смысле, но он сходится для p -адического абсолютного значения , где k — наименьшее целое число i, такое что (если все числа равны нулю, то получается нулевое p -адическое число, абсолютное значение которого равно 0 ).${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle a_{i}}$

Каждое рациональное число может быть однозначно выражено как сумма ряда, как указано выше, относительно p -адического абсолютного значения. Это позволяет рассматривать рациональные числа как специальные p -адические числа, и альтернативно определять p -адические числа как пополнение рациональных чисел для p -адического абсолютного значения, точно так же, как действительные числа являются пополнением рациональных чисел для обычного абсолютного значения.

p -адические числа были впервые описаны Куртом Гензелем в 1897 году ^[1], хотя, оглядываясь назад, некоторые из ранних работ Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявно использующие p -адические числа. ^{[примечание 1]}

Грубо говоря, модульная арифметика по модулю положительного целого числа n состоит из «приближения» каждого целого числа к остатку от его деления на n , называемому его вычетом по модулю n . Главное свойство модульной арифметики состоит в том, что остаток по модулю n результата последовательности операций над целыми числами совпадает с результатом той же последовательности операций над остатками по модулю n . Если известно, что абсолютное значение результата меньше n/2 , это позволяет вычислить результат, который не включает в себя никаких целых чисел больше n .

Для получения более крупных результатов старый метод, который до сих пор широко используется, состоит в использовании нескольких малых модулей, которые попарно взаимно просты, и применении китайской теоремы об остатках для восстановления результата по модулю произведения модулей.

Другой метод, открытый Куртом Гензелем, состоит в использовании простого модуля p и применении леммы Гензеля для итеративного восстановления результата по модулю. Если процесс продолжается бесконечно, это в конечном итоге дает результат, который является p -адическим числом.${\displaystyle p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots }$

Теория p -адических чисел в своей основе основана на двух следующих леммах:

Каждое ненулевое рациональное число можно записать так, где v , m и n — целые числа, и ни m, ни n не делятся на p .${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$ Показатель v однозначно определяется рациональным числом и называется его p -адической оценкой (это определение является частным случаем более общего определения, данного ниже). Доказательство леммы следует непосредственно из основной теоремы арифметики .

Каждое ненулевое рациональное число r оценки v может быть однозначно записано , где s — рациональное число оценки, большее v , а a — целое число, такое что${\displaystyle r=ap^{v}+s,}$${\displaystyle 0<а<п.}$

Доказательство этой леммы следует из модульной арифметики : По приведенной выше лемме, где m и n — целые числа, взаимно простые с p . Модульное обратное число n — это целое число q, такое что для некоторого целого числа h . Следовательно, имеем и Евклидово деление на p дает , где поскольку mq не делится на p . Итак,${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$${\displaystyle nq=1+ph}$${\textstyle {\frac {1}{n}}=qp{\frac {h}{n}},}$${\textstyle r=p^{v}mq-p^{v+1}{\frac {hm}{n}}.}$${\displaystyle mq}$${\displaystyle mq=pk+a}$${\displaystyle 0<а<п,}$

${\displaystyle r=ap^{v}+p^{v+1}{\frac {kn-hm}{n}},}$

что является желаемым результатом.

Это можно повторить, начав с s вместо r , что даст следующее.

При наличии ненулевого рационального числа r оценки v и положительного целого числа k существует рациональное число неотрицательной оценки и k однозначно определенных неотрицательных целых чисел, меньших p, таких, что и${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{k-1}}$${\displaystyle а_{0}>0}$

${\displaystyle r=a_{0}p^{v}+a_{1}p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}p^{v+k-1}+p^{v +k}s_{k}.}$

P -адические числа по существу получаются путем бесконечного продолжения этого ряда .

P -адические числа обычно определяются с помощью p - адических рядов.

Ряд p -адический — это формальный степенной ряд вида

${\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$

где — целое число, а — рациональные числа, которые либо равны нулю, либо имеют неотрицательное значение (то есть знаменатель не делится на p ).${\displaystyle v}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$

Каждое рациональное число можно рассматривать как p -адический ряд с единственным ненулевым членом, состоящий из его факторизации вида, где n и d взаимно просты с p .${\displaystyle p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$

Два p -адических ряда и эквивалентны , если существует целое число N такое, что для каждого целого числа рациональное число ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}$

равен нулю или имеет p -адическую оценку больше n .

