Списки интегралов

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2013 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

Интеграция — это основная операция в интегральном исчислении . В то время как дифференцирование имеет простые правила , по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых компонентных функций, интегрирование таковыми не обладает, поэтому таблицы известных интегралов часто бывают полезны. На этой странице перечислены некоторые из наиболее распространенных первообразных .

Сборник списка интегралов (Integraltafeln) и методов интегрального исчисления был опубликован немецким математиком Мейером Хиршем  [de] (также писался как Мейер Хирш) в 1810 году. ^[1] Эти таблицы были переизданы в Соединенном Королевстве в 1823 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Дэвидом Биренсом де Хааном для его Tables d'intégrales définies , дополненные Supplement aux tables d'intégrales définies около 1864 года. Новое издание было опубликовано в 1867 году под названием Nouvelles tables d'intégrales définies .

Эти таблицы, содержащие в основном интегралы элементарных функций, использовались до середины XX века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика . У Градштейна и Рыжика интегралы, взятые из книги Биренса де Хаана, обозначаются как BI.

Не все выражения в замкнутой форме имеют первообразные в замкнутой форме; это исследование составляет предмет дифференциальной теории Галуа , которая была первоначально разработана Жозефом Лиувиллем в 1830-х и 1840-х годах, что привело к теореме Лиувилля , которая классифицирует, какие выражения имеют первообразные в замкнутой форме. Простым примером функции без первообразной в замкнутой форме является e ^{− x 2} , первообразная которой является (с точностью до констант) функцией ошибок .

С 1968 года существует алгоритм Риша для определения неопределенных интегралов, которые могут быть выражены через элементарные функции , обычно с использованием системы компьютерной алгебры . Интегралы, которые не могут быть выражены с использованием элементарных функций, могут быть обработаны символически с использованием общих функций, таких как G-функция Мейера .

Более подробную информацию о списках интегралов можно найти на следующих страницах :

• Список интегралов рациональных функций
• Список интегралов иррациональных функций
• Список интегралов тригонометрических функций
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список интегралов гиперболических функций
• Список интегралов обратных гиперболических функций
• Список интегралов показательных функций
• Список интегралов логарифмических функций
• Список интегралов гауссовых функций

Gradshteyn , Ryzhik , Geronimus , Tseytlin , Jeffrey, Zwillinger, and Moll 's (GR) Table of Integrals, Series, and Product содержит большую коллекцию результатов. Еще большая многотомная таблица — Integrals and Series Прудникова , Брычкова и Маричева (с томами 1–3, перечисляющими интегралы и ряды элементарных и специальных функций , тома 4–5 — таблицы преобразований Лапласа ). Более компактные коллекции можно найти, например, в Tables of Indefinite Integrals Брычкова, Маричева, Прудникова или в виде глав в CRC Standard Mathematical Tables and Formulae Цвиллингера или в Guide Book to Mathematics , Handbook of Mathematics или Users' Guide to Mathematics Бронштейна и Семендяева и других математических справочниках.

Другие полезные ресурсы включают Abramowitz и Stegun и Bateman Manuscript Project . Обе работы содержат много тождеств, касающихся конкретных интегралов, которые организованы по наиболее релевантной теме, а не собраны в отдельную таблицу. Два тома Bateman Manuscript посвящены интегральным преобразованиям.

Есть несколько веб-сайтов, которые имеют таблицы интегралов и интегралы по запросу. Wolfram Alpha может показать результаты, а для некоторых более простых выражений также промежуточные шаги интегрирования. Wolfram Research также управляет другим онлайн-сервисом, Mathematica Online Integrator.

C используется для произвольной константы интегрирования , которая может быть определена только если известно что-то о значении интеграла в какой-то момент. Таким образом, каждая функция имеет бесконечное число первообразных .

Эти формулы лишь в иной форме излагают утверждения в таблице производных .

Когда в интегрируемой функции есть особенность , так что первообразная становится неопределенной или в некоторой точке (особенность), то C не обязательно должно быть одинаковым по обе стороны от особенности. Формы ниже обычно предполагают главное значение Коши вокруг особенности в значении C, но в общем случае это не обязательно. Например, в есть особенность в 0, и первообразная становится там бесконечной. Если бы интеграл выше использовался для вычисления определенного интеграла между −1 и 1, то был бы получен неправильный ответ 0. Однако это главное значение Коши интеграла вокруг особенности. Если интегрирование выполняется в комплексной плоскости, результат зависит от пути вокруг начала координат, в этом случае особенность вносит вклад − i π при использовании пути выше начала координат и i π для пути ниже начала координат. Функция на действительной прямой может использовать совершенно разные значения C по обе стороны от начала координат, как в: ^[2]$${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$$$${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

• ${\displaystyle \int a\,dx=ax+C}$

Следующая функция имеет неинтегрируемую особенность в точке 0 при n ≤ −1 :

• ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$( квадратурная формула Кавальери )
• ${\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$
• ${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$
  • В более общем плане, ^[3]$${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$
• ${\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

• ${\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}$
• ${\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C}$
• ${\displaystyle \int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C}$
  (если это положительное целое число)${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C}$
  (если это положительное целое число)${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C}$
• ${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)+C}$

• ${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}\right|}+C=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$
  • (См. Интеграл секущей функции . Этот результат был хорошо известной гипотезой в 17 веке.)
• ${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C}$
• ${\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C}$
  • (См. интеграл секанса в кубе .)
• ${\displaystyle \int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

• ${\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1}$
• ${\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1}$
• ${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$

• ${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$
• ${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$
• ${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C}$
• ${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln |\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {sech} {x}\,\operatorname {tanh} {x}\,dx=-\operatorname {sech} {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {csch} {x}\,\operatorname {coth} {x}\,dx=-\operatorname {csch} {x}+C}$

• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\vert \operatorname {arcsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0}$

• ${\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C}$

Пусть f — непрерывная функция , имеющая не более одного нуля . Если f имеет ноль, пусть g — единственная первообразная f , равная нулю в корне f ; в противном случае пусть g — любая первообразная f . Тогда где sgn( x ) — функция знака , которая принимает значения −1, 0, 1, когда x соответственно отрицателен, равен нулю или положителен.$${\displaystyle \int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,}$$

Это можно доказать, вычислив производную правой части формулы, принимая во внимание, что условие на g здесь необходимо для обеспечения непрерывности интеграла.

Это дает следующие формулы (где a ≠ 0 ), которые справедливы на любом интервале, где f непрерывна (на больших интервалах константа C должна быть заменена кусочно-постоянной функцией):

• ${\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C}$
  когда n нечетное, и .${\displaystyle n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C}$
  когда для некоторого целого числа n .${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C}$
  когда для некоторого целого числа n .${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C}$
  когда для некоторого целого числа n .${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C}$
  когда для некоторого целого числа n .${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$

Если функция f не имеет непрерывной первообразной, которая принимает значение ноль в нулях f (это имеет место для функций синуса и косинуса), то sgn( f ( x )) ∫ f ( x ) dx является первообразной f на каждом интервале , на котором f не равна нулю, но может быть разрывной в точках, где f ( x ) = 0 . Таким образом, для получения непрерывной первообразной необходимо добавить хорошо выбранную ступенчатую функцию . Если мы также используем тот факт, что абсолютные значения синуса и косинуса являются периодическими с периодом π , то получим:

• ${\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C}$ ^{[ необходима ссылка ]}
• ${\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C}$ ^{[ необходима ссылка ]}

Ci , Si : тригонометрические интегралы , Ei : показательный интеграл , li : логарифмическая интегральная функция , erf : функция ошибок

• ${\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}$
• ${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)}$

Существуют некоторые функции, чьи первообразные не могут быть выражены в замкнутой форме . Однако значения определенных интегралов некоторых из этих функций по некоторым общим интервалам могут быть вычислены. Несколько полезных интегралов приведены ниже.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$(см. также Гамма-функция )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$для a > 0 ( гауссовский интеграл )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}}$для а > 0
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}}$
  для a > 0 , n — положительное целое число, а !! — двойной факториал .
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$когда а > 0
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$
  для а > 0 , n = 0, 1, 2, ....
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (см. также число Бернулли )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$(см. функцию sinc и интеграл Дирихле )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$
  (если n — положительное целое число, а !! — двойной факториал ).
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  (для целых чисел α , β , m , n, где β ≠ 0 и m , n ≥ 0 , см. также Биномиальный коэффициент )
• ${\displaystyle \int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$
  (для α , β действительных, n — неотрицательное целое число, а m — нечетное положительное целое число; поскольку подынтегральное выражение нечетное )
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  (для целых чисел α , β , m , n, где β ≠ 0 и m , n ≥ 0 , см. также Биномиальный коэффициент )
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  (для целых чисел α , β , m , n, где β ≠ 0 и m , n ≥ 0 , см. также Биномиальный коэффициент )
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$
  (где exp[ u ] — показательная функция e ^u , а a > 0 .)
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$
  (где находится Гамма-функция )${\displaystyle \Gamma (z)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$
  (для Re( α ) > 0 и Re( β ) > 0 см. Бета-функцию )
• ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (где I ₀ ( x ) — модифицированная функция Бесселя первого рода)
• ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}}$
  (для ν > 0 это связано с функцией плотности вероятности t - распределения Стьюдента )

