Действие тетрадического Палатини

Эта статья может быть запутанной или непонятной для читателей . В частности, нет указаний на то, в каком контексте это уравнение может быть использовано, или кто его разработал. Пожалуйста, помогите прояснить статью . Об этом может быть обсуждение на странице обсуждения . ( Май 2013 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Действие Эйнштейна–Гильберта для общей теории относительности было впервые сформулировано исключительно в терминах метрики пространства-времени. Взять метрику и аффинную связь в качестве независимых переменных в принципе действия впервые рассмотрел Палатини . ^[1] Это называется формулировкой первого порядка, поскольку переменные, по которым нужно варьировать, включают только первые производные в действии и, таким образом, не усложняют уравнения Эйлера–Лагранжа более высокими производными членами. Тетрадическое действие Палатини является еще одной формулировкой первого порядка действия Эйнштейна–Гильберта в терминах другой пары независимых переменных, известных как поля фрейма и спиновая связь . Использование полей фрейма и спиновых связей имеет важное значение в формулировке общековариантного фермионного действия (см. статью спиновая связь для более подробного обсуждения этого), которое связывает фермионы с гравитацией при добавлении к тетрадическому действию Палатини.

Это не только необходимо для связи фермионов с гравитацией и делает тетрадическое действие каким-то образом более фундаментальным для метрической версии, действие Палатини также является ступенькой к более интересным действиям, таким как самодуальное действие Палатини , которое можно рассматривать как лагранжеву основу для формулировки канонической гравитации Аштекара (см. Переменные Аштекара ) или действие Холста , которое является основой версии действительных переменных теории Аштекара. Другим важным действием является действие Плебански (см. запись о модели Барретта–Крейна ), и доказательство того, что оно дает общую теорию относительности при определенных условиях, включает демонстрацию того, что оно сводится к действию Палатини при этих условиях.

Здесь мы представляем определения и подробно вычисляем уравнения Эйнштейна из действия Палатини. Эти вычисления можно легко модифицировать для самодуального действия Палатини и действия Холста.

Сначала нам нужно ввести понятие тетрады. Тетрада — это ортонормированный векторный базис, в терминах которого метрика пространства-времени выглядит локально плоской,

${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_ {\beta }^{J}\eta _{IJ}}$

где — метрика Минковского. Тетрады кодируют информацию о метрике пространства-времени и будут взяты в качестве одной из независимых переменных в принципе действия.${\displaystyle \eta _{IJ}={\text{diag}}(-1,1,1,1)}$

Теперь, если мы собираемся работать с объектами, имеющими внутренние индексы, нам нужно ввести соответствующую производную (ковариантную производную). Мы вводим произвольную ковариантную производную через

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }V_{I}=\partial _{\alpha }V_{I}+{\omega _{\alpha I}}^{J}V_{J}.}$

Где спиновая (Лоренцева) связность одноформная (производная аннулирует метрику Минковского ). Мы определяем кривизну через${\displaystyle {\omega _{\alpha I}}^{J}}$${\displaystyle \eta _{IJ}}$

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha })V_{I}}$

Мы получаем

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=2\partial _{[\alpha }{\omega _{\beta ]}}^{IJ}+2{\omega _{[\alpha }}^{IK}{\omega _{\beta ]K}}^{J}}$.

Введем ковариантную производную, которая аннулирует тетраду,

${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0}$.

Связь полностью определяется тетрадой. Действие этого на обобщенный тензор задается формулой${\displaystyle V_{\beta }^{I}}$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }V_{\beta }^{I}=\partial _{\alpha }V_{\beta }^{I}-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }V_{\gamma }^{I}+{\omega _{\alpha J}}^{I}V_{\beta }^{J}.}$

Мы определяем кривизну как${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{I}.}$

Это легко соотносится с обычной кривизной, определяемой как

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{\gamma }}$

подставляя в это выражение (подробности см. ниже). Получаем,${\displaystyle V_{\gamma }=V_{I}e_{\gamma }^{I}}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta },\quad R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },\quad R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }}$

для тензора Римана , тензора Риччи и скаляра Риччи соответственно.