Ряд p -адический нормализован , если либо все являются целыми числами, такими что и , либо все равны нулю. В последнем случае ряд называется нулевым рядом .${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p,}$${\displaystyle a_{v}>0,}$${\displaystyle a_{i}}$

Каждый p -адический ряд эквивалентен ровно одному нормализованному ряду. Этот нормализованный ряд получается последовательностью преобразований, которые являются эквивалентностями рядов; см. § Нормализация p-адического ряда ниже.

Другими словами, эквивалентность p -адических рядов является отношением эквивалентности , и каждый класс эквивалентности содержит ровно один нормализованный p -адический ряд.

Обычные операции рядов (сложение, вычитание, умножение, деление) совместимы с эквивалентностью p -адических рядов. То есть, обозначая эквивалентность как ~ , если S , T и U являются ненулевыми p -адическими рядами такими, что имеем${\displaystyle S\sim T,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}$

P -адические числа часто определяются как классы эквивалентности p -адических рядов, аналогично определению действительных чисел как классов эквивалентности последовательностей Коши . Свойство единственности нормализации позволяет однозначно представить любое p -адическое число соответствующим нормализованным p -адическим рядом. Совместимость эквивалентности рядов почти сразу приводит к основным свойствам p -адических чисел:

• Сложение , умножение и мультипликативное обратное p - адических чисел определяются как для формальных степенных рядов с последующей нормализацией результата.
• С помощью этих операций p -адические числа образуют поле , которое является полем расширения рациональных чисел.
• Оценка ненулевого p -адического числа x , обычно обозначаемая как показатель степени p в первом ненулевом члене соответствующего нормализованного ряда; оценка нуля равна${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$
• P -адическое абсолютное значение ненулевого p -адического числа x равно для нулевого p -адического числа , имеем${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

Начиная с ряда, первая из приведенных выше лемм позволяет получить эквивалентный ряд, такой что p -адическая оценка равна нулю. Для этого рассматривается первый ненулевой Если его p -адическая оценка равна нулю, достаточно заменить v на i , то есть начать суммирование с v . В противном случае p -адическая оценка равна и где оценка равна нулю; таким образом, можно получить эквивалентный ряд, изменив на 0 и на Повторяя этот процесс, можно в конечном итоге, возможно, после бесконечного числа шагов, получить эквивалентный ряд, который либо является нулевым рядом, либо является рядом, таким что оценка равна нулю.${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$${\displaystyle r_{v}}$${\displaystyle r_{i}.}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle j>0,}$${\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i+j}}$${\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.}$${\displaystyle r_{v}}$

Затем, если ряд не нормализован, рассмотрим первый ненулевой ряд , который не является целым числом в интервале. Вторая из приведенных выше лемм позволяет записать это так: можно получить n эквивалентных рядов, заменив их на и прибавив к. Повторение этого процесса, возможно, бесконечное число раз, в конечном итоге дает желаемый нормализованный p -адический ряд.${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle [0,p-1].}$${\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i};}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle a_{i},}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i+1}.}$

Существует несколько эквивалентных определений p -адических чисел. Приведенное здесь относительно элементарно, поскольку не включает в себя никаких других математических понятий, кроме введенных в предыдущих разделах. Другие эквивалентные определения используют пополнение дискретного кольца оценки (см. § p-адические целые числа), пополнение метрического пространства (см. § Топологические свойства) или обратные пределы (см. § Модульные свойства).

P -адическое число можно определить как нормализованный p -адический ряд . Поскольку существуют и другие эквивалентные определения, которые обычно используются, часто говорят, что нормализованный p -адический ряд представляет p -адическое число, вместо того, чтобы говорить, что это p -адическое число .

Можно также сказать, что любой p -адический ряд представляет p -адическое число, поскольку каждый p -адический ряд эквивалентен уникальному нормализованному p -адическому ряду. Это полезно для определения операций (сложения, вычитания, умножения, деления) p -адических чисел: результат такой операции получается путем нормализации результата соответствующей операции над рядом. Это хорошо определяет операции над p -адическими числами, поскольку операции над рядом совместимы с эквивалентностью p -адических рядов.

