Список ограничений

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденные материалы могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Список ограничений» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Этот список неполный ; вы можете помочь, добавив недостающие пункты. ( Февраль 2011 )

Это список пределов для общих функций, таких как элементарные функции . В этой статье термины a , b и c являются константами относительно x .

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ тогда и только тогда, когда . Это (ε, δ)-определение предела .${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|xc|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon }$

Верхний и нижний предел последовательности определяются как и .${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$

Функция называется непрерывной в точке c , если${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$

Если тогда:${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,af(x)=aL}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}}$^[4] если L не равно 0.
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}}$ если n — положительное целое число ^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}}$если n — положительное целое число, и если n — четное, то L > 0. ^{[1] [3]}

В общем случае, если g ( x ) непрерывен в точке L и тогда${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)}$^{[1] [2]}

Если и тогда:${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0}$^{[1] [2] [3]}

В этих пределах бесконечно малое изменение часто обозначается или . Если дифференцируемо при , ${\displaystyle h}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \delta x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$. Это определение производной . Все правила дифференциации можно также переформулировать как правила, включающие пределы. Например, если g ( x ) дифференцируема в точке x ,
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)}$. Это цепное правило .
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$. Это правило продукта .
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

Если и дифференцируемы на открытом интервале, содержащем c , за исключением, возможно, самого c , и , можно использовать правило Лопиталя :${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty }$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$^[2]

Если для всех x в интервале, содержащем c , за исключением, возможно, самого c , и предел и оба существуют в c , то ^[5]${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)}$$

Если и для всех x в открытом интервале , содержащем c , за исключением, возможно, самого c , Это известно как теорема о сжатии . ^{[1] [2]} Это применимо даже в случаях, когда f ( x ) и g ( x ) принимают разные значения в c или являются разрывными в c .${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$$${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L.}$$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}$^{[1] [2] [3]}

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}}$если n — положительное целое число ^[5]
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$

В общем случае, если — многочлен, то, в силу непрерывности многочленов, ^[5] Это также верно для рациональных функций , поскольку они непрерывны в своих областях определения . ^[5]${\displaystyle p(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)}$$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.}$^[5] В частности,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}$^[5] В частности ,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0}$^[6]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}$, из-за непрерывности${\displaystyle e^{x}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}$^[6]
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}$^[2]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}$^[2]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$^[7]
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}$^[6]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}}$. Этот предел можно вывести из этого предела.

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},}$для всех положительных a . ^{[4] [7]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}$, в силу непрерывности . В частности,${\displaystyle \ln {x}}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}$^[7]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}$. Этот предел следует из правила Лопиталя .
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\ln x=0}$, следовательно${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$^[6]

Для b > 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty }$

Для b < 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty }$

Оба случая можно обобщить следующим образом:

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty }$

где и — ступенчатая функция Хевисайда${\displaystyle F(x)=2H(x-1)-1}$${\displaystyle H(x)}$

Если выражено в радианах:${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

Оба эти предела вытекают из непрерывности sin и cos.

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$. ^{[7] [8]} Или, в общем,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}$, для не равного 0.
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$, для b не равного 0.
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0}$^{[4] [8] [9]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }$, для целого числа n .
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1}$. Или, в общем,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{ax}}=1}$, для не равного 0.
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$, для b не равного 0.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0}$, где x ₀ — произвольное действительное число.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d}$, где d — число Дотти . x ₀ может быть любым произвольным действительным числом.

В общем случае любой бесконечный ряд является пределом своих частичных сумм . Например, аналитическая функция является пределом своего ряда Тейлора , в пределах своего радиуса сходимости .

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty }$. Это известно как гармонический ряд . ^[6]
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma }$. Это постоянная Эйлера-Маскерони .

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty }$. Это можно доказать, рассмотрев неравенство при .${\displaystyle e^{x}\geq {\frac {x^{n}}{n!}}}$${\displaystyle x=n}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }$. Это можно вывести из формулы Виета для π .

Асимптотические эквивалентности , , истинны, если . Поэтому их также можно переформулировать как пределы. Некоторые известные асимптотические эквивалентности включают${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1}$, в силу теоремы о простых числах , , где π(x) — функция распределения простых чисел .${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1}$, в силу приближения Стирлинга , .${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Поведение функций, описываемых нотацией Big O, также можно описать пределами. Например

• ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))}$если${\displaystyle \limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty }$