Мартингейл (система ставок)

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Martingale" betting system – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2022) (Learn how and when to remove this message)

Мартингейл — это класс стратегий ставок , которые возникли и были популярны во Франции XVIII века . Простейшая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает ставку, если монета выпадает орлом, и проигрывает, если выпадает решкой. Стратегия заключалась в том, что игрок удваивал ставку после каждого проигрыша, так что первый выигрыш покрывал все предыдущие проигрыши и приносил прибыль, равную первоначальной ставке. Таким образом, стратегия является примером парадокса Санкт-Петербурга .

Поскольку игрок почти наверняка в конечном итоге выпадет орел , стратегия ставок по методу мартингейла наверняка принесет игроку деньги, при условии, что у него бесконечное богатство и нет ограничений на сумму, заработанную на одной ставке. Однако ни у одного игрока нет бесконечного богатства, и экспоненциальный рост ставок может разорить неудачливых игроков, которые решат использовать мартингейл, что приведет к катастрофическим потерям. Несмотря на то, что игрок обычно выигрывает небольшое чистое вознаграждение, таким образом, кажется, что у него есть надежная стратегия, ожидаемая ценность игрока остается нулевой, поскольку небольшая вероятность того, что игрок понесет катастрофические потери, точно уравновешивает ожидаемый выигрыш. В казино ожидаемая ценность отрицательна из-за преимущества заведения . Кроме того, поскольку вероятность серии последовательных потерь выше, чем предполагает общая интуиция, стратегии мартингейла могут быстро разорить игрока. ^[1]

Стратегия мартингейла также применяется в рулетке , поскольку вероятность выпадения красного или черного приближается к 50% ^{[2] .}

Основная причина, по которой все системы ставок типа мартингейла терпят неудачу, заключается в том, что никакое количество информации о результатах прошлых ставок не может быть использовано для предсказания результатов будущей ставки с точностью, лучшей, чем случайность. В математической терминологии это соответствует предположению, что результаты выигрыша-проигрыша каждой ставки являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , предположение, которое справедливо во многих реалистичных ситуациях. ^[3] Из этого предположения следует, что ожидаемое значение серии ставок равно сумме по всем ставкам, которые потенциально могут произойти в серии, ожидаемого значения потенциальной ставки, умноженной на вероятность того, что игрок сделает эту ставку. В большинстве игр казино ожидаемое значение любой отдельной ставки отрицательно, поэтому сумма многих отрицательных чисел также всегда будет отрицательной.

Стратегия мартингейла терпит неудачу даже при неограниченном времени остановки, пока есть ограничение на прибыль или ставки (что также верно на практике). ^[4] Только при неограниченном богатстве, ставках и времени можно утверждать, что мартингейл становится выигрышной стратегией .

Невозможность выигрыша в долгосрочной перспективе при ограничении размера ставок или ограничении размера банкролла или кредитной линии доказывается теоремой о необязательной остановке . ^[4]

Однако без этих ограничений стратегия ставок по методу мартингейла наверняка принесет игроку прибыль, поскольку вероятность того, что хотя бы один раз при подбрасывании монеты выпадет орел, приближается к единице, поскольку количество подбрасываний монеты стремится к бесконечности.

Пусть один раунд определяется как последовательность последовательных проигрышей, за которыми следует либо выигрыш, либо банкротство игрока. После выигрыша игрок «сбрасывается» и считается начавшим новый раунд. Таким образом, непрерывную последовательность ставок мартингейла можно разбить на последовательность независимых раундов. Ниже приведен анализ ожидаемого значения одного раунда.

Пусть q — вероятность проигрыша (например, для американской рулетки с двойным зеро она составляет 20/38 для ставки на черное или красное). Пусть B — сумма начальной ставки. Пусть n — конечное число ставок, которые игрок может позволить себе проиграть.

Вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, равна q ⁿ . Когда все ставки проиграют, общий убыток составит

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}$

Вероятность того, что игрок не проиграет все n ставок, равна 1 −  q ⁿ . Во всех остальных случаях игрок выигрывает начальную ставку ( B .) Таким образом, ожидаемая прибыль за раунд равна

${\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}$

Всякий раз, когда q  > 1/2, выражение 1 − (2 q ) ⁿ  < 0 для всех n  > 0. Таким образом, для всех игр, где игрок с большей вероятностью проиграет, чем выиграет любую заданную ставку, ожидается, что этот игрок будет терять деньги в среднем в каждом раунде. Увеличение размера ставки в каждом раунде по системе мартингейла приводит только к увеличению среднего проигрыша.

Предположим, что у игрока есть игровой банк в размере 63 единиц. Игрок может поставить 1 единицу на первый спин. При каждом проигрыше ставка удваивается. Таким образом, принимая k за количество предыдущих последовательных проигрышей, игрок всегда будет ставить 2 ^k единиц.

При выигрыше на любом спине игрок получает 1 единицу сверх общей суммы ставок на тот момент. Как только этот выигрыш достигнут, игрок перезапускает систему со ставкой в ​​1 единицу.

При проигрышах на всех первых шести спинах игрок теряет в общей сложности 63 единицы. Это истощает банкролл, и мартингейл не может быть продолжен.

В этом примере вероятность проиграть весь банкролл и не продолжить мартингейл равна вероятности 6 последовательных проигрышей: (10/19) ⁶ = 2,1256%. Вероятность выигрыша равна 1 минус вероятность проигрыша 6 раз: 1 − (10/19) ⁶  = 97,8744%.

