действие Холста

В области теоретической физики действие Холста [ 1] является эквивалентной формулировкой действия Палатини для общей теории относительности (ОТО) в терминах вирбейнов (поле четырехмерной пространственно-временной системы координат) путем добавления части топологического члена (Нье-Яна), который не изменяет классические уравнения движения, пока нет кручения ,

С = 1 2 ∫ е е   я α е   Дж. β ( Ф α β       я Дж. − α ∗ Ф α β       я Дж. ) ≡ 1 2 ∫ е е   я α е   Дж. β ( Ф α β       я Дж. − α 2 ϵ К Л я Дж. Ф α β       К Л ) {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int ee_ {\ I}^{\alpha }e_{\ J}^{\beta }(F_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}-\alpha \ast F_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ})\equiv {\frac {1}{2}}\int ee_{\ I}^{\alpha }e_{\ J}^{\beta }(F_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}-{\frac {\alpha }{2}}\epsilon _{\; \;\;KL}^{IJ}F_{\alpha \beta }^{\ \ \ KL})}

где — тетрада, ее определитель (метрика пространства-времени восстанавливается из тетрады по формуле , где — метрика Минковского), кривизна рассматривается как функция связности : е   я α {\displaystyle e_{\I}^{\альфа}} е {\displaystyle е} г α β = е α я е β Дж. η я Дж. {\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_ {\beta }^{J}\eta _{IJ}} η я Дж. {\displaystyle \eta _{IJ}} Ф α β       я Дж. {\displaystyle F_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}} А α β       я Дж. {\displaystyle A_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}}

Ф α β       я Дж. = А α β я Дж. = 2 ∂ [ α А β ] я Дж. + 2 А [ α я К А β ] К Дж. {\displaystyle F_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}={A_ {\alpha \beta }}^{IJ} = 2\partial _ {[\alpha }{A_ {\beta ]}}^ {IJ}+2{A_{[\alpha }}^{IK}{A_{\beta ]K}}^{J}} ,

α {\displaystyle \альфа} (комплексный) параметр, и где мы восстанавливаем действие Палатини, когда . Это работает только в 4D. Быть свободным от кручения означает, что ковариантная производная, определяемая связью при действии на метрику Минковского, исчезает, подразумевая, что связь антисимметрична по своим внутренним индексам . α = 0 {\displaystyle \альфа =0} А α β       я Дж. {\displaystyle A_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}} η я Дж. {\displaystyle \eta _{IJ}} я , Дж. {\displaystyle I,J}

Как и в случае тетрадического действия Палатини первого порядка, где и считаются независимыми переменными, вариация действия относительно связи (предполагая, что она не имеет кручения) подразумевает замену кривизны обычным (смешанным индексом) тензором кривизны (см. статью тетрадическое действие Палатини для определений). Вариация первого члена действия относительно тетрады дает (смешанный индекс) тензор Эйнштейна , а вариация второго члена относительно тетрады дает величину, которая исчезает из-за симметрий тензора Римана (в частности, первого тождества Бьянки ), вместе это означает, что уравнения вакуумного поля Эйнштейна верны. е   я α {\displaystyle e_{\I}^{\альфа}} А α β       я Дж. {\displaystyle A_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}} А α β       я Дж. {\displaystyle A_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}} Ф α β       я Дж. {\displaystyle F_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}} Р α β       я Дж. {\displaystyle R_{\alpha \beta }^{\ \ \ IJ}} е   я α {\displaystyle e_{\I}^{\альфа}}

Приложения

Каноническая 3+1 гамильтонова формулировка действия Холста с совпадает с переменными Аштекара , которые формулируют (комплексную) ОТО как особый тип калибровочной теории Янга-Миллса . Действие рассматривалось просто как действие Палатини с тензором кривизны, замененным только его самодуальной частью (см. статью самодуальное действие Палатини ). α = я {\displaystyle \альфа =я}