Скаляр Риччи этой кривизны можно выразить как Действие можно записать${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}.}$

${\displaystyle S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$

где но теперь является функцией поля кадра.${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$${\displaystyle g}$

Мы выведем уравнения Эйнштейна, варьируя это действие относительно тетрады и спиновой связи как независимых величин.

В качестве сокращения для выполнения расчета мы вводим связь, совместимую с тетрадой, ^[2] Связь, связанная с этой ковариантной производной, полностью определяется тетрадой. Разница между двумя введенными нами связями — это поле, определяемое как${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0.}$${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}}$

${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}V_{J}=\left(D_{\alpha }-\nabla _{\alpha }\right)V_{I}.}$

Мы можем вычислить разницу между кривизной этих двух ковариантных производных (подробности см. ниже),

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{R_{\alpha \beta }}^{IJ}=\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}}$

Причина этого промежуточного расчета в том, что проще вычислить вариацию, перевыразив действие через и и отметив, что вариация относительно является такой же, как вариация относительно (при сохранении тетрады фиксированной). Действие становится${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\left({R_{\alpha \beta }}^{IJ}+\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}\right)}$

Сначала мы варьируемся относительно . Первый член не зависит от , поэтому он не вносит вклад. Второй член является полной производной. Последний член дает ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{bK}}^{N}=0.}$

Ниже мы покажем, что это подразумевает, что поскольку префактор невырожден. Это говорит нам, что совпадает с при действии на объекты только с внутренними индексами. Таким образом, связь полностью определяется тетрадой и совпадает с . Для вычисления вариации относительно тетрады нам нужна вариация . Из стандартной формулы${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}=0}$${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle R}$${\displaystyle e=\det e_{\alpha }^{I}}$

${\displaystyle \delta \det(a)=\det(a)\left(a^{-1}\right)_{ji}\delta a_{ij}}$

мы имеем . Или при использовании это становится . Мы вычисляем второе уравнение, варьируя относительно тетрады,${\displaystyle \delta e=ee_{I}^{\alpha }\delta e_{\alpha }^{I}}$${\displaystyle \delta \left(e_{\alpha }^{I}e_{I}^{\alpha }\right)=0}$${\displaystyle \delta e=-ee_{\alpha }^{I}\delta e_{I}^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S_{H-P}&=\int d^{4}x\;e\left(\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}+e_{I}^{\alpha }\left(\delta e_{J}^{\beta }\right){\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-e_{\gamma }^{K}\left(\delta e_{K}^{\gamma }\right)e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}\right)\\&=2\int d^{4}x\;e\left(e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{1 \over 2}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}{\Omega _{\gamma \delta }}^{MN}\right)\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

Получаем, после подстановки , как указано в предыдущем уравнении движения,${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle e_{J}^{\gamma }{R_{\alpha \gamma }}^{IJ}-{1 \over 2}{R_{\gamma \delta }}^{MN}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}=0}$

что после умножения на просто говорит нам, что тензор Эйнштейна метрики, определяемой тетрадами, исчезает. Таким образом, мы доказали, что вариация Палатини действия в тетрадической форме дает обычные уравнения Эйнштейна .${\displaystyle e_{I\beta }}$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\alpha \beta }}$

Мы изменяем действие, добавляя термин

${\displaystyle -{1 \over 2\gamma }ee_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}[\omega ]{\epsilon ^{IJ}}_{MN}}$

Это изменяет действие Палатини на

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{P^{IJ}}_{MN}{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}}$

где

${\displaystyle {P^{IJ}}_{MN}=\delta _{M}^{[I}\delta _{N}^{J]}-{1 \over 2\gamma }{\epsilon ^{IJ}}_{MN}.}$

Это действие, приведенное выше, является действием Холста, введенным Холстом ^[3] , и является параметром Барберо-Иммирци, роль которого была признана Барберо ^[4] и Иммирци. ^[5] Самодвойственная формулировка соответствует выбору .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =-i}$

Легко показать, что эти действия дают те же уравнения. Однако случай, соответствующий , должен быть рассмотрен отдельно (см. статью самодвойственное действие Палатини ). Предположим , тогда имеет обратное, заданное формулой${\displaystyle \gamma =\pm i}$${\displaystyle \gamma \not =\pm i}$${\displaystyle {P^{IJ}}_{MN}}$

${\displaystyle {(P^{-1})_{IJ}}^{MN}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+1}}\left(\delta _{I}^{[M}\delta _{J}^{N]}+{\frac {1}{2\gamma }}{\epsilon _{IJ}}^{MN}\right).}$

(обратите внимание, что это расходится для ). Поскольку эта обратная функция существует, обобщение префактора также будет невырожденным, и как таковые эквивалентные условия получаются из вариации относительно связности. Мы снова получаем . В то время как вариация относительно тетрады дает уравнение Эйнштейна плюс дополнительный член. Однако этот дополнительный член исчезает из-за симметрии тензора Римана.${\displaystyle \gamma =\pm i}$${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}}$${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}=0}$

Обычный тензор кривизны Римана определяется как${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }.}$

Чтобы найти связь со смешанным индексом тензора кривизны, подставим${\displaystyle V_{\gamma }=e_{\gamma }^{I}V_{I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)\left(e_{\gamma }^{I}V_{I}\right)\\&=e_{\gamma }^{I}\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}\\&=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }V_{\delta }\end{aligned}}}$

где мы использовали . Поскольку это верно для всех , то получаем${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0}$${\displaystyle V_{\delta }}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }}$.

Используя это выражение, находим

${\displaystyle R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma \beta }}^{\gamma }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma }.}$

Свертывание и позволяет нам записать скаляр Риччи${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }.}$

Производная, определенная с помощью , знает, как действовать только на внутренние индексы. Однако мы считаем удобным рассмотреть расширение без кручения для индексов пространства-времени. Все вычисления будут независимы от этого выбора расширения. Применяя дважды к ,${\displaystyle D_{\alpha }V_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$${\displaystyle V_{I}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }V_{I}={\mathcal {D}}_{\alpha }(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J})=\nabla _{\alpha }\left(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\left(\nabla _{b}V_{K}+{C_{\beta K}}^{J}V_{J}\right)+{\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\left(\nabla _{\gamma }V_{I}+{C_{\gamma I}}^{J}V_{J}\right)}$

где неважно, нужно только отметить, что он симметричен по и так как не имеет кручения. Тогда${\displaystyle {\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}&=\left({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha }\right)V_{I}\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}+\nabla _{\alpha }\left({C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)-\nabla _{\beta }\left({C_{\alpha I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\nabla _{\beta }V_{K}-{C_{\beta I}}^{K}\nabla _{\alpha }V_{K}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}V_{J}-{C_{\beta I}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}V_{J}\\&={R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}+\left(\nabla _{\alpha }{C_{\beta I}}^{J}-\nabla _{\beta }{C_{\alpha I}}^{J}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}-{C_{\beta _{I}}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}\right)V_{J}\end{aligned}}}$

Следовательно:

${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}-{R_{ab}}^{IJ}=2\nabla _{[a}{C_{b]}}^{IJ}+2{C_{[a}}^{IK}{C_{b]K}}^{J}}$

Мы также ожидаем аннулирования метрики Минковского . Если мы также предположим, что ковариантная производная аннулирует метрику Минковского (тогда она называется метрикой без кручения), то мы имеем,${\displaystyle \nabla _{a}}$${\displaystyle \eta _{IJ}=e_{\beta I}e_{J}^{\beta }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }}$