Ожидаемая сумма выигрыша составляет (1 × 0,978744) = 0,978744.
Ожидаемая сумма проигрыша составляет (63 × 0,021256) = 1,339118.
Таким образом, общее ожидаемое значение для каждого применения системы ставок составляет (0,978744 − 1,339118) = −0,360374.

В уникальном случае эта стратегия может иметь смысл. Предположим, что у игрока есть ровно 63 единицы, но ему отчаянно нужно всего 64. Предполагая, что q  > 1/2 (это настоящее казино), и он может делать ставки только с равными шансами, его лучшая стратегия — смелая игра : при каждом вращении он должен ставить наименьшую сумму, так что в случае выигрыша он немедленно достигнет своей цели, а если у него недостаточно денег для этого, он должен просто поставить все. В конце концов он либо проиграет, либо достигнет своей цели. Эта стратегия дает ему вероятность 97,8744% достижения цели выигрыша одной единицы против 2,1256% вероятности проиграть все 63 единицы, и это наилучшая вероятность в данных обстоятельствах. ^[5] Однако смелая игра не всегда является оптимальной стратегией для получения максимально возможного шанса увеличить начальный капитал до желаемой более высокой суммы. Если игрок может делать ставки произвольно малых сумм при произвольно больших коэффициентах (но все еще с тем же ожидаемым проигрышем в размере 10/19 от ставки при каждой ставке) и может делать только одну ставку при каждом вращении, то существуют стратегии с вероятностью достижения цели более 98%, и они используют очень робкую игру, если только игрок не близок к потере всего своего капитала, в этом случае он переключается на чрезвычайно смелую игру. ^[6]

Предыдущий анализ вычисляет ожидаемое значение , но мы можем задать другой вопрос: какова вероятность того, что можно играть в казино, используя стратегию мартингейла, и избегать полосы неудач достаточно долго, чтобы удвоить свой банкролл?

Как и прежде, это зависит от вероятности проигрыша 6 спинов рулетки подряд, предполагая, что мы делаем ставку на красное/черное или чет/нечет. Многие игроки считают, что шансы проиграть 6 подряд невелики, и что при терпеливом следовании стратегии они будут медленно увеличивать свой банкролл.

В действительности, вероятность серии из 6 проигрышей подряд намного выше, чем многие интуитивно полагают. Психологические исследования показали, что, поскольку люди знают, что вероятность проиграть 6 раз подряд из 6 игр низкая, они ошибочно предполагают, что в более длинной серии игр вероятность также очень низкая. Фактически, в то время как вероятность проиграть 6 раз подряд в 6 играх относительно низкая и составляет 1,8% на колесе с одним зеро, вероятность проиграть 6 раз подряд (т. е. столкнуться с серией из 6 проигрышей) в какой-то момент в серии из 200 игр составляет примерно 84%. Даже если игрок может позволить себе ставки, в ~1000 раз превышающие его первоначальную ставку, серия из 10 проигрышей подряд имеет вероятность ~11% в серии из 200 игр. Такая полоса неудач, скорее всего, разорит игрока, поскольку 10 последовательных проигрышей при использовании стратегии мартингейла означают потерю в 1023 раза больше первоначальной ставки.

Эти неинтуитивно рискованные вероятности повышают требования к банкроллу для «безопасных» долгосрочных ставок по методу мартингейла до нереально высоких цифр. Чтобы иметь менее 10% вероятности не пережить длинную полосу проигрышей в течение 5000 игр, игрок должен иметь достаточно, чтобы удвоить свои ставки на 15 проигрышей. Это означает, что игрок должен иметь более 65 500 (2^15-1 для своих 15 проигрышей и 2^15 для своей 16-й выигрышной ставки, заканчивающей полосу) раз больше своего первоначального размера ставки. Таким образом, игрок, делающий ставки в 10 единиц, хотел бы иметь более 655 000 единиц в своем банкролле (и все еще иметь ~5,5% вероятность проиграть все это в течение 5000 игр).

Когда людей просят придумать данные, представляющие 200 подбрасываний монеты, они часто не добавляют полосы из более чем 5, поскольку считают, что эти полосы очень маловероятны. ^[7] Это интуитивное убеждение иногда называют эвристикой репрезентативности .

В классическом стиле ставок мартингейл игроки увеличивают ставки после каждого проигрыша в надежде, что возможный выигрыш восполнит все предыдущие проигрыши. Подход анти-мартингейл, также известный как обратный мартингейл, вместо этого увеличивает ставки после выигрышей, одновременно уменьшая их после проигрыша. Восприятие заключается в том, что игрок выиграет от выигрышной серии или «горячей руки», одновременно уменьшая потери, будучи «холодным» или иным образом имея проигрышную серию. Поскольку отдельные ставки независимы друг от друга (и от ожиданий игрока), концепция выигрышных «серий» является всего лишь примером ошибки игрока , и стратегия анти-мартингейл не приносит никаких денег. ^[8]

• Удвоить или ничего  – решение в азартных играх, которое либо удвоит проигрыш, либо аннулирует его.
• Эскалация обязательств  – модель поведения человека, при которой участник берет на себя все больший риск.
• Петербургский парадокс  – Парадокс, связанный с игрой с многократным подбрасыванием монеты.
• Ошибка невозвратных издержек  — издержки, которые уже были понесены и не могут быть возмещены.Pages displaying short descriptions of redirect targets