Пространство Т1

В топологии и смежных разделах математики пространство T ₁ — это топологическое пространство , в котором для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность , не содержащую другую точку. ^[1] Пространство R ₀ — это такое пространство , в котором это выполняется для каждой пары топологически различимых точек. Свойства T ₁ и R ₀ являются примерами аксиом разделения .

Пусть X — топологическое пространство , а x и y — точки в X. Мы говорим, что x и y разделены , если каждая из них лежит в окрестности , не содержащей другую точку.

• X называется пространством T ₁ , если любые две различные точки в X разделены.
• X называется пространством R ₀ , если любые две топологически различимые точки в X разделены.

Пространство AT ₁ также называется доступным пространством или пространством с топологией Фреше , а пространство R ₀ также называется симметричным пространством . (Термин пространство Фреше также имеет совершенно иное значение в функциональном анализе . По этой причине термин пространство T ₁ является более предпочтительным. Существует также понятие пространства Фреше–Урысона как типа последовательного пространства . Термин симметричное пространство также имеет и другое значение .)

Топологическое пространство является пространством T ₁ тогда и только тогда, когда оно является одновременно пространством R ₀ и пространством Колмогорова (или T ₀ ) (т. е. пространством, в котором различные точки топологически различимы). Топологическое пространство является пространством R ₀ тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова является пространством T ₁ .

Если — топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны:${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является пространством T ₁ .
2. ${\displaystyle X}$является пространством T ₀ и пространством R ₀ .
3. Точки замкнуты в ; то есть, для каждой точки одноэлементное множество является замкнутым подмножеством${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X.}$
4. Каждое подмножество является пересечением всех открытых множеств, его содержащих.${\displaystyle X}$
5. Каждое конечное множество замкнуто. ^[2]
6. Каждое коконечное множество открыто.${\displaystyle X}$
7. Для каждого фиксированного ультрафильтра при сходится только к${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle х.}$
8. Для каждого подмножества и каждая точка является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая открытая окрестность содержит бесконечно много точек${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle С.}$
9. Каждое отображение из пространства Серпинского в является тривиальным.${\displaystyle X}$
10. Отображение из пространства Серпинского в единственную точку обладает свойством подъема относительно отображения из в единственную точку.${\displaystyle X}$

Если — топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны: ^[3] (где обозначает замыкание )${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$${\displaystyle \{x\}}$

1. ${\displaystyle X}$является пространством R ₀ .
2. При любом замыкании содержит только те точки, которые топологически неотличимы от${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle х.}$
3. Коэффициент Колмогорова равен T ₁ .${\displaystyle X}$
4. Для любого находится в замыкании тогда и только тогда, когда находится в замыкании${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{x\}.}$
5. Предварительный порядок специализации симметричен ( и, следовательно, является отношением эквивалентности ).${\displaystyle X}$
6. Множества для образуют разбиение ( то есть любые два таких множества либо идентичны, либо не пересекаются).${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$
7. Если — замкнутое множество и — точка, не лежащая в , то${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\cap \operatorname {cl} \{x\}=\emptyset .}$
8. Каждая окрестность точки содержит${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}.}$
9. Каждое открытое множество является объединением замкнутых множеств .
10. Для каждого фиксированного ультрафильтра в сходится только к точкам, которые топологически неотличимы от${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle х.}$

В любом топологическом пространстве мы имеем в качестве свойств любых двух точек следующие импликации:

разделенный топологически различимый отдельный${\displaystyle \подразумевает}$ ${\displaystyle \подразумевает}$

Если первую стрелку можно повернуть, то пространство равно R ₀ . Если вторую стрелку можно повернуть, то пространство равно T ₀ . Если составную стрелку можно повернуть, то пространство равно T ₁ . Пространство равно T ₁ тогда и только тогда, когда оно равно и R ₀ , и T ₀ .

Конечное пространство T ₁ обязательно дискретно (поскольку каждое множество замкнуто).

Пространство, локально являющееся T ₁ , в том смысле, что каждая точка имеет окрестность T ₁ (при заданной топологии подпространства), также является T ₁ . ^[4] Аналогично, пространство, локально являющееся R _{0 ,} также является R ₀ . Напротив, соответствующее утверждение не выполняется для пространств T ₂ . Например, линия с двумя началами не является хаусдорфовым пространством , но является локально хаусдорфовым.

