Переменные Аштекара
Переменные, используемые в общей теории относительности

В формулировке общей теории относительности ADM пространство-время разделено на пространственные слои и ось времени. В качестве основных переменных берутся индуцированная метрика на пространственном слое и сопряженный импульс метрики , который связан с внешней кривизной и является мерой того, как индуцированная метрика эволюционирует во времени. [1] Это метрические канонические координаты . д а б ( х ) {\displaystyle q_{ab}(x)} К а б ( х ) {\displaystyle K^{ab}(x)}

В 1986 году Абхай Аштекар ввел новый набор канонических переменных, переменные Аштекара ( новые ) , чтобы представить необычный способ переписывания метрических канонических переменных на трехмерных пространственных срезах в терминах калибровочного поля SU(2) и его дополнительной переменной. [2]

Обзор

Переменные Аштекара обеспечивают то, что называется представлением связей канонической общей теории относительности, которое привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности [3] и, в свою очередь, к петлевой квантовой гравитации и квантовой теории голономии. [4]

Введем набор из трех векторных полей , которые ортогональны, то есть   Э дж а   , {\ displaystyle \ E_ {j} ^ {a} \,}   дж = 1 , 2 , 3   {\displaystyle \ j=1,2,3\ }

δ дж к = д а б   Э дж а   Э к б   . {\ displaystyle \ delta _ {jk} = q_ {ab} \ E_ {j} ^ {a} \ E_ {k} ^ {b} ~.}

Их называют триадой или drei-bein (дословный перевод с немецкого языка — «трехногий»). Теперь существует два различных типа индексов: «пространственные» индексы , которые ведут себя как обычные индексы в искривленном пространстве, и «внутренние» индексы , которые ведут себя как индексы плоского пространства (соответствующая «метрика», которая поднимает и опускает внутренние индексы, — это просто ). Определим двойственный drei-bein как   Э я а   {\displaystyle \ E_{i}^{a}\ }   а , б , с   {\displaystyle \ а,б,в\ }   дж , к , ℓ   {\displaystyle \ j,k,\ell \ }   δ дж к   {\displaystyle \ \delta _ {jk}\ }   Э а дж   {\displaystyle \ E_{a}^{j}\ }

  Э а дж = д а б   Э дж б   . {\ displaystyle \ E_ {a} ^ {j} = q_ {ab} \ E_ {j} ^ {b} ~.}

Тогда у нас есть два соотношения ортогональности

  δ дж к = д а б   Э а дж   Э б к   , {\ displaystyle \ \ delta ^ {jk} = q ^ {ab} \ E_ {a} ^ {j} \ E_ {b} ^ {k} \,}

где — обратная матрица метрики (она получается путем подстановки формулы для двойственного дрей-бейна в терминах дрей-бейна и использования ортогональности дрей -бейнов ). д а б {\displaystyle q^{ab}}   д а б   {\displaystyle \ q_{ab}\ }   д а б   Э а дж   Э б к   {\ displaystyle \ q ^ {ab} \ E_ {a} ^ {j} \ E_ {b} ^ {k} \ }

и

  Э дж а   Э б дж   = δ б а   {\ displaystyle \ E_ {j} ^ {a} \ E_ {b} ^ {j} \ = \ delta _ {b} ^ {a} \ }

(это происходит из-за сокращения и использования линейной независимости ) . Затем легко проверить из первого соотношения ортогональности, используя то, что   δ дж к = д а б   Э к б   Э дж а   {\ displaystyle \ \ delta _ {jk} = q_ {ab} \ E_ {k} ^ {b} \ E_ {j} ^ {a} \ }   Э с дж   {\displaystyle \ E_{c}^{j}\ }   Э а к   {\displaystyle \ E_{a}^{k}\ }   Э дж а   Э б дж = δ б а   , {\ displaystyle \ E_ {j} ^ {a} \ E_ {b} ^ {j} = \ delta _ {b} ^ {a} \,}

  д а б   =   ∑ дж ,   к = 1 3 δ дж к   Э дж а   Э к б   =   ∑ дж = 1 3 Э дж а   Э дж б   , {\ displaystyle \ q^ {ab} ~ = ~ \ sum _ {j, \ k = 1} ^ {3} \; \ delta _ {jk} \ E_ {j} ^ {a} \ E_ {k} ^ {b}~=~\sum _{j=1}^{3}\;E_{j}^{a}\ E_{j}^{b}\ ,}

мы получили формулу для обратной метрики в терминах дрей-бейнов . Дрей-бейны можно рассматривать как «квадратный корень» метрики (физический смысл этого в том, что метрика, записанная в терминах базиса , локально плоская). На самом деле, то, что действительно рассматривается, это   д а б   , {\displaystyle \ q^{ab}\ ,}   Э дж а   , {\ displaystyle \ E_ {j} ^ {a} \,}

