Специализация (пред)заказ

В разделе математики, известном как топология , предпорядок специализации (или канонический ) является естественным предпорядком на множестве точек топологического пространства . Для большинства пространств, рассматриваемых на практике, а именно для всех тех, которые удовлетворяют аксиоме разделения T ₀ , этот предпорядок является даже частичным порядком (называемым порядком специализации ). С другой стороны, для пространств T ₁ порядок становится тривиальным и не представляет большого интереса.

Порядок специализации часто рассматривается в приложениях в информатике , где пространства T ₀ встречаются в денотационной семантике . Порядок специализации также важен для определения подходящих топологий на частично упорядоченных множествах, как это делается в теории порядка .

Рассмотрим любое топологическое пространство X. Специализация предпорядка ≤ на X связывает две точки X , когда одна лежит в замыкании другой. Однако разные авторы расходятся во мнениях о том, в каком «направлении» должен идти порядок. Согласовано ^{[ требуется ссылка ]} , что если

x содержится в cl{ y },

(где cl{ y } обозначает замыкание множества отдельных элементов { y }, т.е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих { y }), мы говорим, что x является специализацией y , а y является обобщением x ; это обычно записывается как y ⤳ x .

К сожалению, свойство « x является специализацией y » разными авторами по-разному записывается как « x ≤ y » и как « y ≤ x » (см., соответственно, ^[1] и ^[2] ).

Оба определения имеют интуитивные обоснования: в случае первого мы имеем

x ≤ y тогда и только тогда, когда cl{ x } ⊆ cl{ y }.

Однако в случае, когда наше пространство X является простым спектром Spec R коммутативного кольца R (что является мотивационной ситуацией в приложениях, связанных с алгебраической геометрией ), то в соответствии с нашим вторым определением порядка мы имеем

y ≤ x тогда и только тогда, когда y ⊆ x как простые идеалы кольца R.

Для обеспечения последовательности в оставшейся части статьи мы возьмем первое определение, что " x является специализацией y ", записанное как x ≤ y . Тогда мы увидим,

x ≤ y тогда и только тогда, когда x содержится во всех замкнутых множествах , содержащих y .

x ≤ y тогда и только тогда, когда y содержится во всех открытых множествах , содержащих x .

Эти переформулировки помогают объяснить, почему говорят о «специализации»: y является более общим, чем x , поскольку он содержится в более открытых множествах. Это особенно интуитивно понятно, если рассматривать замкнутые множества как свойства, которыми точка x может обладать или не обладать. Чем больше замкнутых множеств содержит точку, тем больше свойств у нее есть и тем она более специфична. Использование согласуется с классическими логическими понятиями рода и вида ; а также с традиционным использованием общих точек в алгебраической геометрии , в которой замкнутые точки являются наиболее конкретными, в то время как общая точка пространства — это точка, содержащаяся в каждом непустом открытом подмножестве. Специализация как идея применяется также в теории оценки .

Интуиция о том, что верхние элементы являются более конкретными, обычно встречается в теории доменов — разделе теории порядка, который имеет широкое применение в информатике.

Пусть X — топологическое пространство, а ≤ — предпорядок специализации на X. Каждое открытое множество является верхним множеством относительно ≤, а каждое замкнутое множество является нижним множеством . Обратные утверждения, как правило, неверны. Фактически, топологическое пространство является дискретным по Александрову пространством тогда и только тогда, когда каждое верхнее множество также открыто (или, что эквивалентно, каждое нижнее множество также замкнуто).

Пусть A — подмножество X. Наименьшее верхнее множество, содержащее A, обозначается ↑ A , а наименьшее нижнее множество, содержащее A, обозначается ↓ A. В случае, если A = { x } — одиночный элемент, используются обозначения ↑ x и ↓ x . Для x ∈ X имеем:

• ↑ x = { y ∈ X  : x ≤ y } = ∩{открытые множества, содержащие x }.
• ↓ x = { y ∈ X  : y ≤ x } = ∩{замкнутые множества, содержащие x } = cl{ x }.

Нижнее множество ↓ x всегда замкнуто; однако верхнее множество ↑ x не обязательно должно быть открытым или замкнутым. Замкнутые точки топологического пространства X — это в точности минимальные элементы X относительно ≤.

