Мартингейл (теория вероятностей)

В теории вероятностей мартингал — это последовательность случайных величин ( т. е. стохастический процесс ), для которой в определенный момент времени условное математическое ожидание следующего значения в последовательности равно текущему значению независимо от всех предыдущих значений.

Первоначально мартингейл относился к классу стратегий ставок , которые были популярны во Франции XVIII века . ^{[1] [2]} Самая простая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает свою ставку, если монета выпадает орлом, и проигрывает ее, если монета выпадает решкой. Стратегия заключалась в том, что игрок удваивал свою ставку после каждого проигрыша, так что первый выигрыш покрывал все предыдущие проигрыши и приносил прибыль, равную первоначальной ставке. Поскольку богатство игрока и имеющееся у него время в совокупности стремятся к бесконечности, его вероятность в конечном итоге выпадения орла приближается к 1, что делает стратегию ставок мартингейл похожей на гарантированное дело . Однако экспоненциальный рост ставок в конечном итоге разоряет ее пользователей из-за конечных банкроллов. Остановленное броуновское движение , которое является процессом мартингейла, может использоваться для моделирования траектории таких игр.

Понятие мартингала в теории вероятностей было введено Полем Леви в 1934 году, хотя он не дал ему названия. Термин «мартингал» был введен позже Вилле (1939), который также распространил определение на непрерывные мартингалы. Большая часть первоначальной разработки теории была сделана Джозефом Лео Дубом среди других. Частично мотивацией для этой работы было показать невозможность успешных стратегий ставок в азартных играх.

Базовое определение мартингала с дискретным временем — это стохастический процесс с дискретным временем (т. е. последовательность случайных величин ) X 1 _, X  2 _, X  3 _, ..., который удовлетворяет для любого времени n ,

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert)<\infty}$

${\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}$

То есть условное ожидаемое значение следующего наблюдения, учитывая все прошлые наблюдения, равно самому последнему наблюдению.

В более общем смысле последовательность Y ₁ ,  Y ₂ ,  Y ₃  ... называется мартингалом по отношению к другой последовательности X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃  ..., если для всех n

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert)<\infty}$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots,X_{n})=Y_{n}.}$

Аналогично, непрерывный во времени мартингал относительно случайного процесса X _t является случайным процессом Y _t таким, что для всех t

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert)<\infty}$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_ {t} \mid \{X_ {\tau}, \tau \leq s\}) = Y_ {s} \quad \forall s\leq t.}$

Это выражает свойство, что условное ожидание наблюдения в момент времени t , учитывая все наблюдения до момента времени , равно наблюдению в момент времени s (конечно, при условии, что s  ≤  t ). Второе свойство подразумевает, что измеримо относительно .${\displaystyle с}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle X_{1}\точки X_{n}}$

В полной общности, стохастический процесс, принимающий значения в банаховом пространстве с нормой, является мартингалом относительно фильтрации и вероятностной меры , если${\displaystyle Y:T\times \Omega \to S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \lВертикаль \cdot \rВертикаль _{S}}$ ${\displaystyle \Сигма _{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Σ _∗ — фильтрация базового вероятностного пространства (Ω, Σ,  );${\displaystyle \mathbb {P} }$
• Y адаптирована к фильтрации Σ _∗ , т.е. для каждого t в наборе индексов T случайная величина Y _t является Σ _t -измеримой функцией ;
• для каждого t , Y _t лежит в пространстве L ^p L ¹ (Ω, Σ _t ,  ;  S ), т.е.${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ mathbb {P} } (\ lVert Y_ {t} \ rVert _ {S}) <+ \ infty ;}$

• для всех s и t с s  <  t и всех F  ∈ Σ _s ,

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}$

где χ _F обозначает индикаторную функцию события F. В работе Гриммета и Стирзакера «Вероятность и случайные процессы » это последнее условие обозначается как

${\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),}$

что является общей формой условного ожидания . ^[3]

Важно отметить, что свойство быть мартингалом включает в себя как фильтрацию , так и меру вероятности (по отношению к которой принимаются ожидания). Возможно, что Y может быть мартингалом по отношению к одной мере, но не по отношению к другой; теорема Гирсанова предлагает способ найти меру, по отношению к которой процесс Ито является мартингалом.