  ( г е т ( д ) )   д а б   =   ∑ дж = 1 3 Э ~ дж а   Э ~ дж б   , {\displaystyle \ \left(\mathrm {det} (q)\right)\ q^{ab}~=~\sum _{j=1}^{3}\;{\tilde {E}}_{ j}^{a}\ {\tilde {E}}_{j}^{b}\ ,}

который вместо этого включает в себя «уплотненный» drei-bein ( уплотненный как ) . Из метрики, умноженной на фактор, заданный ее определителем, восстанавливается . Ясно, что и содержат ту же информацию, просто переставленную. Теперь выбор для не является единственным, и на самом деле можно выполнить локальное вращение в пространстве относительно внутренних индексов, не меняя (обратную) метрику. Это источник калибровочной инвариантности. Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, имеющими внутренние индексы, ему нужно ввести соответствующую производную ( ковариантную производную ), например, ковариантная производная для объекта будет Э ~ я а {\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}   Э ~ дж а = дет ( д )     Э дж а   {\ textstyle \ {\ tilde {E}} _ {j} ^ {a} = {\ sqrt {\ det (q) \ }} \ E_ {j} ^ {a} \ }   Э ~ дж а   {\displaystyle \ {\tilde {E}} _ {j}^{a}\ }   Э ~ дж а   {\displaystyle \ {\tilde {E}} _ {j}^{a}\ }   Э дж а   {\displaystyle \ E_{j}^{a}\ }   Э ~ дж а   {\displaystyle \ {\tilde {E}} _ {j}^{a}\ }   дж   {\displaystyle \ j\ }   С У ( 2 )   {\displaystyle \ \mathrm {SU (2)} \ }   В я б   {\displaystyle \ V_{i}^{b}\ }

  Д а   В дж б = ∂ а В дж б − Г а дж к   В к б + Г а с б   В дж с   {\displaystyle \ D_{a}\ V_{j}^{b}=\partial _{a}V_{j}^{b}-\Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ V_{k}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}\ V_{j}^{c}\ }

где - обычная связь Леви-Чивита , а - так называемая спиновая связь . Возьмем переменную конфигурации в качестве   Г а с б   {\displaystyle \ \Гамма _{ac}^{b}\ }   Г а дж к   {\ displaystyle \ \ Gamma _ {a \; \; j} ^ {\; \; k} \ }

  А а дж = Г а дж + β   К а дж   {\ displaystyle \ A_ {a} ^ {j} = \ Gamma _ {a} ^ {j} + \ beta \ K_ {a} ^ {j} \ }

где и Уплотненный дрейбейн является сопряженной переменной импульса этого трехмерного калибровочного поля SU(2) (или связности), поскольку он удовлетворяет соотношению скобок Пуассона Г а дж = Г а к ℓ   ϵ к ℓ дж {\displaystyle \Gamma _{a}^{j}=\Gamma _{ak\ell }\ \epsilon ^{k\ell j}} К а дж = К а б   Э ~ б дж / дет ( д )     . {\textstyle K_{a}^{j}=K_{ab}\ {\tilde {E}}^{bj}/{\sqrt {\det(q)\ }}~.}   А б к   , {\displaystyle \ A_{b}^{k}\ ,}

  {   Э ~ дж а ( х ) ,   А б к ( у )   } = 8 π   Г Н е ж т о н   β   δ б а   δ дж к   δ 3 ( х − у )   . {\displaystyle \ \{\ {\tilde {E}}_{j}^{a}(x),\ A_{b}^{k}(y)\ \}=8\pi \ G_{\mathsf {Ньютон}}\ \beta \ \delta _{b}^{a}\ \delta _{j}^{k}\ \delta ^{3}(xy)~.}

Константа — это параметр Иммирзи , фактор, который перенормирует постоянную Ньютона. Уплотненный дрей-бейн может быть использован для восстановления метрики, как обсуждалось выше, а связь может быть использована для восстановления внешней кривизны. Переменные Аштекара соответствуют выбору (отрицательное мнимое число , ), тогда называется хиральной спиновой связью. β {\displaystyle \бета}   Г Н е ж т о н   . {\displaystyle \ G_{\mathsf {Ньютон}}~.}   β = − я   {\displaystyle \ \beta =-i\ }   я   {\displaystyle \ я\ }   А а дж   {\displaystyle \ A_{a}^{j}\ }