${\displaystyle 0=({\mathcal {D}}_{\alpha }-\nabla _{\alpha })\eta _{IJ}={C_{\alpha I}}^{K}\eta _{KJ}+{C_{aJ}}^{K}\eta _{IK}=C_{\alpha IJ}+C_{\alpha JI}.}$

Подразумевая

${\displaystyle C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}.}$

Из последнего члена действия имеем от изменяющегося по отношению к${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S_{EH}&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\beta }{C_{[\gamma }}^{MK}{C_{\beta ]K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma }}^{MK}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma M}}^{K}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\int d^{4}x\;ee^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}\left(\delta _{\gamma }^{\alpha }\delta _{M}^{I}\delta _{J}^{K}{C_{\beta K}}^{N}+{C_{\gamma M}}^{K}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{K}^{I}\delta _{J}^{N}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\\&=\int d^{4}x\;e\left(e^{I[\alpha }e_{N}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{N}+e^{M[\beta }e_{J}^{\alpha ]}{C_{\beta M}}^{I}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{K}+e^{K[\beta }e_{J}^{\alpha ]}C_{\beta KI}=0}$

или

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0.}$

где мы использовали . Это можно записать более компактно как${\displaystyle C_{\beta KI}=-C_{\beta IK}}$

${\displaystyle e_{M}^{[\alpha }e_{N}^{\beta ]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{\beta K}}^{N}=0.}$

Мы покажем, следуя ссылке «Геометродинамика против динамики связей» ^[6], что

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0\quad Eq.1}$

подразумевает Сначала мы определяем тензорное поле пространства-времени как${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}=0.}$

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }:=C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}.}$

Тогда условие эквивалентно . Свертывание уравнения 1 с единицей вычисляет, что${\displaystyle C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}}$${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}}$${\displaystyle e_{\alpha }^{I}e_{\gamma }^{J}}$

${\displaystyle {C_{\beta J}}^{I}e_{\gamma }^{J}e_{I}^{\beta }=0.}$

Как мы имеем Мы пишем это как${\displaystyle {S_{\alpha \beta }}^{\gamma }={C_{\alpha I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },}$${\displaystyle {S_{\beta \gamma }}^{\beta }=0.}$

${\displaystyle ({C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta })e_{\gamma }^{I}=0,}$

и так как являются обратимыми, это подразумевает${\displaystyle e_{\alpha }^{I}}$

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta }=0.}$

Таким образом, члены и уравнения 1 оба исчезают, и уравнение 1 сводится к${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\beta }e_{J}^{\alpha },}$${\displaystyle {C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\alpha }e_{K}^{\beta }}$

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }=0.}$

Если мы теперь свернём это с , то получим${\displaystyle e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }\right)e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}\\&={C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{\gamma }^{I}\delta _{\delta }^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}\delta _{\gamma }^{\beta }e_{K}^{\alpha }e_{\delta }^{J}\\&={C_{\delta I}}^{K}e_{\gamma }^{I}e_{K}^{\alpha }-{C_{\gamma J}}^{K}e_{\delta }^{J}e_{K}^{\alpha }\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle {S_{\gamma \delta }}^{\alpha }={S_{(\gamma \delta )}}^{\alpha }.}$

Поскольку у нас есть и , мы можем последовательно поменять местами первые два, а затем последние два индекса с соответствующей сменой знака каждый раз, чтобы получить,${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}}$${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{(\alpha \beta )\gamma }}$

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\beta \alpha \gamma }=-S_{\beta \gamma \alpha }=-S_{\gamma \beta \alpha }=S_{\gamma \alpha \beta }=S_{\alpha \gamma \beta }=-S_{\alpha \beta \gamma }}$

Подразумевая

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=0,}$

или

${\displaystyle C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}=0,}$

и поскольку обратимы, то получаем . Это и есть желаемый результат.${\displaystyle e_{\alpha }^{I}}$${\displaystyle C_{\alpha IJ}=0}$

• тензор Ланцоша
• тензор Вейля