В банаховом пространстве условное математическое ожидание также обозначается в операторной нотации как . ^[4]${\displaystyle \mathbf {E} ^{\Sigma _{s}}Y_{t}}$

• Непредвзятое случайное блуждание в любом количестве измерений является примером мартингала.
• Состояние игрока (капитал) является мартингалом, если все игры ставок, в которые играет игрок, являются честными. Игрок играет в игру подбрасывания монеты . Предположим, что X _n — это состояние игрока после n подбрасываний честной монеты , так что игрок выигрывает 1 доллар, если выпадает орел, и проигрывает 1 доллар, если выпадает решка. Условное ожидаемое состояние игрока после следующей игры, учитывая историю, равно его текущему состоянию. Таким образом, эта последовательность является мартингалом.
• Пусть Y _n = X _n ² − n , где X _n — состояние игрока из предыдущего примера. Тогда последовательность { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } является мартингалом. Это можно использовать, чтобы показать, что общий выигрыш или проигрыш игрока варьируется примерно между плюсом или минусом квадратного корня из числа сыгранных игр подбрасывания монеты.
• Мартингал де Муавра : Предположим, что результаты подбрасывания монеты несправедливы , т. е. предвзяты, с вероятностью p выпадения орла и вероятностью q  = 1 −  p выпадения решки. Пусть

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

с "+" в случае "орла" и "−" в случае "решки". Пусть

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}}$

Тогда { Y _n  : n = 1, 2, 3, ...} является мартингалом относительно { X _n  : n = 1, 2, 3, ...}. Чтобы показать это

${\displaystyle {\begin{align}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{align}}}$

• Урна Полиа содержит несколько разноцветных шариков; на каждой итерации шарик случайным образом выбирается из урны и заменяется несколькими шариками того же цвета. Для любого заданного цвета доля шариков в урне с этим цветом является мартингалом. Например, если в настоящее время 95% шариков красные, то, хотя следующая итерация с большей вероятностью добавит красные шарики, чем шарики другого цвета, это смещение точно уравновешивается тем фактом, что добавление большего количества красных шариков изменяет долю гораздо менее значительно, чем добавление того же количества некрасных шариков.
• Тестирование отношения правдоподобия в статистике : случайная величина X считается распределенной либо в соответствии с плотностью вероятности f, либо в соответствии с другой плотностью вероятности g . Берется случайная выборка X ₁ , ..., X _n . Пусть Y _n будет "отношением правдоподобия"

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

Если X фактически распределено в соответствии с плотностью f, а не в соответствии с g , то { Y _n  : n =1, 2, 3,...} является мартингалом относительно { X _n  : n =1, 2, 3, ...}

• В экологическом сообществе , то есть группе видов, которые находятся на определенном трофическом уровне, конкурирующих за схожие ресурсы в локальной области, количество особей любого конкретного вида фиксированного размера является функцией (дискретного) времени и может рассматриваться как последовательность случайных величин. Эта последовательность является мартингалом в рамках единой нейтральной теории биоразнообразия и биогеографии .
• Если { N _t  : t  ≥ 0} — это пуассоновский процесс с интенсивностью λ , то скомпенсированный пуассоновский процесс {  N _t  −  λt  : t  ≥ 0} — это непрерывный во времени мартингал с непрерывными справа/предельными слева траекториями выборки.
• мартингейл Вальда
• -мерный процесс в некотором пространстве является мартингалом в , если каждый компонент является одномерным мартингалом в .${\displaystyle д}$${\displaystyle M=(M^{(1)},\точки ,M^{(d)})}$${\displaystyle S^{d}}$${\displaystyle S^{d}}$${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$${\displaystyle S}$

Существуют два обобщения мартингала, которые также включают случаи, когда текущее наблюдение X _n не обязательно равно будущему условному ожиданию E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ], а вместо этого является верхней или нижней границей условного ожидания. Эти обобщения отражают связь между теорией мартингала и теорией потенциала , то есть изучением гармонических функций . Так же, как непрерывный во времени мартингал удовлетворяет E [ X _t  | { X _τ  :  τ  ≤  s }] −  X _s  = 0 ∀ s  ≤  t , гармоническая функция f удовлетворяет частному дифференциальному уравнению Δ f  = 0, где Δ — оператор Лапласа . Если задан процесс броуновского движения W _t и гармоническая функция f , то результирующий процесс f ( W _t ) также является мартингалом.

• Дискретный субмартингал — это последовательность интегрируемых случайных величин , удовлетворяющая${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

Аналогично, непрерывный во времени субмартингал удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

В теории потенциала субгармоническая функция f удовлетворяет Δ f  ≥ 0. Любая субгармоническая функция, которая ограничена сверху гармонической функцией для всех точек на границе шара, ограничена сверху гармонической функцией для всех точек внутри шара. Аналогично, если субмартингал и мартингал имеют эквивалентные ожидания для заданного времени, история субмартингала имеет тенденцию быть ограниченной сверху историей мартингала. Грубо говоря, префикс « суб-» является последовательным, поскольку текущее наблюдение X _n меньше (или равно ) условного ожидания E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]. Следовательно, текущее наблюдение обеспечивает поддержку снизу будущего условного ожидания, и процесс имеет тенденцию увеличиваться в будущем времени.