С помощью этих операций p -адические числа образуют поле, называемое полем p -адических чисел и обозначаемое или Существует единственный гомоморфизм поля из рациональных чисел в p -адические числа, который отображает рациональное число в его p -адическое расширение. Образ этого гомоморфизма обычно отождествляют с полем рациональных чисел. Это позволяет рассматривать p -адические числа как поле расширения рациональных чисел, а рациональные числа как подполе p -адических чисел.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$

Оценка ненулевого p -адического числа x , обычно обозначаемая как показатель степени p в первом ненулевом члене каждого p -адического ряда, представляющего x . По соглашению, оценка нуля равна Эта оценка является дискретной оценкой . Ограничением этой оценки на рациональные числа является p -адическая оценка , то есть показатель степени v в факторизации рационального числа как с n и d, взаимно простыми с p .${\displaystyle v_{p}(x),}$${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$${\displaystyle \infty .}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}$

Целые p -адические числа — это p -адические числа с неотрицательной оценкой.

Целое p -адическое число можно представить в виде последовательности

${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$

остатков x _e mod p ^e для каждого целого числа e , удовлетворяющих соотношениям совместимости для i < j .${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$

Каждое целое число является p -адическим целым числом (включая ноль, так как ). Рациональные числа вида с d взаимно просты с p и также являются p -адическими целыми числами (по той причине, что d имеет обратное mod p ^e для каждого e ).${\displaystyle 0<\infty }$${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$${\displaystyle k\geq 0}$

Целые p -адические числа образуют коммутативное кольцо , обозначаемое или , которое обладает следующими свойствами.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

• Это область целостности , поскольку она является подкольцом поля, или поскольку первый член представления ряда произведения двух ненулевых p -адических рядов является произведением их первых членов.
• Единицами (обратимыми элементами) являются p -адические числа нулевой оценки .${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Это область главных идеалов , в которой каждый идеал порождается степенью числа p .
• Это локальное кольцо размерности Крулля один, поскольку его единственными простыми идеалами являются нулевой идеал и идеал, порожденный p , единственный максимальный идеал .
• Это кольцо дискретной оценки , поскольку это следует из предыдущих свойств.
• Это завершение локального кольца , которое является локализацией в простом идеале${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

Последнее свойство дает определение p -адических чисел, эквивалентное приведенному выше: поле p -адических чисел — это поле дробей пополнения локализации целых чисел в простом идеале, порожденном p .

P - адическое оценивание позволяет определить абсолютное значение p -адических чисел : p -адическое абсолютное значение ненулевого p -адического числа x равно

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$

где — p -адическая оценка x . P -адическая абсолютная величина равна Это абсолютная величина, которая удовлетворяет сильному неравенству треугольника , поскольку для каждых x и y выполняется${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$если и только если${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Более того, если у кого-то есть${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$${\displaystyle |x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).}$

Это делает p -адические числа метрическим пространством и даже ультраметрическим пространством с p -адическим расстоянием , определяемым как${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Как метрическое пространство, p -адические числа образуют пополнение рациональных чисел, снабженное p -адическим абсолютным значением. Это дает другой способ определения p -адических чисел. Однако общая конструкция пополнения может быть упрощена в этом случае, поскольку метрика определяется дискретным оцениванием (короче говоря, можно извлечь из каждой последовательности Коши подпоследовательность, такую, что разности между двумя последовательными членами имеют строго убывающие абсолютные значения; такая подпоследовательность является последовательностью частичных сумм p -адического ряда , и, таким образом, уникальный нормализованный p -адический ряд может быть связан с каждым классом эквивалентности последовательностей Коши; поэтому для построения пополнения достаточно рассмотреть нормализованные p -адические ряды вместо классов эквивалентности последовательностей Коши).

Поскольку метрика определяется из дискретной оценки, каждый открытый шар также закрыт . Точнее, открытый шар равен закрытому шару , где v — наименьшее целое число, такое что Аналогично, где w — наибольшее целое число, такое что${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$${\displaystyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$${\displaystyle p^{-v}<r.}$${\displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$${\displaystyle p^{-w}>r.}$

Это означает, что p -адические числа образуют локально компактное пространство , а p -адические целые числа, то есть шар, образуют компактное пространство .${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$

Десятичное разложение положительного рационального числа — это его представление в виде ряда${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$

где — целое число, а каждое — также целое число, такое что Это разложение можно вычислить путем деления числителя на знаменатель в столбик, что само по себе основано на следующей теореме: Если — рациональное число, такое что существует целое число, такое что и при этом Десятичное разложение получается путем многократного применения этого результата к остатку , который в итерации принимает на себя роль исходного рационального числа .${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$${\displaystyle 10^{k}\leq r<10^{k+1},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0<a<10,}$${\displaystyle r=a\,10^{k}+r',}$${\displaystyle r'<10^{k}.}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle r}$