Было показано , что каноническая 3+1 гамильтонова формулировка действия Холста для вещественных чисел имеет переменную конфигурации, которая по-прежнему является связью, а теория по-прежнему является особым видом калибровочной теории Янга-Миллса, но имеет то преимущество, что она вещественна, как и соответствующая калибровочная теория (поэтому мы имеем дело с вещественной общей теорией относительности). Эта гамильтонова формулировка является классической отправной точкой петлевой квантовой гравитации (LQG) [1] , которая импортирует непертурбативные методы из решеточной калибровочной теории . [2] Параметр, определяемый как, обычно называют параметром Барберо-Иммирци [3] [4] Действие Холста находит применение в самых последних версиях моделей спиновой пены , [5] [6] , которые можно считать версиями LQG с интегралом по траектории . α {\displaystyle \альфа} β := 1 / α {\displaystyle \beta:=1/\alpha }

Ссылки

  1. ^ ab Holst, Sören (15 мая 1996 г.). "Гамильтониан Барберо, полученный из обобщенного действия Гильберта-Палатини". Physical Review . 53 (10): 5966– 5969. arXiv : gr-qc/9511026 . Bibcode :1996PhRvD..53.5966H. doi :10.1103/PhysRevD.53.5966. PMID  10019884. S2CID  15959938.
  2. ^ Современная каноническая квантовая общая теория относительности Томаса Тимана
  3. ^ Barbero, J. Fernando G. (1995). "Действительные переменные Аштекара для лоренцевых сигнатурных пространств-времен". Phys. Rev. D51 ( 10): 5507– 5510. arXiv : gr-qc/9410014 . Bibcode : 1995PhRvD..51.5507B. doi : 10.1103/physrevd.51.5507. PMID  10018309. S2CID  16314220.
  4. ^ Иммирци, Джорджио (1997). «Действительные и комплексные связи для канонической гравитации». Класс. Квантовая гравитация . 14 (10): L177 – L181 . arXiv : gr-qc/9612030 . Bibcode : 1997CQGra..14L.177I. doi : 10.1088/0264-9381/14/10/002. S2CID  5795181.
  5. ^ Engle J, Pereira R, Rovelli C (2007). "Петлевая квантовая гравитационная вершинная амплитуда". Phys. Rev. Lett . 99 (16): 161301. arXiv : 0705.2388 . Bibcode :2007PhRvL..99p1301E. doi :10.1103/PhysRevLett.99.161301. PMID  17995233. S2CID  27052383.
  6. ^ Фрейдал Л. и Краснов К. (2008) Класс. Цюань. Грав. 25, 125018.
  • Монтесинос, Мерсед; Ромеро, Хорхе; Селада, Мариано (2020). «Канонический анализ действия Холста без ограничений второго рода». Physical Review D. 101 ( 8): 084003. arXiv : 1911.09690 . Bibcode : 2020PhRvD.101h4003M. doi : 10.1103/PhysRevD.101.084003 .
  • Монтесинос, Мерсед; Ромеро, Хорхе; Селада, Мариано (2019). «Пересмотр решения ограничений второго класса действия Холста». Physical Review D. 99 ( 6): 064029. arXiv : 1903.09201 . Bibcode : 2019PhRvD..99f4029M. doi : 10.1103/PhysRevD.99.064029. S2CID  85459256.
  • Montesinos, Merced; Romero, Jorge; Escobedo, Ricardo; Celada, Mariano (2018). "SU(1,1) Переменные типа Барберо, полученные из действия Холста". Physical Review D. 98 ( 12): 124002. arXiv : 1812.02755 . Bibcode : 2018PhRvD..98l4002M. doi : 10.1103/PhysRevD.98.124002. S2CID  119679691.
  • Montesinos, Merced; Romero, Jorge; Celada, Mariano (2018). «Явно лоренц-ковариантные переменные для фазового пространства общей теории относительности». Physical Review D. 97 ( 2): 024014. arXiv : 1712.00040 . Bibcode : 2018PhRvD..97b4014M. doi : 10.1103/PhysRevD.97.024014. S2CID  119151119.
  • Montesinos, Merced; Gonzalez, Diego; Celada, Mariano; Diaz, Bogar (2017). «Переформулирование симметрий общей теории относительности первого порядка». Classical and Quantum Gravity . 34 (20): 205002. arXiv : 1704.04248 . Bibcode : 2017CQGra..34t5002M. doi : 10.1088/1361-6382/aa89f3. S2CID  119268222.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Holst_action&oldid=1182311222"