Теорема Гирсанова

В теории вероятностей теорема Гирсанова или теорема Камерона-Мартина-Гирсанова говорит о том, как изменяются стохастические процессы при изменении меры . Теорема особенно важна в теории финансовой математики , поскольку она говорит о том, как преобразовать физическую меру , которая описывает вероятность того, что базовый инструмент (такой как цена акций или процентная ставка ) примет определенное значение или значения, в нейтральную по отношению к риску меру , которая является очень полезным инструментом для оценки стоимости производных инструментов на базовый инструмент.

Результаты такого типа были впервые доказаны Кэмероном-Мартином в 1940-х годах и Игорем Гирсановым в 1960 году. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, достигнув высшей точки в общей форме Ленгларта (1977).

Теорема Гирсанова важна в общей теории случайных процессов, поскольку она позволяет получить ключевой результат: если Q — мера , абсолютно непрерывная относительно P , то каждый P -семимартингал является Q -семимартингалом.

Сначала мы формулируем теорему для частного случая, когда базовый стохастический процесс является винеровским процессом . Этот частный случай достаточен для ценообразования, нейтрального к риску, в модели Блэка–Шоулза .

Пусть будет винеровским процессом на винеровском вероятностном пространстве . Пусть будет измеримым процессом, адаптированным к естественной фильтрации винеровского процесса ; мы предполагаем, что обычные условия выполнены.${\displaystyle \{W_{t}\}}$${\displaystyle \{\Omega, {\mathcal {F}},P\}}$${\displaystyle X_{т}}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$

Учитывая адаптированный процесс, определите${\displaystyle X_{т}}$

${\displaystyle Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t},\,}$

где - стохастическая экспонента X относительно W , т.е.${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}$

и обозначает квадратичную вариацию процесса X.${\displaystyle [X]_{т}}$

Если - мартингал , то вероятностная мера Q может быть определена таким образом, что производная Радона–Никодима${\displaystyle Z_{т}}$${\displaystyle \{\Omega, {\mathcal {F}}\}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dQ}{dP}}\right|_{{\mathcal {F}}_{t}}=Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}}$

Тогда для каждого t мера Q, ограниченная нерасширенными сигма-полями, эквивалентна P , ограниченному${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}.\,}$

Более того, если — локальный мартингал относительно P , то процесс${\displaystyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}$

представляет собой Q- локальный мартингал на отфильтрованном вероятностном пространстве .${\displaystyle \{\Omega ,F,Q,\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}\}}$

Если X — непрерывный процесс, а W — броуновское движение под действием меры P , то

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}}$

является броуновским движением под действием Q.

Тот факт, что является непрерывным, тривиален; по теореме Гирсанова это Q локальный мартингал, и вычисляя${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$

${\displaystyle \left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t}$

из характеристики броуновского движения Леви следует, что это Q - броуновское движение.

Во многих распространенных приложениях процесс X определяется как

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.}$

Для X этого вида необходимым и достаточным условием для того, чтобы быть мартингалом, является условие Новикова , которое требует, чтобы${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds\right)\right]<\infty .}$

Стохастическая экспонента — это процесс Z , который решает стохастическое дифференциальное уравнение${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dX_{s}.\,}$

Построенная выше мера Q не эквивалентна P на , поскольку это было бы только в том случае, если бы производная Радона–Никодима была равномерно интегрируемым мартингалом, чем не является описанный выше экспоненциальный мартингал. С другой стороны, пока выполняется условие Новикова, меры эквивалентны на .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$

Кроме того, объединяя это вышеприведенное наблюдение в данном случае, мы видим, что процесс

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds}$

для — это броуновское движение Q. Это была оригинальная формулировка Игоря Гирсанова приведенной выше теоремы.${\displaystyle t\in [0,T]}$

Эту теорему можно использовать для того, чтобы показать в модели Блэка-Шоулза, что уникальная мера, нейтральная к риску, т. е. мера, в которой справедливая стоимость производного инструмента равна дисконтированному ожидаемому значению Q, определяется как

${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}{\frac {r_{s}-\mu _{s}}{\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).}$

Другое применение этой теоремы, также приведенное в оригинальной статье Игоря Гирсанова, касается стохастических дифференциальных уравнений . В частности, рассмотрим уравнение

${\displaystyle dX_{t}=\mu (t,X_{t})dt+dW_{t},}$

где обозначает броуновское движение. Здесь и — фиксированные детерминированные функции. Мы предполагаем, что это уравнение имеет единственное сильное решение на . В этом случае теорема Гирсанова может быть использована для вычисления функционалов непосредственно в терминах связанного функционала для броуновского движения. Более конкретно, для любого ограниченного функционала на непрерывных функциях имеем, что${\displaystyle W_{т}}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle X_{т}}$${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (W)\exp \left(\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})^{2}ds\right)\right].}$

Это следует из теоремы Гирсанова и приведенного выше наблюдения к процессу мартингала.

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})dW_{s}.}$

В частности, с учетом вышеприведенных обозначений процесс

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})ds}$

является Q-броуновским движением. Переписывая это в дифференциальной форме, как

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}+\mu (t,W_{t})dt,}$

мы видим, что закон относительно Q решает уравнение, определяющее , поскольку есть броуновское движение Q. В частности, мы видим, что правая часть может быть записана как , где Q — мера, принимаемая по отношению к процессу Y, так что теперь результат — это просто утверждение теоремы Гирсанова.${\displaystyle W_{т}}$${\displaystyle X_{т}}$${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$${\displaystyle E_{Q}[\Phi (W)]}$

Более общая форма этого применения такова: если оба

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)dW_{t},}$ ${\displaystyle dY_{t}=(\mu (Y_{t},t)+\nu (Y_{t},t))dt+\sigma (Y_{t},t)dW_{t},}$

допускают единственные сильные решения на , тогда для любого ограниченного функционала на , имеем, что${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (Y)\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)}{\sigma (Y_{s},s)}}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)^{2}}{\sigma (Y_{s},s)^{2}}}ds\right)\right].}$

• Теорема Кэмерона–Мартина  – Теорема, определяющая перенос гауссовских мер (мер Винера) на гильбертовых пространствах.

• Липцер, Роберт С.; Ширяев, А. Н. (2001). Статистика случайных процессов (2-е, перераб. и эксп. изд.). Springer. ISBN 3-540-63929-2.
• Деллашери, К.; Мейер, П.-А. (1982). «Разложение супермартингалов, приложения». Вероятности и потенциал . Том B. Перевод Уилсона, Дж. П. Норт-Холланда. С. 183–308. ISBN 0-444-86526-8.
• Ленгларт, Э. (1977). «Преобразование локальных мартингалов с абсолютным продолжением вероятностей». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit (на французском языке). 39 : 65–70. дои : 10.1007/BF01844873 .

• Заметки по стохастическому исчислению, содержащие простое схематическое доказательство теоремы Гирсанова.