• Аналогично, дискретный по времени супермартингал удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

Аналогично, непрерывный во времени супермартингал удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

В теории потенциала супергармоническая функция f удовлетворяет Δ f ≤ 0. Любая супергармоническая функция, ограниченная снизу гармонической функцией для всех точек на границе шара, ограничена снизу гармонической функцией для всех точек внутри шара. Аналогично, если супермартингал и мартингал имеют эквивалентные ожидания для заданного времени, история супермартингала имеет тенденцию быть ограниченной снизу  историей мартингала. Грубо говоря, префикс «супер-» является последовательным, поскольку текущее наблюдение X _n больше (или равно) условного ожидания E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]. Следовательно, текущее наблюдение обеспечивает поддержку сверху будущего условного ожидания, и процесс имеет тенденцию уменьшаться в будущем времени.

• Каждый мартингал также является субмартингалом и супермартингалом. И наоборот, любой стохастический процесс, который является одновременно субмартингалом и супермартингалом, является мартингалом.
• Рассмотрим снова игрока, который выигрывает $1, когда монета выпадает орлом, и проигрывает $1, когда монета выпадает решкой. Предположим теперь, что монета может быть предвзятой, так что она выпадает орлом с вероятностью p .
  • Если p равно 1/2, то игрок в среднем не выигрывает и не проигрывает деньги, а его состояние с течением времени представляет собой мартингейл.
  • Если p меньше 1/2, игрок в среднем теряет деньги, а его состояние с течением времени представляет собой супермартингейл.
  • Если p больше 1/2, игрок в среднем выигрывает деньги, а его состояние с течением времени представляет собой субмартингейл.
• Выпуклая функция мартингала является субмартингалом, согласно неравенству Йенсена . Например, квадрат состояния игрока в игре в честную монету является субмартингалом (что также следует из того факта, что X _n ²  −  n является мартингалом). Аналогично, вогнутая функция мартингала является супермартингалом.

Время остановки относительно последовательности случайных величин X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ... — это случайная величина τ со свойством, что для каждого t наступление или ненаступление события τ = t зависит только от значений X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ...,  X _t . Интуиция, лежащая в основе определения, заключается в том, что в любой конкретный момент времени t вы можете посмотреть на последовательность до сих пор и сказать, пора ли остановиться. Примером из реальной жизни может быть время, в которое игрок покидает игровой стол, что может быть функцией его предыдущих выигрышей (например, он может уйти только тогда, когда он разорится), но он не может выбрать уйти или остаться на основе результатов игр, которые еще не были сыграны.

В некоторых контекстах понятие времени остановки определяется требованием только того, чтобы возникновение или невозникновение события τ  =  t было вероятностно независимым от X _{t  + 1} ,  X _{t  + 2} , ..., но не того, чтобы оно полностью определялось историей процесса до времени  t . Это более слабое условие, чем то, которое появляется в абзаце выше, но оно достаточно сильное, чтобы служить в некоторых доказательствах, в которых используются времена остановки.

Одним из основных свойств мартингалов является то, что если — (суб-/супер-)мартингал и — момент остановки, то соответствующий остановленный процесс, определяемый как , также является (суб-/супер-)мартингалом.${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$${\displaystyle \тау}$${\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}}$${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$

Концепция остановленного мартингала приводит к ряду важных теорем, включая, например, теорему о необязательной остановке , которая утверждает, что при определенных условиях ожидаемое значение мартингала в момент остановки равно его начальному значению.

• «Мартингейл», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Великолепие и нищета Мартингалов». Электронный журнал истории вероятностей и статистики . 5 (1). Июнь 2009 г. Весь выпуск посвящен теории вероятностей Мартингейла (редакторы Лоран Мазлиак и Гленн Шафер).
• Бальди, Паоло; Мазлиак, Лоран; Приоре, Пьер (1991). Мартингалы и цепи Маркова . Чепмен и Холл. ISBN 978-1-584-88329-6.
• Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с Мартингалами . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Ричард, Марк; Вечер, Ян (2021). «Тестирование эффективности рынков прогнозирования: подход Мартингейла, отношение правдоподобия и анализ байесовского фактора». Риски . 9 (2): 31. doi : 10.3390/risks9020031 . hdl : 10419/258120 .
• Siminelakis, Париж (2010). "Мартингалы и время остановки: использование мартингалов при получении границ и анализе алгоритмов" (PDF) . Афинский университет. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-02-19 . Получено 2010-06-18 .
• Вилле, Жан (1939). «Этюд критики понятия коллективизма». Бюллетень Американского математического общества . Монографии вероятностей (на французском языке). 3 (11). Париж: 824–825. дои : 10.1090/S0002-9904-1939-07089-4 . Збл  0021.14601. Обзор Дуба.