P - адическое разложение рационального числа определяется аналогично, но с другим шагом деления. Точнее, если задано фиксированное простое число , каждое ненулевое рациональное число может быть однозначно записано как , где — (возможно, отрицательное) целое число, и — взаимно простые целые числа, оба взаимно простые с , и — положительное. Целое число — это p -адическое значение числа , обозначаемое , а — его p -адическое абсолютное значение , обозначаемое (абсолютное значение мало, когда оценка велика). Шаг деления состоит в записи ${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle v_{p}(r),}$${\displaystyle p^{-k}}$${\displaystyle |r|_{p}}$

${\displaystyle r=a\,p^{k}+r'}$

где — целое число, такое что и — либо ноль, либо рациональное число, такое что (то есть ).${\displaystyle a}$${\displaystyle 0\leq a<p,}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle |r'|_{p}<p^{-k}}$${\displaystyle v_{p}(r')>k}$

Адическое разложение — это формальный степенной ряд${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

полученный путем повторения указанного выше шага деления на последовательные остатки. В p -адическом расширении все являются целыми числами, такими что${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$

Если при , процесс в конечном итоге останавливается с нулевым остатком; в этом случае ряд завершается конечными членами с нулевым коэффициентом и представляет собой представление в системе счисления с основанием p .${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle r}$

Существование и вычисление p -адического разложения рационального числа вытекает из тождества Безу следующим образом. Если, как и выше, и и взаимно просты, то существуют целые числа и такие, что Так что${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle td+up=1.}$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.}$

Тогда евклидово деление на дает${\displaystyle nt}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle nt=qp+a,}$

с Это дает шаг деления как ${\displaystyle 0\leq a<p.}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}}$

так что в итерации

${\displaystyle r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}$

новое рациональное число.

Единственность шага деления и всего p -адического разложения проста: если есть Это означает, что делит Поскольку и должно быть верно следующее: и Таким образом, получается и поскольку делит , то должно быть так, что${\displaystyle p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}.}$${\displaystyle 0\leq a_{1}<p}$${\displaystyle 0\leq a_{2}<p,}$${\displaystyle 0\leq a_{1}}$${\displaystyle a_{2}<p.}$${\displaystyle -p<a_{1}-a_{2}<p,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=a_{2}.}$

P - адическое разложение рационального числа — это ряд, который сходится к рациональному числу, если применить определение сходящегося ряда с p -адическим абсолютным значением. В стандартной p -адической записи цифры записываются в том же порядке, что и в стандартной системе с основанием p , а именно, с увеличением степеней основания слева. Это означает, что построение цифр происходит в обратном порядке, и предел происходит с левой стороны.

P -адическое разложение рационального числа в конечном итоге является периодическим . Наоборот , ряд с сходится (для p -адического абсолютного значения) к рациональному числу тогда и только тогда, когда он в конечном итоге является периодическим; в этом случае ряд является p -адическим разложением этого рационального числа. Доказательство аналогично доказательству аналогичного результата для повторяющихся десятичных дробей .${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$

Давайте вычислим 5-адическое разложение тождества Безу для 5 и знаменателя 3 (для более крупных примеров это можно вычислить с помощью расширенного алгоритма Евклида ). Таким образом${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}$${\displaystyle 2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5({\frac {-1}{3}}).}$

Для следующего шага необходимо выполнить расширение (множитель 5 следует рассматривать как « сдвиг » p -адической оценки, аналогичной основе любого числового расширения, и, таким образом, его самого не следует расширять). Чтобы расширить , мы начинаем с того же тождества Безу и умножаем его на , что дает${\displaystyle -1/3}$${\displaystyle -1/3}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.}$

"Целая часть" не находится в правильном интервале. Поэтому нужно использовать евклидово деление для получения, что дает${\displaystyle -2}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle -2=3-1\cdot 5,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}}=3+5({\frac {-2}{3}}),}$

и расширение на первом этапе становится

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5\cdot (3+5\cdot ({\frac {-2}{3}}))=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.}$

Аналогично, есть

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.}$

Поскольку «остаток» уже найден, процесс можно легко продолжить, дав коэффициенты для нечетных степеней пятерки и для четных степеней. Или в стандартной 5-адической нотации${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}}$

с многоточием слева.${\displaystyle \ldots }$

Можно использовать позиционную запись, аналогичную той, которая используется для представления чисел в системе счисления с основанием p .

Пусть будет нормализованным p -адическим рядом, т.е. каждое является целым числом в интервале Можно предположить, что, положив для (если ), и добавив полученные нулевые члены к ряду.${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle [0,p-1].}$${\displaystyle k\leq 0}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle 0\leq i<k}$${\displaystyle k>0}$

Если позиционная запись состоит из последовательной записи, упорядоченной по убыванию значений i , часто с p, появляющимся справа в качестве индекса:${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}}$

Итак, расчет приведенного выше примера показывает, что

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},}$

и

${\displaystyle {\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.}$

Когда разделительная точка добавляется перед цифрами с отрицательным индексом, и, если индекс p присутствует, он появляется сразу после разделительной точки. Например,${\displaystyle k<0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.}$

Если p -адическое представление конечно слева (то есть для больших значений i ), то оно имеет значение неотрицательного рационального числа вида с целыми числами. Эти рациональные числа являются в точности неотрицательными рациональными числами, имеющими конечное представление по основанию p . Для этих рациональных чисел два представления одинаковы.${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle np^{v},}$${\displaystyle n,v}$

Кольцо частных можно отождествить с кольцом целых чисел по модулю Это можно показать, заметив, что каждое p -адическое целое число, представленное его нормализованным p -адическим рядом, сравнимо по модулю со своей частичной суммой , значение которой является целым числом в интервале Прямая проверка показывает, что это определяет изоморфизм колец от до${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{n}.}$${\displaystyle p^{n}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

Обратный предел колец определяется как кольцо, образованное последовательностями такими, что и для каждого i .${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

Отображение, которое отображает нормализованный p -адический ряд в последовательность его частичных сумм, является кольцевым изоморфизмом из в обратный предел Это дает еще один способ определения p -адических целых чисел ( с точностью до изоморфизма).${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$

Это определение p -адических целых чисел особенно полезно для практических вычислений, поскольку позволяет строить p -адические целые числа путем последовательных приближений.

Например, для вычисления p -адического (мультипликативного) обратного целого числа можно использовать метод Ньютона , начиная с обратного по модулю p ; затем каждый шаг Ньютона вычисляет обратное по модулю из обратного по модулю${\textstyle p^{n^{2}}}$${\textstyle p^{n}.}$

Тот же метод можно использовать для вычисления p -адического квадратного корня целого числа, которое является квадратичным вычетом по модулю p . Это, по-видимому, самый быстрый известный метод проверки того, является ли большое целое число квадратом: достаточно проверить, является ли данное целое число квадратом значения, найденного в . Применение метода Ньютона для нахождения квадратного корня требует, чтобы оно было больше, чем удвоенное заданное целое число, что быстро удовлетворяется.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\textstyle p^{n}}$

Подъем Гензеля — это похожий метод, который позволяет «поднять» факторизацию по модулю p полинома с целыми коэффициентами до факторизации по модулю для больших значений n . Это обычно используется алгоритмами факторизации полиномов .${\textstyle p^{n}}$

Существует несколько различных соглашений для записи p -адических расширений . До сих пор в этой статье использовалась нотация для p -адических расширений, в которой степени p увеличиваются справа налево. С этой нотацией справа налево 3-адическое расширение, например, записывается как${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

При выполнении арифметических действий в этой нотации цифры переносятся влево. Также возможно записать p -адические разложения так, чтобы степени p увеличивались слева направо, а цифры переносились вправо. При такой записи слева направо 3-адическое разложение имеет вид${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

p -адические расширения могут быть записаны с другими наборами цифр вместо {0, 1, ...,  p  − 1 }. Например, 3 -адическое расширение может быть записано с использованием сбалансированных троичных цифр { 1 , 0, 1 }, где 1 представляет отрицательную единицу, как${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$

Фактически любой набор целых чисел p , которые находятся в различных классах остатков по модулю p, может быть использован как p -адические цифры. В теории чисел представители Тейхмюллера иногда используются как цифры. ^[2]

Кавычковая нотация — это вариантp-адического представлениярациональных чисел, предложенный в 1979 годуЭриком ХенеромиНайджелом Хорспуломдля реализации на компьютерах (точной) арифметики с этими числами.^[3]