Если функция f имеет ограниченную вариацию на интервале [ a , b ] , то метод исчерпания дает формулу для интеграла:$${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$$

« Сон второкурсника »: приписывается Иоганну Бернулли .$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}$$

• Правила дифференцирования  – Правила вычисления производных функций
• Неполная гамма-функция  – Типы специальных математических функций
• Неопределенная сумма  – величина, обратная конечной разностиPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Интеграция с использованием формулы Эйлера  – использование комплексных чисел для вычисления интегралов
• Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра)  – утверждает, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены через элементарные функции.
• Список ограничений
• Список математических тождеств
• Список математических рядов
• Неэлементарный интеграл  – Интегралы, не выражаемые в замкнутой форме через элементарные функции.
• Символическое интегрирование  – Вычисление первообразной

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Бронштейн Илья Николаевич; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Taschenbuch der Mathematik (на немецком языке). Том. 1. Перевод Циглера Виктора. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун и Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch (и BG Teubner Verlagsgesellschaft , Лейпциг). ISBN 3-87144-492-8.
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. Цвиллингер, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). ISBN Academic Press, Inc.  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.(Также несколько предыдущих изданий.)
• Прудников, Анатолий Платонович (Прудников, Анатолий Платонович) ; Брычков, Юрий А. (Брычков, Ю. А.); Маричев, Олег Игоревич (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981–1986 (рус.)]. Интегралы и ряды . Том. 1–5. Перевод Куин, Нью-Мексико (1-е изд.). ( Наука ) Гордон и Брич Сайенс Паблишерс/ CRC Press . ISBN 2-88124-097-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link). Издание второе переработанное (на русском языке), том 1–3, Физико-математическая литература, 2003.
• Юрий А. Брычков (Ю. А. Брычков), Справочник специальных функций: производные, интегралы, ряды и другие формулы . Русское издание, Физико-Математическая Литература, 2006. Английское издание, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X /9781584889564. 
• Дэниел Цвиллингер. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , 31-е издание. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3 . (Также многие более ранние издания.) 
• Мейер Хирш  [ де ] , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Берлин, 1810 г.)
• Мейер Хирш  [de] , Интегральные таблицы или собрание интегральных формул (Бэйнс и сын, Лондон, 1823) [английский перевод Integraltafeln ]
• Дэвид Биренс де Хаан , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Энгельс, Лейден, 1862 г.)
• Бенджамин О. Пирс Краткая таблица интегралов - переработанное издание (Ginn & co., Бостон, 1899)

• Онлайн-математические заметки Пола
• А. Дикман, Таблица интегралов (эллиптические функции, квадратные корни, арктангенсы и другие экзотические функции): Неопределенные интегралы Определенные интегралы
• Специальность «Математика»: Таблица интегралов
• О'Брайен, Фрэнсис Дж.-младший. «500 интегралов элементарных и специальных функций».Производные интегралы показательных, логарифмических функций и специальных функций.
• Интеграция на основе правил. Точно определенные неопределенные правила интеграции, охватывающие широкий класс подынтегральных выражений.
• Матар, Ричард Дж. (2012). «Еще одна таблица интегралов». arXiv : 1207.5845 [math.CA].

• Виктор Гюго Молль, Интегралы в «Градштейне» и «Рыжике»

• Примеры интеграции для Wolfram Alpha

• wxmaxima gui для символьного и числового решения многих математических задач

• Самая мощная из существующих методик интеграции. Видео на YouTube от Flammable Maths о симметриях

В этой статье представлен список списков, связанных с математикой .