Причина такого выбора спиновой связи заключалась в том, что Аштекару удалось значительно упростить наиболее проблемное уравнение канонической общей теории относительности, а именно гамильтоново ограничение LQG . Этот выбор заставил его грозный второй член исчезнуть, а оставшийся член стал полиномиальным по его новым переменным. Это упрощение породило новые надежды на каноническую программу квантовой гравитации. [5] Однако оно представляло определенные трудности: хотя переменные Аштекара обладали достоинством упрощения гамильтониана, у них была проблема в том, что переменные становятся комплексными . [6] Когда кто-то квантует теорию, трудно гарантировать, что он восстанавливает реальную общую теорию относительности, в отличие от комплексной общей теории относительности. Кроме того, гамильтоново ограничение, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией, а не исходным гамильтонианом; то есть он работал с ЧАС ~ = дет ( д ) ЧАС   . {\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H~.}

Существовали серьезные трудности в продвижении этой величины к квантовому оператору . В 1996 году Томас Тиманн, который смог использовать обобщение формализма Аштекара на реальные связи ( принимает действительные значения) и, в частности, разработал способ упрощения исходного гамильтониана вместе со вторым членом. Он также смог продвинуть это ограничение гамильтониана к хорошо определенному квантовому оператору в петлевом представлении. [7] [8] β {\displaystyle \бета}

Ли Смолин и Тед Якобсон, а также Джозеф Сэмюэл независимо друг от друга открыли, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассмотрев самодуальную формулировку тетрадического принципа действия Палатини общей теории относительности. [9] [10] [11] Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом [12] , а в терминах тетрад — Хенно, Нельсоном и Шомблоном (1989). [13]

Ссылки

  1. ↑ « Гравитация » Чарльза У. Мизнера, Кипа С. Торна, Джона Арчибальда Уиллера, изданная WH Freeman and company. Нью-Йорк.
  2. ^ Аштекар, А (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Physical Review Letters . 57 (18): 2244– 2247. Bibcode : 1986PhRvL..57.2244A. doi : 10.1103/physrevlett.57.2244. PMID  10033673.
  3. ^ Ровелли, К.; Смолин, Л. (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Physical Review Letters . 61 (10): 1155– 1158. Bibcode : 1988PhRvL..61.1155R. doi : 10.1103/physrevlett.61.1155. PMID  10038716.
  4. ^ Дж. Ааструп; Дж. М. Гримструп (2015). «Квантовая теория голономии». Fortschritte der Physik . 64 (10): 783. arXiv : 1504.07100 . Бибкод : 2016ForPh..64..783A. дои : 10.1002/prop.201600073.
  5. ^ Более подробную информацию об этом и последующем развитии см. в Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity (1-е изд.). World Scientific Publishing. 1991.
  6. ^ См. Baez, John; Muniain, Javier P. (1994). Gauge Fields, Knots and Gravity (1-е изд.). World scientific Publishing. часть III, глава 5.
  7. ^ Thiemann, T. (1996). «Безаномальная формулировка непертурбативной четырехмерной лоренцевской квантовой гравитации». Physics Letters B. 380 ( 3–4 ) . Elsevier BV: 257–264 . arXiv : gr-qc/9606088 . doi :10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN  0370-2693.
  8. ^ Для отчета об этих разработках см. Baez, John . "The Hamiltonian constraint in the loop representation of quantumgravity". ucr.edu (академическая персональная веб-страница). Калифорнийский университет, Риверсайд .
  9. ^ Сэмюэл, Дж. (апрель 1987 г.). «Лагранжева основа для формулировки канонической гравитации Аштекара». Pramana – Journal of Physics . 28 (4). Indian National Science Academy : L429-L432 – через ias.ac.in.
  10. ^ Якобсон, Тед; Смолин, Ли (1987). «Связь левого спина как переменная для канонической гравитации». Physics Letters B. 196 ( 1). Elsevier: 39– 42. doi :10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
  11. ^ Якобсон, Т.; Смолин, Л. (1 апреля 1988 г.). «Ковариантное действие для канонической гравитации в форме Аштекара». Классическая и квантовая гравитация . 5 (4): 583– 594. doi :10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381.
  12. ^ Голдберг, Дж. Н. (15 апреля 1988 г.). «Триадный подход к гамильтониану общей теории относительности». Physical Review D. 37 ( 8). Американское физическое общество (APS): 2116– 2120. doi :10.1103/physrevd.37.2116. ISSN  0556-2821.
  13. ^ Henneaux, M.; Nelson, JE; Schomblond, C. (15 января 1989 г.). «Вывод переменных Аштекара из тетрадной гравитации». Physical Review D. 39 ( 2). Американское физическое общество (APS): 434– 437. doi :10.1103/physrevd.39.434. ISSN  0556-2821.

Дальнейшее чтение

  • Аштекар, Абхай (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Physical Review Letters . 57 (18): 2244– 2247. Bibcode : 1986PhRvL..57.2244A. doi : 10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID  10033673.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ashtekar_variables&oldid=1268049597"