• В пространстве Серпинского {0,1} с открытыми множествами {∅, {1}, {0,1}} порядок специализации является естественным (0 ≤ 0, 0 ≤ 1 и 1 ≤ 1).
• Если p , q являются элементами Spec( R ) ( спектра коммутативного кольца R ) , то p ≤ q тогда и только тогда, когда q ⊆ p (как простые идеалы ). Таким образом, замкнутые точки Spec( R ) являются в точности максимальными идеалами .

Как следует из названия, специализация preorder является preorder, то есть она рефлексивна и транзитивна .

Отношение эквивалентности , определяемое предпорядком специализации, есть просто отношение топологической неразличимости . То есть, x и y топологически неразличимы тогда и только тогда, когда x ≤ y и y ≤ x . Следовательно, антисимметрия ≤ — это в точности аксиома разделения T ₀ : если x и y неразличимы, то x = y . В этом случае оправданно говорить о порядке специализации .

С другой стороны, симметрия предпорядка специализации эквивалентна аксиоме разделения R ₀ : x ≤ y тогда и только тогда, когда x и y топологически неразличимы. Из этого следует, что если базовая топология — T ₁ , то порядок специализации дискретен, т. е. x ≤ y тогда и только тогда, когда x = y . Следовательно, порядок специализации не представляет большого интереса для топологий T ₁ , особенно для всех хаусдорфовых пространств .

Любая непрерывная функция между двумя топологическими пространствами монотонна относительно предпорядков специализации этих пространств: подразумевает Обратное, однако, в общем случае неверно. На языке теории категорий мы тогда имеем функтор из категории топологических пространств в категорию предупорядоченных множеств , который назначает топологическому пространству его предпорядок специализации. Этот функтор имеет левый сопряженный , который помещает топологию Александрова на предупорядоченное множество.${\displaystyle f}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

Существуют пространства, которые более специфичны, чем пространства T ₀ , для которых этот порядок интересен: трезвые пространства . Их связь с порядком специализации более тонкая:

Для любого трезвого пространства X с порядком специализации ≤ имеем

• ( X , ≤) является направленным полным частичным порядком , т.е. каждое направленное подмножество S из ( X , ≤) имеет супремум sup S ,
• для каждого направленного подмножества S из ( X , ≤) и каждого открытого множества O , если sup S принадлежит O , то S и O имеют непустое пересечение .

Второе свойство можно описать, сказав, что открытые множества недостижимы направленными супремумами . Топология является упорядоченно согласованной относительно определенного порядка ≤, если она индуцирует ≤ как свой порядок специализации и обладает указанным выше свойством недостижимости относительно (существующих) супремумов направленных множеств в ≤.

Специализированный порядок дает инструмент для получения предпорядка из каждой топологии. Естественно спросить и об обратном: получается ли каждый предпорядок как предпорядок специализации некоторой топологии?

Действительно, ответ на этот вопрос положительный, и вообще существует много топологий на множестве X , которые индуцируют заданный порядок ≤ как свой порядок специализации. Топология Александрова порядка ≤ играет особую роль: это самая тонкая топология, которая индуцирует ≤. Другая крайность, самая грубая топология, которая индуцирует ≤, — это верхняя топология , наименьшая топология, в пределах которой все дополнения множеств ↓ x (для некоторого x из X ) открыты.

Существуют также интересные топологии между этими двумя крайностями. Самая тонкая трезвая топология, которая является упорядоченно-согласованной в указанном выше смысле для заданного порядка ≤, — это топология Скотта . Однако верхняя топология по-прежнему является самой грубой трезвой порядково-согласованной топологией. Фактически, ее открытые множества даже недоступны никаким супремам. Следовательно, любое трезвое пространство со специализацией order ≤ тоньше верхней топологии и грубее топологии Скотта. Тем не менее, такое пространство может не существовать, то есть существуют частичные порядки, для которых нет трезвой порядково-согласованной топологии. В частности, топология Скотта не обязательно трезвая.

• MM Bonsangue, Topological Duality in Semantics , том 8 Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 1998. Переработанная версия докторской диссертации автора. Доступно онлайн, см. особенно Главу 5, в которой объясняются мотивы с точки зрения денотационной семантики в информатике. См. также домашнюю страницу автора.