• Пространство Серпинского является простым примером топологии, которая является T ₀ , но не является T ₁ , а следовательно, также не является R ₀ .
• Топология перекрывающихся интервалов является простым примером топологии, которая является T ₀ , но не является T ₁ .
• Каждое слабо хаусдорфово пространство является T ₁ , но обратное в общем случае неверно.
• Кофинитная топология на бесконечном множестве — это простой пример топологии, которая является топологией T ₁ , но не является топологией Хаусдорфа (T ₂ ). Это следует из того, что никакие два непустых открытых множества кофинитной топологии не являются непересекающимися. В частности, пусть будет множеством целых чисел , и определим открытые множества как те подмножества , которые содержат все, кроме конечного подмножества Тогда даны различные целые числа и :${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle А}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• открытое множество содержит, но не , и открытое множество содержит и не ;${\displaystyle O_{\{x\}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle O_{\{y\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• эквивалентно, каждый одноэлементный набор является дополнением открытого набора, поэтому он является замкнутым набором;${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle O_{\{x\}},}$

так что полученное пространство является T ₁ по каждому из определений выше. Это пространство не является T ₂ , поскольку пересечение любых двух открытых множеств и есть , которое никогда не бывает пустым. В качестве альтернативы, множество четных целых чисел компактно , но не замкнуто , что было бы невозможно в хаусдорфовом пространстве.${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle O_{B}}$${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$

• Приведенный выше пример можно немного изменить, чтобы создать топологию кофинитного типа с двойной точкой , которая является примером пространства R ₀ , которое не является ни T ₁ , ни R ₁ . Пусть снова будет множеством целых чисел, и, используя определение из предыдущего примера, определите предбазу открытых множеств для любого целого числа, которая будет равна , если является четным числом , и если является нечетным. Тогда основа топологии задается конечными пересечениями предбазовых множеств: для конечного множества открытые множества являются${\displaystyle X}$${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x,x+1\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x-1,x\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle А,}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

Полученное пространство не является T ₀ (и, следовательно, не является T ₁ ), поскольку точки и (для четных) топологически неразличимы; но в остальном оно по сути эквивалентно предыдущему примеру.${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle x}$

• Топология Зарисского на алгебраическом многообразии (над алгебраически замкнутым полем ) — это T ₁ . Чтобы увидеть это, заметим, что синглтон, содержащий точку с локальными координатами, является нулевым множеством многочленов Таким образом , точка замкнута. Однако этот пример хорошо известен как пространство, которое не является хаусдорфовым (T ₂ ). Топология Зарисского по сути является примером кофинитной топологии.${\displaystyle \left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.}$
• Топология Зарисского на коммутативном кольце (то есть простой спектр кольца ) есть T ₀ , но не, вообще говоря, T ₁ . ^[5] Чтобы увидеть это, отметим, что замыкание одноточечного множества есть множество всех простых идеалов , которые содержат точку (и, таким образом, топология есть T ₀ ). Однако, это замыкание есть максимальный идеал , и единственными замкнутыми точками являются максимальные идеалы, и, таким образом, они не содержатся ни в одном из открытых множеств топологии, и, таким образом, пространство не удовлетворяет аксиоме T ₁ . Чтобы прояснить этот пример: топология Зарисского для коммутативного кольца задается следующим образом: топологическое пространство — это множество всех простых идеалов . База топологии задается открытыми множествами простых идеалов, которые не содержат . Легко проверить, что это действительно образует базу: поэтому и и . Замкнутые множества топологии Зарисского — это множества простых идеалов, которые содержат . Обратите внимание, как этот пример тонко отличается от примера с кофинитной топологией, приведенного выше: точки в топологии, вообще говоря, не замкнуты, тогда как в пространстве T ₁ точки всегда замкнуты.${\displaystyle А}$${\displaystyle X}$${\displaystyle А.}$${\displaystyle O_{a}}$${\displaystyle a\in А.}$${\displaystyle O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}}$${\displaystyle O_{0}=\varничего_не_существующего }$${\displaystyle O_{1}=X.}$${\displaystyle а.}$
• Каждое полностью несвязное пространство является T1 _, поскольку каждая точка является связным компонентом и, следовательно, замкнуто.

Термины "T ₁ ", "R ₀ " и их синонимы могут быть применены также к таким вариациям топологических пространств, как равномерные пространства , пространства Коши и пространства сходимости . Характерная черта, которая объединяет концепцию во всех этих примерах, заключается в том, что пределы фиксированных ультрафильтров (или постоянных сетей ) являются единственными (для пространств T ₁ ) или единственными с точностью до топологической неразличимости (для пространств R ₀ ).

Как оказывается, равномерные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда являются R ₀ , поэтому условие T ₁ в этих случаях сводится к условию T _0. Но само по себе R ₀ может быть интересным условием для других видов пространств сходимости, таких как предтопологические пространства .

• Топологическое свойство  – Математическое свойство пространства

• А. В. Архангельский, Л. С. Понтрягин (ред.) Общая топология I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 . 
• Фолланд, Джеральд (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 116. ISBN 0-471-31716-0.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (издание Dover). 
• Уиллард, Стивен (1998). Общая топология . Нью-Йорк: Довер. С. 86–90. ISBN 0-486-43479-6.