Оба и несчетны и имеют мощность континуума . ^[4] Ибо это следует из p -адического представления, которое определяет биекцию на множестве степеней Ибо это следует из его выражения как счетного бесконечного объединения копий :${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$содержит и является полем характеристики 0 .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Поскольку 0 можно записать как сумму квадратов, ^[5] нельзя превратить в упорядоченное поле .${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Поле действительных чисел имеет только одно собственное алгебраическое расширение : комплексные числа . Другими словами, это квадратичное расширение уже алгебраически замкнуто . Напротив, алгебраическое замыкание , обозначенное имеет бесконечную степень, ^[6] то есть имеет бесконечно много неэквивалентных алгебраических расширений. Также контрастируя со случаем действительных чисел, хотя существует единственное расширение p -адической оценки, последнее не является (метрически) полным. ^{[7] [8]} Его (метрическое) завершение называется или . ^{[8] [9]} Здесь достигается конец, так как является алгебраически замкнутым. ^{[8] [10]} Однако в отличие от этого поле не является локально компактным . ^[9]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \Omega _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$и изоморфны как кольца, ^[11] поэтому мы можем считать, что наделены экзотической метрикой. Доказательство существования такого изоморфизма полей опирается на аксиому выбора и не дает явного примера такого изоморфизма (то есть оно не является конструктивным ).${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если — любое конечное расширение Галуа группы , то группа Галуа разрешима . Таким образом, группа Галуа проразрешима .${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$содержит n -ое циклотомическое поле ( n > 2 ) тогда и только тогда, когда n  | p − 1 . ^[12] Например, n -ое циклотомическое поле является подполем тогда и только тогда, когда n = 1, 2, 3, 4, 6 или 12 . В частности, нет мультипликативного p - кручения в , если p > 2 . Кроме того, −1 является единственным нетривиальным элементом кручения в .${\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$

Для данного натурального числа k индекс мультипликативной группы k -х степеней ненулевых элементов in конечен.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$

Число e , определяемое как сумма обратных величин факториалов , не является членом какого-либо p -адического поля; но для . При p = 2 необходимо взять по крайней мере четвертую степень. ^[13] (Таким образом, число с аналогичными свойствами, как e , а именно корень степени p из e ^p , является членом для всех p .)${\displaystyle e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p\neq 2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Локально-глобальный принцип Хельмута Хассе считается справедливым для уравнения, если его можно решить над рациональными числами , если и только если его можно решить над действительными числами и над p -адическими числами для каждого простого числа  p . Этот принцип справедлив, например, для уравнений, заданных квадратичными формами , но не выполняется для высших многочленов от нескольких неизвестных.

Действительные числа и p -адические числа являются пополнениями рациональных чисел; также возможно пополнить другие поля, например, общие алгебраические числовые поля , аналогичным образом. Это будет описано сейчас.

Предположим, что D — дедекиндова область , а E — ее поле дробей . Выберите ненулевой простой идеал P в D. Если x — ненулевой элемент E , то xD — дробный идеал и может быть однозначно разложен на множители как произведение положительных и отрицательных степеней ненулевых простых идеалов D. Мы записываем ord _P ( x ) для показателя степени P в этой факторизации, и для любого выбора числа c, большего 1, мы можем установить

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

Завершение относительно этого абсолютного значения |⋅| _P дает поле E _P , соответствующее обобщение поля p -адических чисел для этой установки. Выбор c не меняет завершения (разные выборы дают одно и то же понятие последовательности Коши, поэтому одно и то же завершение). Удобно, когда поле вычетов D / P конечно, брать для c размер D / P .

Например, когда E является числовым полем , теорема Островского гласит, что каждое нетривиальное неархимедово абсолютное значение на E возникает как некоторый |⋅| _P. Остальные нетривиальные абсолютные значения на E возникают из различных вложений E в действительные или комплексные числа. (На самом деле, неархимедовы абсолютные значения можно рассматривать просто как различные вложения E в поля C _p , тем самым помещая описание всех нетривиальных абсолютных значений числового поля на общую основу.)

Часто необходимо одновременно отслеживать все вышеупомянутые завершения, когда E является числовым полем (или, в более общем смысле, глобальным полем ), которые рассматриваются как кодирующие «локальную» информацию. Это достигается с помощью колец аделей и групп иделей .

p -адические целые числа могут быть расширены до p -адических соленоидов . Существует отображение из в группу окружностей , волокнами которой являются p -адические целые числа , по аналогии с тем, как существует отображение из в окружность, волокнами которой являются .${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

На Викискладе есть медиафайлы по теме P-адические числа .

• Вайсштейн, Эрик В. "p-адическое число". MathWorld .
• p-адическое число в Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics